Kaksosparadoksi

Seuraa 
Viestejä4564
Liittynyt16.3.2005

Tunnettuun kaksosparadoksiin liittyy seuraava fysikaalinen probleema:

Jos tyhjiössä kappaleeseen (massa m) kohdistuu esim. negatiivisen x -akselin suuntaan jatkuvasti voima F ja emittoidaan valopulssi positiivisen x -akselin suuntaan mielivaltaisesta x -akselin pisteestä, niin mikä on valopulssin nopeus kappaleen suhteen (ts. mikä on valopulssin nopeus kappaleen koordinaatistossa)?

Jos valon nopeus inertiaalikoordinaatistossa (ts. F = 0) on invariantti, niin silloin vastaus kysymykseen on tietysti, että valopulssin nopeus tapauksessa F > 0 on myös invariantti, ts. sen nopeus on c. Jos ei näin nimittäin olisi ja siis valopulssin nopeus olisi voimasta F riippuva, niin tällöin heti nähdään että valon nopeus on ylitettävissä, josta seuraa ristiriita.

Kaksosparadoksissa matka siis voidaan jakaa seuraaviin vaiheisiin:

1. Alkukiihdytys
2. Tasaisen nopeuden vaihe poispäin
3. Jarrutus
4. Kiihdytys kotiinpäin
5. Tasaisen nopeuden vaihe kotiinpäin
6. Loppujarrutus

Tunnetusti suhteellisuusteoreetikot kumoavat suhteellisuusteorian sisäisen paradoksin sillä, että matkaaja ei ole kaikissa vaiheissa samassa inertiaalikoordinaatistossa.

Mutta yllä olevan mukaan vaiheissa 1, 3, 4 ja 6 matkaaja kuitenkin on myös koordinaatistossa, jossa valon nopeus on invariantti jos se on invariantti inertiaalikoordinaatistossa. Tästä taas seuraa, että koordinaatistot vaiheissa 1-6 ovat ekvivalentteja Lorentzin muunnoksen suhteen, eli Lorentzin muunnos on symmetrinen koko matkan ajan Maassa olijan ja matkaajan suhteen. Symmetrisyydellä tarkoitan tässä sitä, että seuraavassa voidaan valita Maassa olijan koordinaatistoksi K' ja matkaajan koordinaatistoksi K TAI Maassa olijan koordinaatistoksi K ja matkaajan koordinaatistoksi K'.

http://www.bartleby.com/173/a1.html

Koska Lorentzin muunnos on symmetrinen koko matkan ajan kaikissa vaiheessa, myöskin "aikadilaatio" on tämän seurauksena symmetrinen. Invarianssin seurauksena saadaan siis tulos, jonka mukaan Maahan jäänyt on sekä nuorempi että vanhempi kuin matkaaja matkan jälkeen.

Invarianssista seuraa siis fysikaalinen paradoksi, joten se ei ole tosi. Todettakoon vielä, että paradoksi ei ole suhteellisuusteorian sisäinen, sillä se rajoittuu tapaukseen F = 0, mutta on kuitenkin invarianssin seuraus.

Sivut

Kommentit (225)

Leone
Seuraa 
Viestejä4564
Liittynyt16.3.2005
Leone

Jos tyhjiössä kappaleeseen (massa m) kohdistuu esim. negatiivisen x -akselin suuntaan jatkuvasti voima F ja emittoidaan valopulssi positiivisen x -akselin suuntaan mielivaltaisesta x -akselin pisteestä, niin mikä on valopulssin nopeus kappaleen suhteen (ts. mikä on valopulssin nopeus kappaleen koordinaatistossa)?

Eikö siis kenelläkään relativistilla ole antaa vastausta tähän?

derz
Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005

Kysymykseesi vastattiinkin eri threadissa, mutta kannattaa lukea Wikipediasta http://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity

Sieltä pisti silmään tällainen: "Special relativity is only accurate when gravitational effects are negligible or very weak, otherwise it must be replaced by general relativity."

Otetaan kaksi havaitsijaa avaruusaluksissa A ja B, jotka ovat levossa toistensa suhteen (jakavat saman inertiaalikoordinaatiston) ja ovat kaukana massakeskittymistä eivätkä tunne gravitaatiota.

Alus A lähtee kiihdyttämään poispäin B:stä (1. vaihe). Oletetaan, että kiihtyvyys on 5 G:n luokkaa, eli n. 9,81 m/s^2 * 5 = 49,05 m/s^2

Yleisen suhteellisuusteorian mukaan kiihtyvyys on sama kuin painovoimakenttä, eli havaitsija aluksessa A on kokenut 5 G:n painovoiman vaikutuksen samalla kun hänen nopeutensa on kasvanut esim. 0.99 c:hen. Kiihdytys voidaan siis ajatella olevan inertiaalikoordinaatiston asteetonta vaihdosta Lorentz muunnoksen kautta (eli aluksen kiihtyessä Lorentz-kontraktio kasvaa, pituus lyhenee asteettomasti).

Havaitsija aluksessa B ei ole kokenut painovoimakenttää eli kiihdytystä eikä hän ole kokenut Lorentz muunnosta, koska on edelleen "levossa".

Asiaa pitää tarkastella siis myös yleisen suhteellisuusteorian kannalta, sillä vaiheissa 1, 3, 4 ja 6 havaitsija aluksessa A kokee painovoimakentän. Tasaisen liikkeen vaiheissa inertiaalikoordinaatistoa on vaihdettu suhteessa B:hen, sillä A on kokenut kiihtyvyyttä. Jos A haluaa takaisin samaan inertiaalikoordinaatistoon B:n kanssa hänen on taas koettava (negatiivista) kiihtyvyyttä, eli jarrutettava. Tilanne ei siis ole symmetrinen kuin vaiheissa, missä A on levossa B:n suhteen.

Aika kuluu hitaammin painovoimakentän voimistuessa. Tämä on todistettu niinkin yksinkertaisesti, että kaksi synkronisoitua cesium kelloa laitettiin eri korkeuksille samaan torniin (en tiedä korkeutta), toinen jätettiin maan tasolle ja toinen vietiin ylimpään kerrokseen. Pitkän ajan jälkeen (en muista tätäkään, taisin lukea kokeesta jostain sekundasivustolta missä arvoja ei edes annettu) verrattiin kellojen aikaa. Alempana oleva kello oli käynyt hieman hitaammin kuin ylämpänä oleva.

Edit: selkeytystä tekstin sisältöön.

∞ = ω^(1/Ω)

Vierailija
derz

Yleisen suhteellisuusteorian mukaan kiihtyvyys on sama kuin painovoimakenttä....

Aika kuluu hitaammin painovoimakentän voimistuessa. Tämä on todistettu niinkin yksinkertaisesti, että kaksi synkronisoitua cesium kelloa laitettiin eri korkeuksille samaan torniin.....

Tässä onkin seikka joka hiukan kismittää yleisessä suhteellisuusteoriassa. Kiihtyvyys on sama kuin painovoimakenttä, vaikka painovoimakenttä heikkenee massasta etäännyttäessä. Tätä ei kait voitane yleistää kiihtyvyyden osalle.

Vuorovaikutusten hidastuminen kiihtyvässä koordinaatistossa om todennäköistä.

derz
Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005
james
derz

Yleisen suhteellisuusteorian mukaan kiihtyvyys on sama kuin painovoimakenttä....

Aika kuluu hitaammin painovoimakentän voimistuessa. Tämä on todistettu niinkin yksinkertaisesti, että kaksi synkronisoitua cesium kelloa laitettiin eri korkeuksille samaan torniin.....




Tässä onkin seikka joka hiukan kismittää yleisessä suhteellisuusteoriassa. Kiihtyvyys on sama kuin painovoimakenttä, vaikka painovoimakenttä heikkenee massasta etäännyttäessä. Tätä ei kait voitane yleistää kiihtyvyyden osalle.

Suht yksinkertaisesti voidaan ajatella, että kiihtyvyys vain pienenee mentäessä poispäin massakeskittymästä. Maan gravitaation aiheuttama kiihtyvyys on kuitenkin tuo n. 9,81 m/s^2. Kun olemme Maan pinnalla tunnemme oman painomme. Tämä oman painon tunteminen tuntuu samalta kuin kiihtyminen kokoajan kohti Maan keskipistettä kiihtyvyydellä 9,81 m/s^2.

∞ = ω^(1/Ω)

Vierailija
derz
Suht yksinkertaisesti voidaan ajatella, että kiihtyvyys vain pienenee mentäessä poispäin massakeskittymästä. Maan gravitaation aiheuttama kiihtyvyys on kuitenkin tuo n. 9,81 m/s^2. Kun olemme Maan pinnalla tunnemme oman painomme. Tämä oman painon tunteminen tuntuu samalta kuin kiihtyminen kokoajan kohti Maan keskipistettä kiihtyvyydellä 9,81 m/s^2.

Jeps, liian yksinkertaisesti ajateltuna. Juurihan kerroit, että eri gravitaatiopotenttiaalissa kellot käyvät eri tahtiin. Sitä vastoin kiihtyvässä liikkeessä, vaikkapa samassa lentokoneessa, kellot käyvät samaan tahtiin toistensa suhteen.

Vain pistemäisen objektin kannalta kiihtyvyys ja painovoima ovat samanarvoisia.

derz
Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005
james
Jeps, liian yksinkertaisesti ajateltuna. Juurihan kerroit, että eri gravitaatiopotenttiaalissa kellot käyvät eri tahtiin. Sitä vastoin kiihtyvässä liikkeessä, vaikkapa samassa lentokoneessa, kellot käyvät samaan tahtiin toistensa suhteen.

Vain pistemäisen objektin kannalta kiihtyvyys ja painovoima ovat samanarvoisia.

Eri korkeudella olevissa pisteissä kiihtyvyyden arvot ovat erilaiset. Eli pitää ottaa kaksi lentokonetta jotka kiihtyvät eri tahtia, ja nämä koneet vastaavat eri korkeudella olevia pisteitä. Näissä koneissa kellot käyvät eri tahtia.

∞ = ω^(1/Ω)

Sepi
Seuraa 
Viestejä3231
Liittynyt16.3.2005
derz

Kun olemme Maan pinnalla tunnemme oman painomme. Tämä oman painon tunteminen tuntuu samalta kuin kiihtyminen kokoajan kohti Maan keskipistettä kiihtyvyydellä 9,81 m/s^2.

Ehkä semantiikkaa, mutta jos huoneeni siirtyisi kohden maan keskipistettä kiihtyvyydellä 9,81 m/s^2, lilluisin painottomassa tilassa.

Oman painoni tunteminen tuntuu samalta kuin huoneeni kiihtyminen katon suuntaan tasaisesti kiihtyvyydellä 9,81 m/s^2 eikä huoneeseen vaikuttaisi muu voima.

Vierailija

Lähditkös Leone pakoon toisesta viestiketjusta (lämpölaajeneminen...)?

Siellä sanoit:
Niin, en usko mitään, mille ei ole tieteellistä näyttöä ja invarianssi kuuluu tähän kategoriaan.

Ja vastaukseni tähän (ja moneen muuhunkin) oli:

Täältä löydät määritelmiä tyhjiön permeabiliteetille ja valonnopeudelle.

http://home.att.net/~numericana/answer/constants.htm

Lainaus linkistä:

In April 2000, Kenneth Brecher (of Boston University) produced experimental evidence, at an unprecedented level of accuracy, which supports the main tenet of Einstein's Special Theory of Relativity, namely that the speed of light (c) does not depend on the speed of the source.

Brecherin kokeesta julkaistu uutinen:

http://newton.ex.ac.uk/aip/physnews.484.html

Lainaus linkistä:

Brecher argued that the speed of light is even more fundamental a concept than light itself.

Eli Leone sinun tulee vain yksinkertaisesti todistaa että valonnopeus (SM-aallon nopeus) tyhjiössä ei ole vakio.

Vierailija
derz
james
Vain pistemäisen objektin kannalta kiihtyvyys ja painovoima ovat samanarvoisia.



Eri korkeudella olevissa pisteissä kiihtyvyyden arvot ovat erilaiset. Eli pitää ottaa kaksi lentokonetta jotka kiihtyvät eri tahtia, ja nämä koneet vastaavat eri korkeudella olevia pisteitä. Näissä koneissa kellot käyvät eri tahtia.

Mitenkähän tämän nyt kertoisin, että ymmärtäisit mitä tarkoitan.

Otetaan käyttöön Einsteinin hissi. Gravitaatiokentässä atomikellot katossa ja lattialla käyvät eri tahtiin, koska gravitaatio heikkenee ylöspäin mentäessa. Jos hissi on muutoin kiihtyvässä liikkeessä niin kellot käyvät samaan tahtiin (alkukiihdytyksen aikaisten muodonmuutosten jälkeen).

Näin muodoin myös kellot käyvät graviaatiokentässä eri tahtiin, mutta kiihtyvässä liikkeessä samaan tahtiin.

Eli tilanne ei ole täsmälleen sama molemmissa tapauksissa. Pieni periaatteellinen ero on kuitenkin oleellinen, kun puhutaan invarianssiin liittyvistä asioista.

Kaksosparadoksihan perustuu juuri tuohon valon invarianssiin, eli siihen että suhteellisuusteorian mukaan sen nopeus on kaikkien havaitsijoiden suhteen sama. Tästä syystä en oikein ymmärrä Leonen kantaa tässä asiassa.

Invarianssi joko on totta, tai sitten ei ole. Tätä kautta aikadilataatio tasaisessa liikkeessä olevien suhteen joko on totta, tai sitten ei. Vaikka itse en itse uskokaan invarianssiin, aikadilataatio ainakin kiihtyvässä liikkeessä olevien kohdalla on käsittääkseni olemassa.

-:)lauri
Seuraa 
Viestejä25134
Liittynyt13.5.2005
james
derz
james
Vain pistemäisen objektin kannalta kiihtyvyys ja painovoima ovat samanarvoisia.



Eri korkeudella olevissa pisteissä kiihtyvyyden arvot ovat erilaiset. Eli pitää ottaa kaksi lentokonetta jotka kiihtyvät eri tahtia, ja nämä koneet vastaavat eri korkeudella olevia pisteitä. Näissä koneissa kellot käyvät eri tahtia.



Mitenkähän tämän nyt kertoisin, että ymmärtäisit mitä tarkoitan.

Otetaan käyttöön Einsteinin hissi. Gravitaatiokentässä atomikellot katossa ja lattialla käyvät eri tahtiin, koska gravitaatio heikkenee ylöspäin mentäessa. Jos hissi on muutoin kiihtyvässä liikkeessä niin kellot käyvät samaan tahtiin (alkukiihdytyksen aikaisten muodonmuutosten jälkeen).

james, kellot käyvät edelleen eritahtia Einsteinin hississä.

Riittoisampi keskustelukumppani.

Vierailija
Leone
Kaksosparadoksissa matka siis voidaan jakaa seuraaviin vaiheisiin:
1. Alkukiihdytys
2. Tasaisen nopeuden vaihe poispäin
3. Jarrutus
4. Kiihdytys kotiinpäin
5. Tasaisen nopeuden vaihe kotiinpäin
6. Loppujarrutus

Tunnetusti suhteellisuusteoreetikot kumoavat suhteellisuusteorian sisäisen paradoksin sillä, että matkaaja ei ole kaikissa vaiheissa samassa inertiaalikoordinaatistossa.

Mutta yllä olevan mukaan vaiheissa 1, 3, 4 ja 6 matkaaja kuitenkin on myös koordinaatistossa, jossa valon nopeus on invariantti jos se on invariantti inertiaalikoordinaatistossa.


Laitetaanpas tähän välihuomautus:
Mikäli ihan oikeasti huomioidaan kiihdytykset ja jarrutukset, ongelman ratkaisussa tarvitsee käyttää yleistä suhteellisuusteoriaa. Jarrutukset ja kiihdytykset voidaan olettaa hyvin lyhytaikaisiksi, jolloin ongelma voidaan ratkaista helpommalla suppealla suhteellisuusteorialla.

Tästä taas seuraa, että koordinaatistot vaiheissa 1-6 ovat ekvivalentteja Lorentzin muunnoksen suhteen, eli Lorentzin muunnos on symmetrinen koko matkan ajan Maassa olijan ja matkaajan suhteen. Symmetrisyydellä tarkoitan tässä sitä, että seuraavassa voidaan valita Maassa olijan koordinaatistoksi K' ja matkaajan koordinaatistoksi K TAI Maassa olijan koordinaatistoksi K ja matkaajan koordinaatistoksi K'.

Tässä kohtaa homma karahtaa kiville. Ns. kaksosparadoksissa on kolme (siis 3) inertiaalikoordinaatistoa:
[list:sfncglrr]1. Maassa olijan inertiaalikoordinaatisto
2. Matkaajan menomatkan inertiaalikoordinaatisto
3. Matkaajan tulomatkan inertiaalikoordinaatisto[/list:u:sfncglrr]

Koska Lorentzin muunnos on symmetrinen koko matkan ajan kaikissa vaiheessa, myöskin "aikadilaatio" on tämän seurauksena symmetrinen. Invarianssin seurauksena saadaan siis tulos, jonka mukaan Maahan jäänyt on sekä nuorempi että vanhempi kuin matkaaja matkan jälkeen.

Lorentz-muunnos on pareittain symmetrinen minkä tahansa kahden inertiaalikoordinaatiston välillä. Tämän symmetriaominaisuuden takia ei matkan puolivälissä voida sanoa, kumpi on vanhempi ja kumpi nuorempi. Mutta koska ongelmassa tarvitaan kolme yhtäaikaista inertiaalikoordinaatistoa, symmetria katoaa.

Vierailija
-:)lauri

james, kellot käyvät edelleen eritahtia Einsteinin hississä.

Millä perusteella samanarvoisessa tasaisessa kiihtyvyydessä olevat kellot käyvät eri tahtia. Gravitaatiokentässä eri tasolla olevat kellot eivät ole samanarvoisen kiihtyvyyden kohteena. Normaalisti kiihtyvässä liikkeessä olevassa hississä sen sijaan ovat.

Vierailija

Kaksosten paradoksi voidaan yksinkertaistaa myös ihan pelkäksi toisen kaksosen menomatkaksi vaikkapa naapuritähdellemme. Kiihtyvyyksistä päästään eroon siten, että oletamme nopeuden muutokset (koordinaatistojen vaihdot) välittömiksi tai sitten vain lisäämme matkakohteemme välimatkaa ja täten pienennämme kiihtyvyyksien vaikutusta niin, että voimme tarkastella asiaa puhtaasti suppean suhteellisuusteorian kannalta.

Tällöin meillä on vain kaksi inertiaalikoordinaatistoa tarkasteltavana, ensimmäinen on se, missä maapallo ja matkakohde sijaitsevat ja ovat molemmat siinä käytännöllisesti katsoen levossa ja toinen on matkaajan tasaisen nopeuden koordinaatisto. Niin kauan, kuin toinen kaksonen on matkallaan molemmat todellakin näkevät toistensa kellojen käyvän hitaammin mutta sen matkan aikana ei mitenkään voida ratkaista kumpiko on oikeassa, koska kellot eivät ole synkroonissa eikä niitä myös voida synkronoida. Vasta sitten kun matkaajakaksonen on saapunut päämääräänsä ja samalla myös takaisin kaksossisarensa koordinaatistoon voidaan kellot synkronoida ja tällöin molemmat todellakin havaitsevat matkaajakaksosen kellon käyneen hitaammin.

Täältä hieman formaalisempi esitys asiasta:
http://chabin.laurent.free.fr/twinzz.htm

derz
Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005
james
derz
james
Vain pistemäisen objektin kannalta kiihtyvyys ja painovoima ovat samanarvoisia.



Eri korkeudella olevissa pisteissä kiihtyvyyden arvot ovat erilaiset. Eli pitää ottaa kaksi lentokonetta jotka kiihtyvät eri tahtia, ja nämä koneet vastaavat eri korkeudella olevia pisteitä. Näissä koneissa kellot käyvät eri tahtia.



Otetaan käyttöön Einsteinin hissi. Gravitaatiokentässä atomikellot katossa ja lattialla käyvät eri tahtiin, koska gravitaatio heikkenee ylöspäin mentäessa. Jos hissi on muutoin kiihtyvässä liikkeessä niin kellot käyvät samaan tahtiin (alkukiihdytyksen aikaisten muodonmuutosten jälkeen).

Näin muodoin myös kellot käyvät graviaatiokentässä eri tahtiin, mutta kiihtyvässä liikkeessä samaan tahtiin.

Et ymmärtänyt pointtiani. Maan päällä kiihtyvyys saa eri arvon kuin korkeampana tai kauempana avaruudessa. Maan päällä 9,81 m/s^2, siitä joku matka ylöspäin niin kiihtyvyys on esim. 8,70 m/s^2.

Nämä kiihtyvyyden eri arvot eri korkeuksissa vastaavat eri kiihtyvyydellä kiihtyviä hissejä. Hississä joka kiihtyy 9,81 m/s^2 kello käy hitaammin, kuin hississä joka kiihtyy 8,70 m/s^2.

Yksittäisessä hississä ei ole väliä onko kello katossa vai lattiassa; kaikki kellot käyvät samaan tahtiin. Gravitaatiokenttä poikkeaa siis siinä mielessä kiihtyvyydestä, mutta sen vaikutus on sama. Kiihtyvässä liikkeessä oleva havaitsija kokeekin ns. "pseudogravitaatiokentän".

Sepi, jos sinä kiihdyt kohti Maan keskipistettä kiihtyvyydellä 9,81 m/s^2 se tuntuu samalta kuin oman painosi tunteminen. Se tuntuu samalta kuin huoneen jatkuva kiihtyminen katon suuntaan eli ylöspäin, mutta mielestäni itsensä kiihtyminen kohti Maata on helpompi hahmottaa.

∞ = ω^(1/Ω)

Vierailija
derz
Nämä kiihtyvyyden eri arvot eri korkeuksissa vastaavat eri kiihtyvyydellä kiihtyviä hissejä. Hississä joka kiihtyy 9,81 m/s^2 kello käy hitaammin, kuin hississä joka kiihtyy 8,70 m/s^2.

Yksittäisessä hississä ei ole väliä onko kello katossa vai lattiassa; kaikki kellot käyvät samaan tahtiin.

Tottakai on väliä, jos meillä on niin korkea hissi, että gravitaatio lattian ja katon välillä ehtii muuttua esim. nuo mainitsemasi 9,81 -> 8,70 m/ss. Tottakai tavallisessa hississä muutos on minimaalinen, mutta kuitenkin periaatteessa olemassa. Ymmärrän kyllä tasan tarkkaan mitä yrität sanoa, kuten sanoin aikaisemmin pistemäisen havainnoija kannalta tilanne on todella sama.

Toinen tapa millä eron voisi kenties huomata on erot liikkuvien varausten välisissä vuorovaikutuksissa. Liikkuvien varausten ympärille muodostuu magneettikentät, jolloin varaukset vuorovaikuttavat keskenään eri tavalla kuin levossa ollessaan. Näin ainakin joidenkin liikkuvia varauksia koskevien yhtälöiden mukaan.

Olen tosin melko varma että kyseessä virheellinen tulkinta ( tai yhtälöt ), koska näin ilmiselvä asia pitäisi kyllä olla huomattu jo ajat sitten.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat