Matemaatikkoja on askarruttanut iän kaiken, onko alkulukujen esiintyminen muiden lukujen joukossa säännönmukaista. Siitä saataisiin varmuus, jos joku onnistuisi todistamaan Riemannin hypoteesin.

Teksti: Kaisa Kangas

Matemaatikkoja on askarruttanut iän kaiken, onko alkulukujen esiintyminen muiden lukujen joukossa säännönmukaista. Siitä saataisiin varmuus, jos joku onnistuisi todistamaan Riemannin hypoteesin.

Julkaistu Tiede -lehdessä 4/2011.Kerrotaan, että ennen lähtöään vaaralliselle merimatkalle englantilainen matemaatikko G. H. Hardy lähetti ystävälleen postikortin, jossa hän väitti todistaneensa Riemannin hypoteesin. Tämä oli eräänlainen henkivakuutus – jos Hardy kuolisi, hän saisi maineen maailman kuuluisimman matemaattisen ongelman ratkaisijana. Hardy selvisi hengissä, mutta Riemannin hypoteesia ei ole vieläkään todistettu.Vuonna 1900 David Hilbert, yksi aikansa matemaattisista kärkinimistä, julkisti kuuluisan matemaattisten ongelmien listan. Päämääränä oli luetella matematiikan merkittävimmät haasteet ja siten inspiroida ja ohjata uuden vuosisadan matematiikkaa. Kun Clay-instituutti sata vuotta myöhemmin valitsi samassa hengessä Millennium-ongelmansa, vain yksi Hilbertin alkuperäisistä ongelmista oli mukana listalla: Riemannin hypoteesi. Hilbert itse oli pitänyt sitä niin merkittävänä, että mikäli hän vajoaisi uneen muutamaksi sadaksi vuodeksi, hän haluaisi herättyään heti ensimmäiseksi tietää, oliko Riemannin hypoteesi jo todistettu.Kyseessä on saksalaisen Bernhard Riemannin vuonna 1857 esittämä otaksuma hänen mukaansa nimetyn Riemannin zeta-funktion nollakohdista. Se liittyy yhteen matemaatikkoja askarruttavista ikuisuusongelmista, alkulukujen muodostamaan kuvioon muiden lukujen joukossa. Jos hypoteesi on totta, alkulukujen käytös on niin säännöllistä ja harmonista kuin mahdollista. Useimmat matemaatikot uskovat asian olevan näin, mutta varmasti sitä ei tiedetä.

Alkulukuja kokeilemalla

Alkulukuja ovat ykköstä suuremmat kokonaisluvut, jotka eivät ole jaollisia muilla kuin ykkösellä ja itsellään. Esimerkiksi luvut 2, 3 ja 5 ovat alkulukuja. Jokainen muu luku voidaan hajottaa alkutekijöihin eli esittää alkulukujen tulona, vaikkapa 12 = 2 x 2 x 3 tai 231 = 3 x 7 x 11. Alkulukuja voidaankin pitää palikoina, joista kaikki kokonaisluvut koostuvat.Alkuluvut ovat kiehtoneet ihmisiä antiikin ajoista asti. Jo Eukleides todisti, että niitä on äärettömän monta. Ei kuitenkaan ole mitään yksinkertaista tapaa määrittää, mitkä ovat alkulukuja ja mitkä eivät. Alkulukujen esiintymät muiden lukujen lomassa näyttävät arvaamattomilta. Uusia täytyy etsiä pitkälti kokeilemalla. Matemaatikkoja on kuitenkin kiehtonut ajatus, että alkuluvut muodostaisivat jonkin säännöllisen, joskin monimutkaisen, kuvion kaikkien kokonaislukujen muodostamassa jonossa.Pienten lukujen joukossa alkulukuja on paljon. Lukua 20 pienemmistä luvuista kahdeksan on alkulukuja: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ja 19. Mitä suurempia lukuja tarkastellaan, sitä harvemmassa alkulukuja esiintyy. Lukua 100 pienempien lukujen joukossa on 25 alkulukua, lukua 1 000 pienempien lukujen joukossa vain 168. Vuonna 1896 ranskalainen Jacques Hadamard ja belgialainen Charles de la Vallée Poussin todistivat oikeaksi kaavan, josta voidaan suunnilleen laskea alkulukujen osuus jotakin tiettyä lukua pienemmistä luvuista – mutta vain suunnilleen. Kyse on hieman samanlaisesta tilanteesta kuin kolikkoa heitettäessä. Yksittäisen heiton tulosta ei voi ennustaa, mutta kun kolikkoa heitetään riittävän monta kertaa, saadaan suunnilleen puolella heitoista klaava ja puolella kruuna. Jos Riemannin hypoteesi pitää paikkansa, poikkeamat tästä kaavasta noudattavat samankaltaista lakia kuin kolikkoa heitettäessä poikkeamat jakaumasta, jossa puolet tuloksista on klaavoja – vähän kuin alkulukujen sijoittuminen muiden lukujen joukkoon olisi määritetty heittämällä painotettua kolikkoa.

Salaisuus zeta-funktiossa

Matematiikassa käy usein niin, että jonkin alkulukujen kaltaisen näennäisesti yksinkertaisen asian tarkempaan tutkimiseen tarvitaan monimutkaisia ja syvällisiä menetelmiä. Riemannin hypoteesi itsessään ei koske alkulukuja, vaan Riemannin zeta-funktion nollakohtia. Alkulukujen ja nollakohtien välillä on kuitenkin kiinteä yhteys – jos tietäisimme kaikki nollakohdat, pystyisimme myös sanomaan, mitkä luvut ovat alkulukuja.Funktiolla tarkoitetaan sääntöä, jonka avulla jostakin luvusta saadaan toinen luku. Esimerkiksi luvulla 2 kertominen on funktio, jolla luvusta 3 saadaan luku 6. Ne luvut, jotka funktioon syötettäessä antavat arvon 0, ovat funktion nollakohtia. Riemannin zeta-funktio ottaa syötteekseen ja antaa arvoikseen niin kutsuttuja kompleksilukuja. Näissä luvuissa on tavallisen reaaliluvun lisäksi imaginaariosa. Riemannin zeta-funktio saa arvon nolla aina, kun siihen syötetään parillinen negatiivinen kokonaisluku. Näitä lukuja sanotaan Riemannin zeta-funktion triviaaleiksi nollakohdiksi. Muita nollakohtia sanotaan epätriviaaleiksi, ja juuri niitä Riemannin hypoteesi koskee. Se nimittäin sanoo, että kaikkien epätriviaalien nollakohtien reaaliosa on ½. Jos kompleksilukuja ajatellaan tason pisteinä, tämä tarkoittaa, että kaikki epätriviaalit nollakohdat sijaitsevat niin sanotulla kriittisellä suoralla, joka on koordinaatistossa luvun ½ kohdalle piirretty pystysuora viiva. Jos näin on, alkuluvut ovat jakautuneet mahdollisimman tasaisesti.

Salakirjoituksen avain

Mikäli Riemannin hypoteesi onnistutaan todistamaan, ratkeaa siis alkulukujen salaisuus, jota on yritetty vuosisatojen ajan selvittää. Ongelman ratkaisulla saattaisi olla mullistavia vaikutuksia myös matematiikan ulkopuolella. Alkuluvut ovat nimittäin tärkeitä tiedonsiirtoon liittyvissä salausjärjestelmissä. Tiedonsiirrossa täytyy monesti varmistaa, ettei kukaan ulkopuolinen pääse käsiksi tietoihin. Erityisen tärkeää tämä on sähköisissä pankkisiirroissa tai lähetettäessä arkaluonteista informaatiota. Tällöin viesti muutetaan eräänlaiseksi salakirjoitukseksi, johon vain vastaanottajalla on avain. Salaukseen käytettävät matemaattiset menetelmät pohjautuvat useimmiten alkulukujen ominaisuuksiin ja siihen, että erittäin suuria lukuja on tietokoneellakin käytännössä mahdoton hajottaa alkutekijöihin.On mahdollista, että Riemannin hypoteesin todistus johtaisi uusiin menetelmiin, joilla voisi tehokkaammin hajottaa lukuja alkutekijöihin. Se saattaisi vaarantaa nykyiset salausjärjestelmät. Syynä ei kuitenkaan ole varmuus hypoteesin paikkansapitävyydestä. Suurin osa matemaatikoistahan uskoo hypoteesin olevan totta, ja mahdollisia seurauksia on tutkittu pitkään. Jotkin salausjärjestelmistä jopa pohjautuvat siihen, että hypoteesi oletetaan todeksi. On kuitenkin mahdollista, että itse todistukseen sisältyisi sellaisia radikaaleja oivalluksia, joiden avulla voitaisiin kehittää uusia tapoja jakaa lukuja tekijöihin.

Onko hypoteesi totta?

Zeta-funktion nollakohtia voi laskea tietokoneella, ja tällä tavoin on selvinnyt, että kymmenen biljoonaa ensimmäistä nollakohtaa on kriittisellä suoralla. Se ei kuitenkaan riitä todistamaan mitään, sillä nollakohtia on ääretön määrä. Hypoteesin kumoamiseksi sitä vastoin riittäisi yhdenkin nollakohdan löytyminen kriittisen suoran ulkopuolelta. Väite saattaisi siis periaatteessa olla kokeilemalla todistettavissa vääräksi. Tällaisella ratkaisulla ei kuitenkaan pääsee rikastumaan, sillä Clay-instituutin ongelmanasettelussa sanotaan, että Riemannin hypoteesi on todistettava oikeaksi.Massiivisen empiirisen aineiston lisäksi Riemannin hypoteesia tukee se, että useita samankaltaisia tuloksia on onnistuttu todistamaan. On silti mahdollista, että hypoteesi ei pidäkään paikkaansa. Historiasta tunnetaan useita lukuteoriaan liittyviä otaksumia, joilla on ollut tukenaan paljon kokeellista aineistoa mutta jotka ovat lopulta osoittautuneet vääriksi.Jos hypoteesi paljastuisi vääräksi, se olisi itsessään mullistava tulos, mutta samalla pettymys monille. Kaikki ne lukuteoreetikot, joiden tutkimustulokset alkavat ”Jos Riemannin hypoteesi pitää paikkansa, niin...” voisivat käyttää artikkeleitaan vessapaperina.

Julkaistu Tiede -lehdessä 4/2011

KAISA KANGAS on matematiikan jatko-opiskelija, filosofian maisteri ja humanististen tieteiden kandidaatti.

Hyvä harrastus – ja helppo. Lukemista löytyy aina. Kuva: Shutterstock

Kieli rikastuu, ajattelu syvenee ja sosiaalinen taju kehittyy.

Tietokirjan järki on selvä: saa tietoa, jolla jäsentää maailmaa ja vaientaa mutuilijat. Riittävästi tietoa hankkimalla tulee asiantuntijaksi, ja sillä on selvä hyötyarvo.

Entä missä on fiktion lukijan tulosvastuu? Mitä itua on kuluttaa aikaansa tuntitolkulla hatusta vedettyjen ihmisten hatusta vedettyihin edesottamuksiin? Paljonkin: romaani tai novelli opettaa toimimaan muiden ihmisten kanssa.

Fiktio simuloi sosiaalista maailmaa, esittää asiaa tutkinut Toronton yliopiston psykologian professori Keith Oatley. Niin kuin lentosimulaattori opettaa lentotaitoja, sosiaalisten tilanteiden simulaattori – romaani – opettaa sosiaalisia taitoja.

Kokeet vahvistavat, että fiktiota lukeneet tajuavat paremmin so­siaalisia kuvioita kuin tietotekstiä lukeneet. 

Suvaitsevaisuus kasvaa

Kuvitteellisesta tarinasta on sekin ilo, että pääsee väliaikaisesti jonkun toisen nahkoihin. Samastuminen tarinan henkilöön voi muuttaa lukijan käyttäytymistä ja pistää asenteet uusiksi, ovat kokeillaan osoittaneet Ohion yliopiston tutkijat.

Samastumisella on vaaransa. Romaanin aiheuttama itsemurha-aalto koettiin 1700-luvun lopulla, kun nuoret onnettomat miehet matkivat Johan Wolfgang von Goethen päähenkilön tekoa Nuoren Wertherin kärsimyksissä.

Ohiolaistutkimuksessa vaikutus oli rakentavampi: kun nuoret aikuiset olivat lukeneet tarinan miehestä, joka meni äänestämään, he menivät hanakammin vaaliuurnille vielä viikon kuluttua lukemisesta. He olivat saaneet kansalaishyvetartunnan.

Valkoihoisten suvaitsevaisuutta taas kasvattivat tarinat, joissa päähenkilö osoittautui homoseksuaaliksi tai afroamerikkalaiseksi. Lukijoilta karisi myös stereotypioita. Tämä kuitenkin edellytti, että päähenkilön ”erilaisuus” paljastui vasta tarinan myöhemmässä vaiheessa ja lukijat olivat ehtineet asettua hänen nahkoihinsa.

Stressi väistyy

Kun uppoutuu lukemaan, maailman meteli jää kauas ja paineet hellittävät. Tuttu tunne, josta on myös tieteelliset näytöt: lukeminen poistaa stressiä.

Terveystieteen opiskelijat saivat Yhdysvalloissa tehdyssä tutkimuksessa lukeakseen netistä ja aikakauslehdestä poimittuja artikkeleita, jotka käsittelivät historiallisia tapauksia ja tulevaisuuden innovaatioita. Aihepiirit olivat siis kaukana tenttikirjojen pakkolukemistosta.

Puolentunnin lukutuokio riitti laskemaan verenpainetta, sykettä ja stressin tuntua. Huojennus on yhtä suuri kuin samanpituisella joogahetkellä tai televisiohuumorin katselulla. Mikä parasta, apu löytyy helposti, lukemista kun on aina saatavilla.

Sanasto karttuu

Kirjoitettu kieli on ylivoimaisesti suurempi uusien sanojen lähde kuin puhuttu. Erot lasten sanavaraston runsaudessa voi johtaa suoraan siihen, miten paljon he altistuvat erilaisille teksteille, vakuuttavat lukemisen tutkijat Anne Cunningham ja Keith Stanovich.

Tiuhimmin uutta sanastoa kohtaa tieteellisten julkaisujen tiivistelmissä: tuhatta sanaa kohti harvinaisia on peräti 128. Sanoma- ja aikakauslehdissä harvinaisten sanojen tiheys nousee yli 65:n ja aikuisten kirjoissa yli 50:n.

Lastenkirjakin voittaa sanaston monipuolisuudessa televisio-ohjelman mennen tullen. Lapsilukija kohtaa kirjassa yli 30 harvinaista sanaa tuhatta kohti, kun aikuisten telkkariviihdettä katsoessa niitä tulee vastaan 23 ja lastenohjelmissa 20.

Juttelukaan ei pahemmin kartuta sanavarastoa. Aikuispuhe sisältää vain 17 epätavallista sanaa tuhatta kohti.

Syntyy omia ajatuksia

Ihmisen aivoja ei ole ohjelmoitu lukemaan. Kun taito kehittyi 5 500 vuotta sitten, näkemiseen, kuulemiseen, puhumiseen ja ajatteluun rakentuneet alueet alkoivat tehdä uudenlaista yhteistyötä.

Nyt olemme jälleen uudenlaisen lukukulttuurin alussa. Verkkolukeminen on tullut jäädäkseen, ja jotkut pelkäävät, että tyhmistymme, kun totutamme aivomme ärsyketulvaan ja pikaselailuun netissä. Tiedonvälitys on lisääntynyt räjähdysmäisesti mutta niin myös häly.

Syventyvän lukemisen kohtalosta kantaa huolta professori Maryanne Wolf Tufts-yliopistosta. Tapaa näet kannattaisi vaalia. Aivokuvaukset paljastavat, että paneutuva lukija käyttää laajasti molempia aivopuoliskojaan. Hän ei vain vastaanota kirjoittajan sanomaa vaan vertaa sitä aiemmin hankkimaansa tietoon, erittelee sitä ja rakentaa omaa ajatteluaan. Pintalukijalla ei tähän ole aikaa.

Mikko Puttonen on Tiede-lehden toimittaja.

Julkaistu Tiede-lehdessä 12/2012 

Täysin raittiiden suomalaisnuorten osuus on moninkertaistunut vuosituhannen alusta.

Nuoruus raitistuu, kertoo Helsingin Sanomat jutussaan.

Nuorten alkoholin käyttö kasvoi vuoteen 1999, joka oli myös kaikkein kostein vuosi. Silloin vain joka kymmenes yhdeksäsluokkalainen ilmoitti, ettei ollut koskaan käyttänyt alkoholia.

Sittemmin täysin raittiiden osuus on moninkertaistunut, ilmenee vuoteen 2015 ulottuneesta eurooppalaisesta, nuorten päihteidenkäyttöä käsittelevästä Espad-tutkimuksesta.

Jopa muut eurooppalaiset jäävät jälkeen. Suomessa täysin raittiita 15–16-vuotiaista nuorista on joka neljäs, kun Euroopassa heitä on keskimäärin joka viides.

Terveyden ja hyvinvoinnin laitoksen THL:n erikoistutkija Kirsimarja Raitasalo kollegoineen on ­koettanut tunnistaa niitä nuoruuden muutoksia, jotka voisivat selittää humalan hiipumista.

Ratkaisevaa näyttää olleen ainakin se, että alaikäisten on yhä vaikeampi saada alkoholia. Nykynuoret kokevat sen selvästi hankalammaksi kuin aiemmat ikäpolvet.

Kauppojen omavalvonta on osaltaan tehonnut. Kassoilla kysytään kaikilta alle 30-vuotiaan näköisiltä papereita.

Vanhemmat ja muutkin aikuiset ovat tiukentaneet asenteitaan nuorten juomiseen.

”Tietoisuus alkoholin haitoista on ehkä lisääntynyt. On tullut paljon tutkimustietoa esimerkiksi siitä, miten alkoholi vaikuttaa nuorten aivojen kehitykseen”, Raitasalo pohtii.

Nuorten omakin maailma on muuttunut toisenlaiseksi. Älylaitteet, pelit ja sosiaalinen media kyllästävät arkea. Pussikaljoittelu joutuu kilpailemaan monen muun kiinnostavan ajanvietteen kanssa ja on ehkä osittain hävinnyt niille.

Juovuksissa olemisesta on ehkä tullut myös tyylirikko. Nuoret eivät enää näytä arvostavan kännissä örveltämistä.

Kysely

Mikä mielestäsi raitistaa nuoria?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä25775
Liittynyt16.3.2005

Viikon gallup: Mikä mielestäsi raitistaa nuoria?

Käyttäjä4809 kirjoitti: Eiköhän syy ole -90 luvulla alkaneen laman menetetyt työpaikat ja samalla supistettu koulutus, minkä seurauksena vuodestä -99 alkaen vanhemmilla ei enää ole ollut niin paljon rahaa annettavaksi nuorisolle. Sekä myös nuorisolle soveltuvien työpaikkojen vähentyminen ja samaan aikaan tapahtunut kohtuuton vuokrien nousu, vasinkin pääkaupunkiseudulla. En tiedä, mutta en usko rahaan. Esimerkiksi kilju, 10 % juoma joka maksaa joitain senttejä litralta, tuntuu olevan...
Lue kommentti
molaine
Seuraa 
Viestejä1189
Liittynyt3.8.2011

Viikon gallup: Mikä mielestäsi raitistaa nuoria?

En kyllä usko, että rahalla on iso merkitys ja veikkaan, että käytettävissä olevat rahat on vain kasvaneet, jos verrataan vaikka omaan nuoruuteen. Ei viina suomessa ole niin kallista, etteikö köyhälläkin olisi varaa dokailla. Oma junnu ei läträä lainkaan viinan kanssa. Iso osa kavereistakaan ei, vaikka osa ilmeisesti jonkin verran lipittelee. Kyllä nuorten asenteet on mielestäni muuttuneet ihan selkeästi. Ehkä alkoholipolitiikka on toiminut? Kotoa ei meillä kyllä tällaista ole opittu...
Lue kommentti

Panterarosa: On selvää, että "Partitava kisaa kurupati-kuvaa" ei oikein aukene kehitysmaalaisille N1c- kalmukinperseille.