Poincarén konjektuurin selätti vuonna 2002 omalaatuinen venäläinen nero Grigori Perelman.

Miljoonan dollarin ongelma -sarja

Teksti: Kaisa Kangas

Poincarén konjektuurin selätti vuonna 2002 omalaatuinen venäläinen nero Grigori Perelman.

Julkaistu Tiede-lehdessä 3/2012

Vuonna 1904 ranskalainen matemaatikko Henri Poincaré esitti kuuluisan matemaattisen väitteen, joka tunnetaan Poincarén konjektuurina. Kesti lähes vuosisadan, ennen kuin se onnistuttiin osoittamaan todeksi. Se liittyy topologiaksi kutsuttuun matematiikan haaraan, jota Poincaré kehitti merkittävästi.

Topologiassa on tavallaan kyse geometriasta ilman etäisyyksiä.

Asiaa voi valottaa metrokartalla. Siinä asemien välit eivät vastaa todellisia matkoja ja mutkittelevat metrolinjat on piirretty suoriksi. Silti kartta välittää matkustajalle olennaisen informaation eli asemien järjestyksen ja linjojen risteyskohdat. Vaikka metrokartta piirrettäisiin kumipinnalle, jota venytettäisiin niin, että etäisyydet ja suunnat muuttuisivat, informaatio pysyisi samana.

Vastaavasti topologiassa tutkitaan eräänlaista kumipintageometriaa: ominaisuuksia, jotka säilyvät venytettäessä, kutistettaessa ja väänneltäessä. Jos jokin kuvio saadaan noilla tempuilla aikaan toisesta kuviosta, nämä kuviot ovat topologisesti samanlaisia.

Topologille kahvikuppi on donitsi

Entä kolmiulotteiset kappaleet? Ajatellaan vaikkapa muovailuvahasta tehtyä palloa. Mikä tahansa kappale, joka pystytään muotoilemaan venyttämällä ja puristelemalla muovailuvahapalloa, on topologisesti samanlainen kuin pallo.

Reikien puhkominen muuttaa topologian, joten donitsin muotoinen rengas on erilainen kuin pallo. Donitsista voi kuitenkin muotoilla kahvikupin puhkomatta uusia reikiä. Vanhan matemaatikkovitsin mukaan topologi onkin henkilö, joka ei kutsuilla erota munkkirinkilää kahvikupista.

Matematiikassa käsitellään monesti yli kolmea ulottuvuutta. Vastaavasti kuin ympyrää voi ajatella kaksiulotteisena pallona pallon käsitteen voi yleistää neljään tai useampaan ulottuvuuteen. Kolmiulotteisen pallon pinta on kaksiulotteinen, ja vastaavasti neliulotteisella "pallolla" on kolmiulotteinen "pinta".

Lisäulottuvuudet eivät ole vain ajatusleikki, vaan niitä tarvitaan fysiikassa. Suhteellisuusteorian aika-avaruus on neliulotteinen, ja säieteoriassa, joka yhdistää hiukkasfysiikan gravitaatioteoriaan, on useampia ulottuvuuksia.

Ajatellaan nyt kolmiulotteisen pallon kaksiulotteista pintaa. Sille piirretyn ympyrän voi kutistaa, kunnes jäljellä on vain piste. Sama ei päde donitsiin. Jos sen pinnalle piirretään ympyrä joko donitsin renkaan tai leveimmän kohdan ympäri, donitsin reikä tulee kutistettaessa tielle niin, ettei ympyrä pienene pisteeksi. Tiedetäänkin, että suljettu kaksiulotteinen pinta on topologisesti samanlainen kuin pallopinta täsmälleen silloin, kun jokainen sille piirretty ympyrä saadaan kutistettua pisteeksi. Poincaré oletti, että kriteeri voitaisiin yleistää koskemaan myös kolmiulotteisia "pintoja".

Poincaré tajusi, ettei ollut selvää, että tämä oletus piti paikkansa, mutta hän arveli asian selviävän pian. Näin ei kuitenkaan käynyt.

Ratkaisu alkoi häämöttää

Ongelma oli auki vielä vuosituhannen vaihteessa. Tällöin Clay-instituutti eli CMI lupasi miljoonan dollarin palkinnon sille, joka todistaisi Poincarén konjektuurin oikeaksi.

Eteneminen alkoi vuonna 1960, kun amerikkalainen Stephen Smale todisti, että vastaava väite päti vähintään viisiulotteisiin "pintoihin". Vuonna 1981 maanmies Michael Freedman, vei Smalen työn pidemmälle ja osoitti, että sama päti myös neliulotteisiin "pintoihin". Molemmat saivat "matematiikan nobelina" tunnetun Fieldsin mitalin, mutta alkuperäinen ongelma oli yhä ratkaisematta. Kolmiulotteisista "pinnoista", joita Poincarén konjektuuri koski, ei osattu sanoa mitään.

Seuraava askel otettiin 1982, kun amerikkalainen Richard Hamilton esitti suunnitelman konjektuurin todistamiseksi. Yrittäessään noudattaa sitä hän kuitenkin törmäsi ongelmiin, joita ei osannut ratkaista.

Tarvittiin omaperäinen venäläisnero saattamaan suunnitelma loppuun. Grigori Perelman esitti ratkaisunsa kolmessa artikkelissavuosina 2002 ja 2003.

Perelman loisti jo lapsena

Grigori "GriŠa" Perelman syntyi Leningradissa vuonna 1966. Hän osallistui jo lapsena matematiikkavalmennukseen ja voitti 16-vuotiaana Neuvostoliiton laajuisen matematiikkakilpailun. Samana vuonna hän sai täydet pisteet jokaisesta tehtävästä Budapestin kansainvälisissä matematiikkaolympialaisissa.

Perelman opiskeli matematiikkaa Leningradin valtionyliopistossa. Hän väitteli tohtoriksi 1990 ja työskenteli sen jälkeen Yhdysvalloissa. Vuonna 1995 hän palasi Pietariin, Steklovin matematiikkainstituuttiin, jossa oli tehnyt väitöskirjansa. Hänelle oli tarjottu työpaikkoja arvostetuista amerikkalaisista yliopistoista, joissa palkka olisi ollut huomattavasti parempi, mutta hän oli kieltäytynyt todeten kelpuuttavansa vain pysyvän professuurin.

Luultavasti Perelman oli jo tuolloin alkanut työstää Poincarén konjektuuria, ja hän saattoi kaivata työrauhaa, jollaista yliopistot opetusvelvollisuuksineen eivät tarjonneet.

Pian paluunsa jälkeen Perelman lakkasi vastaamasta amerikkalaisten kollegoidensa sähköposteihin ja käytännössä eristäytyi. Hän oli haluton puhumaan matemaattisesta työstään kenellekään. Jotkut pelkäsivät hänen tarttuneen johonkin liian vaikeaan ongelmaan ja musertuneen mahdottoman tehtävän alle.

Julkaisi todistuksen netissä

Marraskuussa 2002 Perelman lähetti useille kollegoilleen sähköpostin, jossa kehotti näitä tutustumaan netissä julkaisemaansa artikkeliin. Kyseessä oli ensimmäinen osa kolmen artikkelin sarjasta, joka sisälsi Poincarén konjektuurin todistuksen. Perelman oli onnistunut saattamaan Hamiltonin suunnitelman loppuun ja ratkaisemaan ongelmat, jotka olivat pysäyttäneet tämän. Sen hän oli tehnyt yhdistelemällä matematiikan eri osa-alueita nerokkaalla ja omaperäisellä tavalla.

Sarjan kaksi muuta artikkelia ilmestyivät seuraavan vuoden aikana. Amerikkalaiset huippuyliopistot tarjosivat taas Perelmanille työpaikkoja – tällä kertaa pysyviä professuureja, joiden työehdot hän olisi saanut itse päättää. Hän kuitenkin kieltäytyi tarjouksista.

Joulukuussa 2005 Perelman erosi jopa työpaikastaan Steklovin matematiikkainstituutissa. Hän sanoi pettyneensä matematiikkaan ja halua­vansa kokeilla jotakin muuta. On arveltu, että häntä järkytti läpimurtoa seurannut kollegoiden kateellinen ja pyrkyrimäinen käytös.

Kieltäytyi palkinnoista

Perelmanin kolmella artikkelilla oli pituutta yhteensä 59 sivua. Niiden teksti oli hyvin vaikeaa asiantuntijoillekin, eikä ratkaisun oikeellisuudesta ollut heti varmuutta. Tarkistuksen katsotaan päättyneen vasta 2007, kun John Morgan ja Gang Tian julkaisivat 521-sivuisen kirjan, jossa Perelmanin todistus selitetään yksityiskohtaisesti.

Jo tätä ennen, kesällä 2006, Perelmanille kuitenkin myönnettiin Fieldsin mitali. Hän kieltäytyi ottamasta sitä vastaan. "Jos todistus on oikein, mitään muuta tunnustusta ei tarvita", hän sanoi.

CMI:n sääntöjen mukaan ainoastaan matemaattisissa lehdissä julkaistut ratkaisut voivat voittaa palkinnon. Sääntöjen laatijoille ei luultavasti tullut mieleenkään, että joku suuren läpimurron tehnyt matemaatikko voisi olla haluton lähettämään työnsä ammattijulkaisuun. Perelman oli kuitenkin julkaissut ratkaisunsa ainoastaan netissä eikä suostunut muuhun.

Asiaa pohdittuaan CMI päätti hyväksyä julkaisuksi Morganin ja Tianin kirjan ilmestymisen. Vuodesta 2007 alkoi siis sääntöjen mukainen kahden vuoden varoaika siltä varalta, että joku vielä löytäisi virheitä. Kun byrokratiakin vei oman aikansa, miljoona dollaria päästiin antamaan Perelmanille vasta kesällä 2010.

Perelman kieltäytyi jälleen ottamasta palkintoa vastaan. "Minulla on kaikki, mitä tarvitsen", hänen kerrotaan sanoneen. Uutistoimisto Interfaxin mukaan hän oli myös moittinut matemaattisen yhteisön päätöksiä epäoikeudenmukaisiksi ja todennut, että kunnia olisi kuulunut yhtä lailla Hamiltonille.

Syistä vain arvauksia

Jotkut ovat arvelleet Perelmanin vastustavan matemaattisesta työstä myönnettäviä rahapalkintoja ylipäänsä tai katsovan niistä päättävien komiteoiden olevan kykenemättömiä arvioimaan matematiikkaa. Toiset ovat jopa spekuloineet, että Perelmanilla saattaisi olla mielenhäiriö. Perelmanin omalaatuisesta käytöksestä onkin kirjoitettu paljon.

Kieltäytymällä palkinnoista Perelman on kiinnittänyt suuren yleisön huomion itseensä, oli se tarkoituksellista tai ei. Ainoana koskaan Fieldsin mitalista kieltäytyneenä matemaatikkona hänestä on tullut mitalistien tunnetuin.

Perelman asuu ikääntyvän äitinsä kanssa vaatimattomassa asunnossa Pietarissa. Hän välttää kontaktia ulkomaailmaan eikä ole aikoihin antanut haastatteluja kenellekään. Loppujen lopuksi tiedämme hänestä hyvin vähän, ja voimme vain arvailla, onko hän todella luopunut matematiikasta vai työskenteleekö hän parhaillaan jonkin uuden ongelman parissa.

Kaisa Kangas on matematiikan jatko-opiskelija, filosofian maisteri ja humanististen tieteiden kandidaatti. 

Hyvä harrastus – ja helppo. Lukemista löytyy aina. Kuva: Shutterstock

Kieli rikastuu, ajattelu syvenee ja sosiaalinen taju kehittyy.

Tietokirjan järki on selvä: saa tietoa, jolla jäsentää maailmaa ja vaientaa mutuilijat. Riittävästi tietoa hankkimalla tulee asiantuntijaksi, ja sillä on selvä hyötyarvo.

Entä missä on fiktion lukijan tulosvastuu? Mitä itua on kuluttaa aikaansa tuntitolkulla hatusta vedettyjen ihmisten hatusta vedettyihin edesottamuksiin? Paljonkin: romaani tai novelli opettaa toimimaan muiden ihmisten kanssa.

Fiktio simuloi sosiaalista maailmaa, esittää asiaa tutkinut Toronton yliopiston psykologian professori Keith Oatley. Niin kuin lentosimulaattori opettaa lentotaitoja, sosiaalisten tilanteiden simulaattori – romaani – opettaa sosiaalisia taitoja.

Kokeet vahvistavat, että fiktiota lukeneet tajuavat paremmin so­siaalisia kuvioita kuin tietotekstiä lukeneet. 

Suvaitsevaisuus kasvaa

Kuvitteellisesta tarinasta on sekin ilo, että pääsee väliaikaisesti jonkun toisen nahkoihin. Samastuminen tarinan henkilöön voi muuttaa lukijan käyttäytymistä ja pistää asenteet uusiksi, ovat kokeillaan osoittaneet Ohion yliopiston tutkijat.

Samastumisella on vaaransa. Romaanin aiheuttama itsemurha-aalto koettiin 1700-luvun lopulla, kun nuoret onnettomat miehet matkivat Johan Wolfgang von Goethen päähenkilön tekoa Nuoren Wertherin kärsimyksissä.

Ohiolaistutkimuksessa vaikutus oli rakentavampi: kun nuoret aikuiset olivat lukeneet tarinan miehestä, joka meni äänestämään, he menivät hanakammin vaaliuurnille vielä viikon kuluttua lukemisesta. He olivat saaneet kansalaishyvetartunnan.

Valkoihoisten suvaitsevaisuutta taas kasvattivat tarinat, joissa päähenkilö osoittautui homoseksuaaliksi tai afroamerikkalaiseksi. Lukijoilta karisi myös stereotypioita. Tämä kuitenkin edellytti, että päähenkilön ”erilaisuus” paljastui vasta tarinan myöhemmässä vaiheessa ja lukijat olivat ehtineet asettua hänen nahkoihinsa.

Stressi väistyy

Kun uppoutuu lukemaan, maailman meteli jää kauas ja paineet hellittävät. Tuttu tunne, josta on myös tieteelliset näytöt: lukeminen poistaa stressiä.

Terveystieteen opiskelijat saivat Yhdysvalloissa tehdyssä tutkimuksessa lukeakseen netistä ja aikakauslehdestä poimittuja artikkeleita, jotka käsittelivät historiallisia tapauksia ja tulevaisuuden innovaatioita. Aihepiirit olivat siis kaukana tenttikirjojen pakkolukemistosta.

Puolentunnin lukutuokio riitti laskemaan verenpainetta, sykettä ja stressin tuntua. Huojennus on yhtä suuri kuin samanpituisella joogahetkellä tai televisiohuumorin katselulla. Mikä parasta, apu löytyy helposti, lukemista kun on aina saatavilla.

Sanasto karttuu

Kirjoitettu kieli on ylivoimaisesti suurempi uusien sanojen lähde kuin puhuttu. Erot lasten sanavaraston runsaudessa voi johtaa suoraan siihen, miten paljon he altistuvat erilaisille teksteille, vakuuttavat lukemisen tutkijat Anne Cunningham ja Keith Stanovich.

Tiuhimmin uutta sanastoa kohtaa tieteellisten julkaisujen tiivistelmissä: tuhatta sanaa kohti harvinaisia on peräti 128. Sanoma- ja aikakauslehdissä harvinaisten sanojen tiheys nousee yli 65:n ja aikuisten kirjoissa yli 50:n.

Lastenkirjakin voittaa sanaston monipuolisuudessa televisio-ohjelman mennen tullen. Lapsilukija kohtaa kirjassa yli 30 harvinaista sanaa tuhatta kohti, kun aikuisten telkkariviihdettä katsoessa niitä tulee vastaan 23 ja lastenohjelmissa 20.

Juttelukaan ei pahemmin kartuta sanavarastoa. Aikuispuhe sisältää vain 17 epätavallista sanaa tuhatta kohti.

Syntyy omia ajatuksia

Ihmisen aivoja ei ole ohjelmoitu lukemaan. Kun taito kehittyi 5 500 vuotta sitten, näkemiseen, kuulemiseen, puhumiseen ja ajatteluun rakentuneet alueet alkoivat tehdä uudenlaista yhteistyötä.

Nyt olemme jälleen uudenlaisen lukukulttuurin alussa. Verkkolukeminen on tullut jäädäkseen, ja jotkut pelkäävät, että tyhmistymme, kun totutamme aivomme ärsyketulvaan ja pikaselailuun netissä. Tiedonvälitys on lisääntynyt räjähdysmäisesti mutta niin myös häly.

Syventyvän lukemisen kohtalosta kantaa huolta professori Maryanne Wolf Tufts-yliopistosta. Tapaa näet kannattaisi vaalia. Aivokuvaukset paljastavat, että paneutuva lukija käyttää laajasti molempia aivopuoliskojaan. Hän ei vain vastaanota kirjoittajan sanomaa vaan vertaa sitä aiemmin hankkimaansa tietoon, erittelee sitä ja rakentaa omaa ajatteluaan. Pintalukijalla ei tähän ole aikaa.

Mikko Puttonen on Tiede-lehden toimittaja.

Julkaistu Tiede-lehdessä 12/2012 

Täysin raittiiden suomalaisnuorten osuus on moninkertaistunut vuosituhannen alusta.

Nuoruus raitistuu, kertoo Helsingin Sanomat jutussaan.

Nuorten alkoholin käyttö kasvoi vuoteen 1999, joka oli myös kaikkein kostein vuosi. Silloin vain joka kymmenes yhdeksäsluokkalainen ilmoitti, ettei ollut koskaan käyttänyt alkoholia.

Sittemmin täysin raittiiden osuus on moninkertaistunut, ilmenee vuoteen 2015 ulottuneesta eurooppalaisesta, nuorten päihteidenkäyttöä käsittelevästä Espad-tutkimuksesta.

Jopa muut eurooppalaiset jäävät jälkeen. Suomessa täysin raittiita 15–16-vuotiaista nuorista on joka neljäs, kun Euroopassa heitä on keskimäärin joka viides.

Terveyden ja hyvinvoinnin laitoksen THL:n erikoistutkija Kirsimarja Raitasalo kollegoineen on ­koettanut tunnistaa niitä nuoruuden muutoksia, jotka voisivat selittää humalan hiipumista.

Ratkaisevaa näyttää olleen ainakin se, että alaikäisten on yhä vaikeampi saada alkoholia. Nykynuoret kokevat sen selvästi hankalammaksi kuin aiemmat ikäpolvet.

Kauppojen omavalvonta on osaltaan tehonnut. Kassoilla kysytään kaikilta alle 30-vuotiaan näköisiltä papereita.

Vanhemmat ja muutkin aikuiset ovat tiukentaneet asenteitaan nuorten juomiseen.

”Tietoisuus alkoholin haitoista on ehkä lisääntynyt. On tullut paljon tutkimustietoa esimerkiksi siitä, miten alkoholi vaikuttaa nuorten aivojen kehitykseen”, Raitasalo pohtii.

Nuorten omakin maailma on muuttunut toisenlaiseksi. Älylaitteet, pelit ja sosiaalinen media kyllästävät arkea. Pussikaljoittelu joutuu kilpailemaan monen muun kiinnostavan ajanvietteen kanssa ja on ehkä osittain hävinnyt niille.

Juovuksissa olemisesta on ehkä tullut myös tyylirikko. Nuoret eivät enää näytä arvostavan kännissä örveltämistä.

Kysely

Mikä mielestäsi raitistaa nuoria?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä25737
Liittynyt16.3.2005

Viikon gallup: Mikä mielestäsi raitistaa nuoria?

Käyttäjä4809 kirjoitti: Eiköhän syy ole -90 luvulla alkaneen laman menetetyt työpaikat ja samalla supistettu koulutus, minkä seurauksena vuodestä -99 alkaen vanhemmilla ei enää ole ollut niin paljon rahaa annettavaksi nuorisolle. Sekä myös nuorisolle soveltuvien työpaikkojen vähentyminen ja samaan aikaan tapahtunut kohtuuton vuokrien nousu, vasinkin pääkaupunkiseudulla. En tiedä, mutta en usko rahaan. Esimerkiksi kilju, 10 % juoma joka maksaa joitain senttejä litralta, tuntuu olevan...
Lue kommentti
molaine
Seuraa 
Viestejä1186
Liittynyt3.8.2011

Viikon gallup: Mikä mielestäsi raitistaa nuoria?

En kyllä usko, että rahalla on iso merkitys ja veikkaan, että käytettävissä olevat rahat on vain kasvaneet, jos verrataan vaikka omaan nuoruuteen. Ei viina suomessa ole niin kallista, etteikö köyhälläkin olisi varaa dokailla. Oma junnu ei läträä lainkaan viinan kanssa. Iso osa kavereistakaan ei, vaikka osa ilmeisesti jonkin verran lipittelee. Kyllä nuorten asenteet on mielestäni muuttuneet ihan selkeästi. Ehkä alkoholipolitiikka on toiminut? Kotoa ei meillä kyllä tällaista ole opittu...
Lue kommentti

Panterarosa: On selvää, että "Partitava kisaa kurupati-kuvaa" ei oikein aukene kehitysmaalaisille N1c- kalmukinperseille.