matematiikan tehtävä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Sain ihan üüber vaikeen tehtävän analyyttisestä geometriasta ja tarvitsisin hiukan apua. Tehtävä kuuluu näin:

Osoita analyyttisesti, että puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suorakulma.

WTF oon ihan ulkona eli auttakaa BLIIDGE!

Kommentit (6)

Vierailija
tulkuri

Kehäkulma?
tarkoittanee sateenkaaren pään ja tasaisen pöytäpinnan välistä kulmaa?

Kehäkulma on ympyrän kaaren kummastakin päästä ympyrän kehälle samaan pisteeseen kulkevien suorien välinen kulma.

Ja tässä osoitus:

Sijoitetaan origo ympyrän keskipisteeseen, olkoon puoliympyrän kehän toinen pää pisteessä (0,-r) ja toinen täten pisteessä (0,r). Valitaan ympyrän kehältä mielivaltainen piste (x,y) jossa kehäkulma sijaitsee.

Olkoon s = xi + (y-(-r))j
ja t = xi + (y-r)j

Eli s ja t ovat vektorit kehän päistä pisteeseen (x,y)

Nämä vektorit ovat kohtisuorassa mikäli s.t = 0

Nyt piste (x,y) toteuttaa ympyrän yhtälön eli x^2 + y^2 = r^2

s.t = x^2 + (y+r)(y-r)
= x^2 + y^2 - r^2
= r^2 - r^2
= 0, kaikilla x, y, r

Joten puoliympyrän kehän päistä mielivaltaiseen pisteeseen ympyrän kehälle kulkevat vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Vierailija
Puuhikki
Kyseessä on Thaleen lause ja se voidaan todistaa helposti tasasivuisten kolmioiden avulla. Ei pitäisi olla kovinkaan paha.

Tälle ongelmalle esitettiin jo matemaattinen ratkaisu. Muta kun hieman mietin koulugeometriaa, niin tuli seuraava ratkaisu mieleen.

Vedetään viiva (korda) joka leikkaa annettua ympyrää kahdessa pisteessä a ja b.
Vedetään sen jälkeen ympyrän keskipisteessä kaksi viivaa pisteisiin a ja b. Edelleen vedetään mielivaltaisesta pisteestä ympyrän periferiasta kaksi viivaa samoihin pisteisiin a ja b.

Tällöin syntyy kaksi kulmaa viivojen väliin. Keskipisteestä vedettyjen viivojen väliin syntyy vaikka kulma phi. Silloin on aina periferiasta vedettyjen viivojen välinen kulma phi/2.

Jos nyt keskipisteestä vedetyt viivat muodostavatkin yhtenäisen suoran viivan, niin että ne muodostavat yhdessä ympyrän halkaisijan, niin kulma phi saa arvon 180 astetta (eli pii radiaania).

Tällöin periferiasta vedettyjen viivojen välinen kulma on phi/2 eli 90 astetta (pii/2, tai suora kulma). Näin helppoa tämä oli geometrisesti ajateltuna.

Varsinainen lause jota tarvitaan on kai suurin piirtein että: kordaan piirretty kehäkulma on puolet ympyräkaaren kulmasta.

En muista tarkkaa sanamuotoa edes ruotsiksi, jolla näitä asioita opettelin aikanaan.

Uusimmat

Suosituimmat