Hieman selvennystä erääseen funktioon.

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tämä tehtävä löytyy sellasesta kertauskirjasta, jossa on vanhoja yo tehtäviä. Takaa löytyy vastaukset, mutta ne kirotut kirjan tekijät eivät ole voineet pistää välimuotoja vastauksiin.

Olisin utelias tietämään, että miten tämä funktio f(x)=x^3+3x^2+3x-7 on saatettu muotoon f(x)=(x+1)^3-8

Kommentit (11)

Vierailija

Toiseen suuntaan:
(x+1)^3 -8 = (x+1)(x+1)^2 -8 = (x+1)(x^2 + 2x + 1) -8

Tuon kun kerrot auki saat alkuperäisen funktion. Aika vaikea tuosta on äkätä että lauseke saadaan käännettyä binomin neliöön, mutta noin se menee.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Repa^
Tämä tehtävä löytyy sellasesta kertauskirjasta, jossa on vanhoja yo tehtäviä. Takaa löytyy vastaukset, mutta ne kirotut kirjan tekijät eivät ole voineet pistää välimuotoja vastauksiin.

Olisin utelias tietämään, että miten tämä funktio f(x)=x^3+3x^2+3x-7 on saatettu muotoon f(x)=(x+1)^3-8

varmaan katsottu, että yhtälön x³+3x²+3x+1 ainoa nollakohta on -1, josta seuraa, että tämä yhtälö muuttuu muotoon (x+1)³, ja tuosta alkuperäisestä jää jäljelle vielä se -8.

Muoks. Vielä pieni lisäys, jonka meidän matematiikan opettaja aikanaan lohkaisi: "Että mistäkö tuon keksii? No kun ei keksi muutakaan."

Muoks. 2. Lukiossa ei taidettu pahemmin imaginäärilukuihin koskea, mutta tuohon vielä sellainen huomio, että tuohon tekijöihin jakamiseen sisältyy sellainen vaara, että loput juurista on imaginäärisiä. Ei siis riitä, että se on ainoa reaalinen nollakohta, joka näkyisi helposti kuvaajasta.

Jos en nyt vain muista väärin, niin sen nollakohtien määrän pitäisi näkyä siitä yhtälön muodosta. Jos se on monotoninen, niin löytyy vain yksi nollakohta. Jos ei ole monotoninen, niin ainakin imaginäärisiä nollakohtia löytyy enemmän kuin yksi.
(en ole aivan 100% varma tämän asian yksioikoisuudesta)

Jeps, meni vähän monimutkaisemmaksi kuin oli tarkoitus. Ei tainnut olla apua.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Neutroni
Seuraa 
Viestejä23104
Liittynyt16.3.2005

Tuossa on "huomattu", että funktiossa on kolme termiä samoja kuin (x+1)^3:ssa. Ei kai tuollaisille ole mitään triviaalia kaavaa, johon sijoittelemalla vastaus näkyy automaattisesti.

Vierailija

En kyl ymmärrä mistä toi bosoni keksi tuon x³+3x²+3x+1, koska yhtälöhän oli x³+3x²+3x-7.

Pyh, vähän aikaa sen jälkeen, kun mä lähetin tän kysymyksen tänne, mä keksin ainakin yhden menetelmän saada se sellaseksi. Uskon, että se on kyllä aika epäkäytännöllinen ja hidas tapa.

Tehtävässä piti kattoo, että onko se funktio aidosti kasvava, joten mä olin derivoin sen. Siitä tuli f'(x)=3x^2+6x+3. Sen sai muotoon 3(x^2+2x+1) ---> 3(x+1)^2 ... Sitten mä keksin integroida sen tosta muodosta ... Siitä tulee (x+1)^3 + C . Sitten mä "huomasin" sen ainoon nollakohdan eli 1... Ratkaisin sillä tuon C = -8. Siitä tuli sitten tuo f(x)=(x+1)^3-8.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Repa^

Tehtävässä piti kattoo, että onko se funktio aidosti kasvava, joten mä olin derivoin sen. Siitä tuli f'(x)=3x^2+6x+3. Sen sai muotoon 3(x^2+2x+1) ---> 3(x+1)^2 ... Sitten mä keksin integroida sen tosta muodosta ... Siitä tulee (x+1)^3 + C . Sitten mä "huomasin" sen ainoon nollakohdan eli 1... Ratkaisin sillä tuon C = -8. Siitä tuli sitten tuo f(x)=(x+1)^3-8.

Jos kerran ensin käskettiin katsoa, että se on aidosti kavava, niin siitä näkee, että pitäisi löytyä vain se yksi juuri. Siitä tulee mieleen, että voi pyrkiä muotoon, joka on (x-nollakohta)^3+C. (korkeammankin asteen yhtälöt jakautuu tekijöihin nollakohtien mukaan) Sitten loppu on luovuutta. En ainakaan mitään yleistä reseptiä keksi.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Neutroni
Seuraa 
Viestejä23104
Liittynyt16.3.2005
Repa^

Tehtävässä piti kattoo, että onko se funktio aidosti kasvava, joten mä olin derivoin sen. Siitä tuli f'(x)=3x^2+6x+3. Sen sai muotoon 3(x^2+2x+1) ---> 3(x+1)^2 ... Sitten mä keksin integroida sen tosta muodosta ... Siitä tulee (x+1)^3 + C . Sitten mä "huomasin" sen ainoon nollakohdan eli 1... Ratkaisin sillä tuon C = -8. Siitä tuli sitten tuo f(x)=(x+1)^3-8.

Miksi funktio sitten piti muuttaa tuollaiseen muotoon? Näkeehän tuon aidosti kasvavuuden jo siitä, että derivaatta on kaikkialla suurempi kuin nolla.

Vierailija
Miksi funktio sitten piti muuttaa tuollaiseen muotoon? Näkeehän tuon aidosti kasvavuuden jo siitä, että derivaatta on kaikkialla suurempi kuin nolla.



Tehtävä oli tällainen:

"Osoita, että funktio f: R --> R, f(x)=x^3+3x^2+3x-7 on koko R:ssä aidosti kasvava. Muodosta f:n käänteisfunktio."

Se funktio täytyy muuttaa siihen muotoon, että siitä saa selville käänteisfunktion.

Jos kerran ensin käskettiin katsoa, että se on aidosti kavava, niin siitä näkee, että pitäisi löytyä vain se yksi juuri. Siitä tulee mieleen, että voi pyrkiä muotoon, joka on (x-nollakohta)^3+C. (korkeammankin asteen yhtälöt jakautuu tekijöihin nollakohtien mukaan) Sitten loppu on luovuutta. En ainakaan mitään yleistä reseptiä keksi.

Tuon (x-nollakohta)^3+C jutun perusteella alkuperäisen funktion nollakohta olisi sitten -1.... -1 on derivaatan nollakohta.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä23104
Liittynyt16.3.2005
Repa^

Se funktio täytyy muuttaa siihen muotoon, että siitä saa selville käänteisfunktion.

Jaa, no sitten tuo on ymmärrettävää. Kolmannen asteen yhtälön ratkasukaavaa ei ilmeisesti oleteta tunnetuksi. No, se on liian pitkä muistettavaksi, hankala johdettavaksi ja sen käyttö on joka tapauksessa sen verran työlästä, että kannattaa hieman käyttää aikaa ratkaisun keksimiseen muuten.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Repa^

Tuon (x-nollakohta)^3+C jutun perusteella alkuperäisen funktion nollakohta olisi sitten -1.... -1 on derivaatan nollakohta.

En tarkoittanut, että se nollakohta oli sen alkuperäisen yhtälön. Se ei oikein pelaa. Siis jotenkin muuten muokkaamalla pitää päästä kyseisenlaiseen muotoon, ja se nollakohta ilmestyy sinne sitä kautta. Ja se nollakohta ei sitten ole alkuperäisen yhtälön, vaan sen (x-nollakohta)-osan.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

itse tekisin näin
f(x)=x^3+3x^2+3x-7 = x^3+3x^2+3x +1 -8 = (x+1)^3-8

en tiedä auttaako tämä sitten mitään

edit: jahas, neutroni olikin ehdottanut jo tätä..

Vierailija

Yksinkertaisen muistisäännön näille binomin potenssin kertoimille saa Pascalin kolmiosta.

........1...........(a+b)^0 = 1
.......1 1.........(a+b)^1 = a+b
......1 2 1.......(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
.....1 3 3 1.....(a+b)^3 = a^3 + 3a^2*b + 3ab^2 + b^3
....1 4 6 4 1...(a+b)^4 = a^4 + 4a^3*b + 6a^2*b^2 + 4ab^3 + b^4
..........:...............:.................................:

Tässä siis aina seuraava alempi rivi saadaan laskemalla ylemmän rivin kaksi vierekkäistä termiä yhteen.

Uusimmat

Suosituimmat