0,999...=1?

Sivut

Kommentit (721)

IsoJussi
Seuraa 
Viestejä987
Liittynyt16.3.2005

Mietitäänpä...

Olkoon 0,999...9 (äärettömän pitkä luku jonka viimeinen numero on 9). Jos sitten 0,999...9=1, niin silloin varmaan pätee 0,999...9=0,999...8. Ja silloin myös 0,999...8=0,999...7 jne. Eli silloinhan 0,999...9=0,999...7 tai ihan mikä tahansa muukin luku.

Mielenkiintoista...

Same shit, different day...

Vierailija

Ei kai taas tätä samaa... aihe on ollut tälläkin palstalla keskustelussa varmaan kymmenen kertaa. Tämähän ei ole mikään avoin ongelma, vaan reaalilukujen desimaaliesitykset määritellään raja-arvoina niin, että 1.000... ja 0.999... merkitsevät samaa lukua.

IsoJussi
Seuraa 
Viestejä987
Liittynyt16.3.2005
Ihmes
x=0,999... | *10
10x=9,999... |-x=-0,999...
9x=9 | :9
x=1

Jos tuo 0,999...9 kerrotaan kymmenellä, ei se viimeinen numero ole varmaan 9 vaan 0. Jos siitä sitten vähennetään 0,999...9, saadaan 9,000...1.

Same shit, different day...

Vierailija
IsoJussi
Ihmes
x=0,999... | *10
10x=9,999... |-x=-0,999...
9x=9 | :9
x=1



Jos tuo 0,999...9 kerrotaan kymmenellä, ei se viimeinen numero ole varmaan 9 vaan 0. Jos siitä sitten vähennetään 0,999...9, saadaan 9,000...1.

Idis on siinä että ysejä jatkuu loputtomasti... eli että loppuun ei tule nollaa. Eikä oikeastaan ysiäkään, koska loppua ei ole

Vierailija
IsoJussi
Mietitäänpä...

Olkoon 0,999...9 (äärettömän pitkä luku jonka viimeinen numero on 9).
...
Mielenkiintoista...


0,999...9 on eri luku kuin 0,999... Tämä on helppo todeta jakamalla molemmat esim. 2:lla.

DedMoroz
Seuraa 
Viestejä18361
Liittynyt16.3.2005

Jahas.

eikös tuo 10 kertominen vain siirrä sitä pilkkua?

eikös nuot kolme pistettä (...) osoita luvun jatkuvan päättymättömänä (tässä tapauksessa yseinä for ever)?
esim. 1/3=0,333...

Vai onkos minulta taas kateissa jotakin?

Tuo Ihmeksen 10x=9,999... |-x=-0,999... herättää myös hieman kummastusta. Voidaanko noin tosiaan toimia?

DM
menee sitten vissiin muinaiset matikat jossain vaiheessa uusiksi?

I usually give people more chances than they deserve but once I'm done, I'm done.

IsoJussi
Seuraa 
Viestejä987
Liittynyt16.3.2005
Arla
0,999...9 on eri luku kuin 0,999... Tämä on helppo todeta jakamalla molemmat esim. 2:lla.

Duoda duoda, ei kai se mikään eri luku ole. Tuolla merkintätavalla tarkoitin sitä, että luvun viimeinen numero on aina 9. Aivan samalla tavalla kuin 1/3 tuloksen viimeinen numero on aina 3. Jos jompikumpi kerrotaan kymmenellä, viimeinen numero ei voi olla 9 tai 3. Tai jos on, kyse ei enää ole samasta luvusta joka on kerrottu.

Sinänsä tämä kiistely on varmaan aika turhaa, ja varsinkin sen todisteleminen kerto- ja jakolaskuilla tai raja-arvoilla. Sitä hieman ihmettelen, ettei paikalle ole sattunut yhtään oikeata matemaatikkoa, joka voisi kertoa miten asia ihan oikeasti on.

Siihen saakka olen sitä mieltä, että 0,999... ei ole 1.

Same shit, different day...

Vierailija
IsoJussi
Duoda duoda, ei kai se mikään eri luku ole. Tuolla merkintätavalla tarkoitin sitä, että luvun viimeinen numero on aina 9.
Luvussa 0.999... ei ole viimeistä numeroa, mikä on koko jutun pointti.
Sinänsä tämä kiistely on varmaan aika turhaa, ja varsinkin sen todisteleminen kerto- ja jakolaskuilla tai raja-arvoilla. Sitä hieman ihmettelen, ettei paikalle ole sattunut yhtään oikeata matemaatikkoa, joka voisi kertoa miten asia ihan oikeasti on.

Siihen saakka olen sitä mieltä, että 0,999... ei ole 1.

Asia on ihan oikeasti näin. Ei se nyt niin vaikeaa ole.

Vierailija
IsoJussi
Arla
0,999...9 on eri luku kuin 0,999... Tämä on helppo todeta jakamalla molemmat esim. 2:lla.

Duoda duoda, ei kai se mikään eri luku ole. Tuolla merkintätavalla tarkoitin sitä, että luvun viimeinen numero on aina 9. Aivan samalla tavalla kuin 1/3 tuloksen viimeinen numero on aina 3. Jos jompikumpi kerrotaan kymmenellä, viimeinen numero ei voi olla 9 tai 3. Tai jos on, kyse ei enää ole samasta luvusta joka on kerrottu.

0,999...9 on aivan selvästi luku, joka päättyy, eli siinä on desimaali, jonka jälkeen ei muita tule, kun taas 0,999... on aidosti päättymätön.

Vierailija
IsoJussi
Ihmes
x=0,999... | *10
10x=9,999... |-x=-0,999...
9x=9 | :9
x=1



Jos tuo 0,999...9 kerrotaan kymmenellä, ei se viimeinen numero ole varmaan 9 vaan 0. Jos siitä sitten vähennetään 0,999...9, saadaan 9,000...1.

jos tehdään sitten näin:
x=0,999... ||-0,1x=-0,099...
0,9x=0,9||*10
9x=9||:9
x=1

DedMoroz
Seuraa 
Viestejä18361
Liittynyt16.3.2005
Arla
0,999...9 on aivan selvästi luku, joka päättyy, eli siinä on desimaali, jonka jälkeen ei muita tule, kun taas 0,999... on aidosti päättymätön.

Heh, näin sen olen mieki tajunnu. En siis vielä ihan maahan laitettava kuitenkaan.

Saakos täällä pyöristellä?
miusta kun 0,999... ≈ 1

I usually give people more chances than they deserve but once I'm done, I'm done.

IsoJussi
Seuraa 
Viestejä987
Liittynyt16.3.2005
puolihullu
jos tehdään sitten näin:
x=0,999... ||-0,1x=-0,099...

Mitähän matematiikkaa tuo sitten on?
Tehdäänkö myös näin?
3x=6 || -1x=-1
2x=5??????????

Ja sitä tarkoitin tuolla merkinnälläni (0,999...9), että sen ysin jälkeen tulee aina ysi.

Jos vaikka 0,99 kerrotaan kymmenellä tulos on 9,9 eikä 9,99. Toki 0,999 kerrottuna kymmenellä on 9,99 mutta 0,99 ei ole 0,999. Tämän vuoksi nuo kymmenellä kertomiset eivät toimi noissa todisteluissa.

Same shit, different day...

Vierailija

Asia on itseasiassa kovin yksinkertainen. Nimittäin modernissa algebrassa esim. luku 0,999... määritellään raja-arvoksi:

lim(m --> oo) sum(n = 1->m) ((9)/(10^n))

Ja tämä raja-arvo puolestaan on helppo todistaa olevan 1. Eli voidaan sanoa luvun 0,999... olevan määritelmällisesti 1.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat