Ananyyttistä ratkaisua etsin.

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

²+[y(φ)]²+k+a[y(φ)]³=0

Kun unohdetaan kolmas potenssi, yhtälö on ratkaistavissa
analyyttisesti ainakin fysikaalisesti ymmärrettävällä tavalla. (yleinen ratkaisu+yksittäinen ratkaisu).

Olen selaillut netistä ja kirjastosta jos jonkinmoista opusta ja viimeisenä keinona pistän yhtälön tänne kysymyksen kera.

Onko kyseiselle yhtälölle olemassa analyyttistä ratkaisua?

ps. Olen päätynyt siihen että ei, mutta aivan mahtavaa olisi jos joku osoittaisi että on.

Edit...

Yksittäisratkaisu yhtälölle:

²+[y(φ)]²+k=0

on y=y0sin(φ), y0²=-k

Fysikaalisesti on "järkevää" valita yleinen "ratkaisutermi" nollaksi.

Ei matemaattisesti pätevää, mutta antaa järkevän ratkaisun fysikaalisesti

Sivut

Kommentit (47)

Tep
Seuraa 
Viestejä827
Liittynyt16.3.2005
Harhatien opiskelija
[y(?)']2+[y(?)]2+k+a[y(?)]3=0

Kun unohdetaan kolmas potenssi, yhtälö on ratkaistavissa
analyyttisesti ainakin fysikaalisesti ymmärrettävällä tavalla. (yleinen ratkaisu+yksittäinen ratkaisu).

Olen selaillut netistä ja kirjastosta jos jonkinmoista opusta ja viimeisenä keinona pistän yhtälön tänne kysymyksen kera.

Onko kyseiselle yhtälölle olemassa analyyttistä ratkaisua?

ps. Olen päätynyt siihen että ei, mutta aivan mahtavaa olisi jos joku osoittaisi että on.

Edit...

Yksittäisratkaisu yhtälölle:

[y(?)']2+[y(?)]2+k=0

on y=y0sin(?), y02=-k

Fysikaalisesti on "järkevää" valita yleinen "ratkaisutermi" nollaksi.

Ei matemaattisesti pätevää, mutta antaa järkevän ratkaisun fysikaalisesti

Yhtälösi on epälineaarinen, eli sääntö yleinen ratkaisu + yksityinen ratkaisu ei päde. Kirjoitan tuntemattomaksi y sen derivaataksi y' ja muuttujana käytän x.
Ratkaisen yhtälösi kun k= 0.
(dy/dx)^2 = - y^2 -ay^3 = -y^2(1+ay)
eli

dy/y sqrt(1+ay) = -dx
josta (Int = integraali)

Int dy/y sqrt(1+ay) = -x +vakio

Taulukosta

log[sqrt(1+ay)-1]/[sqrt(1+ay)+1] = -x +vakio

ja sitten eksponenttiin

[sqrt(1+ay)-1]/[sqrt(1+ay)+1] = Cexp(-x)

missä vakio = logC

Voit sitten ratkaista sqrt(1+ay) suhteen ja sitten y:n suhteen. Tarkista nämä laskut, jos sattui jokin lipsahdus. Mutta tässä näet periaatteen mitä yrittää.
Tämä oli siis tapaukselle k=0.
Edit. Kun k ei ole nolla niin analyyttinen ratkaisu ei näytä todennäköiseltä. Mutta kuka tietää, jos k ja a valitaan sopivasti.

Vierailija
Tep

Tämä oli siis tapaukselle k=0.

Kiitos. Tuttua juttua. k≠0.

Joten et auttanut maailmanteorian luonnissani juurikaan. Heh.

Mutta edelleenkin jos joku löytää analyyttisen ratkaisun yhtälölle niin minä lupaan vääntää maailmankaikkeuden solmuun.

Itseasiassa mä vihaan approksimaatioita. Mä vihaan sellaista ajatusta että:"tää on nyt vain näin".

Mutta yksinkertaisin esimerkki toivottomasta vihasta on matemaattinen heiluri (ilman kitkavoimia).

Tämän täydellinen yhtälö on:

φ''+ω²sin(φ)=0

Tälle yhtälölle ei ole analyyttista ratkaisua (tietääkseni).

olenpas aika päissäni.

edit:

Jotenkas perustellusti: Jos Newtonin mekaniikkaan perustuvaan yhtälöön ei ole ratkaisua, on aika utopistista olettaa että laajenettuun teoriaan samankaltaiselle yhtälölle on ratkaisu...

Mutta saahan sitä yrittää, vaikka vihaankin savolaista logiikkaa..

Ja aikamoisessa kännissä olen.

Ja skänässähän mä voisin esittää oman "idean" kaikenlaisesta Yli-Sonnista". Mulla vain kaatuu toi selittäminen noihin yhtälöihin. Mut kyllä mä olen teille vara-jeesus, olkaa huoleta. Mä pelastan teidät kaikki.

ps2. Sopimatonta. Mut Tep, tuo oli mitä odotinkin. Hyvä vastaus mutta approksimaatio - pitääkö tähän tyytyä?.

ps.miljoona:Promilleja aika paljon

Vierailija
Tep

Edit. Kun k ei ole nolla niin analyyttinen ratkaisu ei näytä todennäköiseltä. Mutta kuka tietää, jos k ja a valitaan sopivasti.

Jeps. Valintojen maailma. Matemaattisesti suhteellisuusteoria antaa mahdollisuuden ihan mihin tahansa.

Mutta luultavasti en ala HsTan, Katin tai Jukterin tasolle totuudesta väittelemään.

Ei liity aiheeseebn mutta olen ottanut viinaa aika reippaasti. Veikon sanomiset ROM:eista ja Eraseable E-rommeista olivat "ainoita" asiallisia viestejä mitä olen nähnyt. Järkeviä ja näin mutu-tuntumalta asiantuntevia.

Tähtitiede- ja matematiikka-ketju toistavat itseään. Kumoajat yrittävät kaataa teorioita joita eivät ymmärrä.

ps. H&H helvetin päissään

ps. Pahoittelen, mutta minkäs sille voi jos päissään kirjoittaa mitä sattuu... Morkkis tulee huomenna ja luultavasti olen menettänyt kunnioituksen kanssaihmisten keskuudessa jauhamisilllamisina....pröööt

Vaari - yhdyssanatieteilijä: Erittäin mielenkiintoinen sana: jauhamisillasimina.

Riimukivet tulisi oikein varmaankin jos sanoisin jauhamisillamisina.

pöh- matti e. simonaho... kai me jotain näistä luetaan?

Ja sininen väri oli ihan Katin kunniaksi.... morkkis tulee

Tep
Seuraa 
Viestejä827
Liittynyt16.3.2005

Fysiikassa on ihan tuttu tilanne, ettei ole eksaktia ratkaisua. Nykyäänhän diff. yhtälöt integroidaan numeerisesti. Mutta likiarvoratkaisut ovat usein hyviä arvioitaessa tilannetta. Esim. antamani ratkaisu on hyvä, jos |y^2 +ay^3|>>|k|.
Likiarvoratkaisun löytää samalla tavalla kun a= 0.

Kyllä yhtälösi ratkaisua on varmaan joku joskus saattanut tutkia. Yli 100 vuotta vanhoissa julkaisuissa näitä löytyy. Usein tekijänä eläkkeellä oleva upseeri.
Yleisessä tapaukseessa yhtälöösi tulee neliöjuuri 3. asteen polynomista ja tällöin ei yleensä löydy ratkaisuja alkeisfunktioiden (sini,kosini, exp jne) avulla paitsi. jos polynomilla sattuu olemaan kaksoisjuuri.
En ole niin varma, voidaanko tämä yhtälö muuttaa elliptisten funktioiden joksikin yhtälöksi. Niissä on yleensä 4. kertaluvun polynomi. Diff. yhtälöillähän on se vaikeus, että ei koskaan tiedä onko ne standardimuodossa, joka on annettu taulukossa. Voi joutua vaihtamaan tuntemattoman funktion tai muuttujan tai molemmat uusiksi.
Ehkäpä tästäkin tulisi jokin elliptinen funktio sopivalla muunnoksella. Nykyään ei näitä funktioita niinkään harrasteta, kun kaikki ratkaistaan numeerisesti.
Tämä on kirjoitettu suhteellisen selvänä.
Edit: Luulen että tämä voidaan muokata joksikin elliptiseksi funktioksi.

Vierailija
Tep

En ole niin varma, voidaanko tämä yhtälö muuttaa elliptisten funktioiden joksikin yhtälöksi. Niissä on yleensä 4. kertaluvun polynomi. Diff. yhtälöillähän on se vaikeus, että ei koskaan tiedä onko ne standardimuodossa, joka on annettu taulukossa. Voi joutua vaihtamaan tuntemattoman funktion tai muuttujan tai molemmat uusiksi.
Ehkäpä tästäkin tulisi jokin elliptinen funktio sopivalla muunnoksella. Nykyään ei näitä funktioita niinkään harrasteta, kun kaikki ratkaistaan numeerisesti.
Tämä on kirjoitettu suhteellisen selvänä.
Edit: Luulen että tämä voidaan muokata joksikin elliptiseksi funktioksi.

Bessel function of first kind? Or second?

En edelleenkään ole matemaatikko mutta ideaa sain jostain...tattis tep.

Megadeth:Life? What you mean 'bout life, I ain't got no life.

edit:lisäsin ton tattis tepin

Vierailija
Tep
Fysiikassa on ihan tuttu tilanne, ettei ole eksaktia ratkaisua. Nykyäänhän diff. yhtälöt integroidaan numeerisesti.

Paljon hauskempaa on hakata päätä seinään.

Mutta se on myönnettävä että tarkkoja rajoja ei ole. Ja tämä vituttaa. Luonnon ominaisuus (yksinkertaisen heilurin ominaisuus) on mahdottomuus.

Me haluamme tietää, mutta emme tiedä. Filosofista paskaa eikö?

Mikään kirja ei osaa ratkaista yksinkertaista heilurin yhtälöä.

Ja siksipä alkuperäinen yhtälö tuntuukin varsin oudolta.

Mä juuri ja juuri näen näppäistöni

Tep
Seuraa 
Viestejä827
Liittynyt16.3.2005

Ei ole kysymys Besselin functioista. Elliptiset funktiot (elliptic functions) on ihan oma ryhmänsä. Esim. matemaatikko Jacobi niitä määritteli. Ovat jonkinlaisia yleistyksiä trigonometrisistä funktioista. Niitä käytettiin viime vuosisadan alkupuolella analyyttisessä mekaniikassa.
Minulla on vain pintapuolista tietoa niistä. Ei ne ole ollenkaan niin helppoja kuin trigonometriset funktiot, Muutenhan ne olis vieläkin yleisessä käytössä.
Edit. Tuossa on muuten muutama elliptisen integraalin määritelmä
http://encyclopedia.laborlawtalk.com/Elliptic_integral

Vierailija
Tep
Ei ole kysymys Besselin functioista. Elliptiset funktiot (elliptic functions) on ihan oma ryhmänsä. Esim. matemaatikko Jacobi niitä määritteli. Ovat jonkinlaisia yleistyksiä trigonometrisistä funktioista. Niitä käytettiin viime vuosisadan alkupuolella analyyttisessä mekaniikassa.

Yritin runtata koordinaatistomuunnosta (yritän edelleen) ja Jacobin systeemi runttaa aika hankalia yhtälöitä.

Mutta elliptisyys on esimerkiksi köysikäyrän ominaisuus.. tai jokin.. (vrt. elliptisyys hyperbelisyyteen... samankaltaisuuttta)

no elliptinen tai hyperbelinen mutta kuitenkin tuolle alkuperäiselle yhtälölle "noin" tuollainen ratkaisu olisi aika jees.

Vierailija

Tämä on sitten mun ketju maailmanparannukselle.

Haaste kaikille ja kaikelle.

Ratkaiskaa aloituksessa mainittu yhtälö.

Ja helpommalla pääsette kun ratkaisette heilurin yhtälön.

joo-op. Aika hankalaa. Aika helvetin hankalaa.

Moraalinen krapula luultavasti voittaa huomenna.

edit:

Unohtakaa kaikki mitä kirjoitin. I was very drunk.
Sensuuri on sallittua ja hyväksyttävää. Kuolkaa siat

edit:

Aika ulalla olen... harmainta hajuakaan mitä teen.... tulipahan leuhotettua.. ja leuhotus kopsahtaa omaan nilkkaan....vituttamaan alkaa,.

Voi Jeesus.

Elämä voittaa huomenna... kai

Tep
Seuraa 
Viestejä827
Liittynyt16.3.2005

Eihän tässä ole periaatteessa ongelmaa. Yhtälö johtaa ilmeisemmin elliptisiin funktioihin ja integraaleihin. Niitä tutkittiin kovasti 1800-luvulla monenkin matemaatikon toimesta. Siten maailmalla on hiukan erilaisia määritelmiä niistä.
Netistä löytyy jotakin samoin joistakin taulukoista, mutta oikeat selitykset ovat vanhoissa mekaniikan ja analyysin kirjoissa.
Tässä tapauksessa pitäisi yhtälö ja siihen liittyvä integraali muuntaa johonkin standardimuotoon. Siihen tarvitaan muistaakseni neliöjuren alla olevan polynomin nollakohtia. Tässä sitten on käytännön ongelma. Homma vie aikaa, kun asioihin yrittää perehtyä.
Muuten siis heilurin yhtälökin johtaa elliptiseen integraaliin.
Esim Jacobin määrittelemillä elliptisillä funktioilla on trigonometristen funktioiden kaltaisia yhteyksiä. Aikoinaan näiden funktioiden käyttäytyminen on tutkittu kuten esim. sinin ja kosinin.
Nykymatemaatikot eivät näistä ole kiinnostuneita. Jotkut fyysikot niitä käyttävät.
Itse tarkastelisin yhtälöön liittyvää ongelmaa ensin likiarvoin ja integroisin yhtälön numeerisesti joillakin sopivantuntuisilla vakioilla a ja k. Näin saisi ehkä käsityksen vastaavatko tulokset odotuksia tai mitä ne merkitsevät.

Vierailija
Tep
Yhtälö johtaa ilmeisemmin elliptisiin funktioihin ja integraaleihin. Niitä tutkittiin kovasti 1800-luvulla monenkin matemaatikon toimesta. Siten maailmalla on hiukan erilaisia määritelmiä niistä.
...
Nykymatemaatikot eivät näistä ole kiinnostuneita. Jotkut fyysikot niitä käyttävät.

Onko elliptisillä funktioilla jotain tekemistä elliptisten käyrien kanssa? Jos on, niin nykyään salakirjoitusmenetelmien tutkijat ovat kiinnostuneita elliptisistä käyristä. Nykyään kaikki julkisen avaimen salakirjoitusmenetelmät perustuvat RSA-algoritmiin. Käsittääkseni elliptisillä käyrillä voidaan myös toteuttaa toimiva - ja RSA:ta laskennallisesti kevyempi - julkisen avaimen salakirjoitusmenetelmä.

Vierailija

Joo-op. Edelliset viestit kirjoitin "pienessä" sievässä.

Mutta hullulla on hauskat huvit.

Kyseinen yhtälö ([y(φ)']²+[y(φ)]²+k+a[y(φ)]³=0) on valon taipumisen yhtälö Schwarzschildin metriikassa. (Hemmon nimi pitää aina luntata jotta se menisi oikein).

Ja arvatenkin jos tuolla yhtälöllä olisi analyyttinen ratkaisu, se olisi esitetty jo aikoja sitten. Mutta suuruudenhulluudessani olen yrittänyt löytää tuolle ratkaisua - arvattavin tuloksin.

Mutta jos jotain kiinnostaa, sama yhtälö (x,y,z)-koordinaatistossa on (z=0, equatorial plane):

(y²dx²+x²dy²)(1-k/r)=h, missä r²=x²+y²

(Tästä en mene sataprosenttisesti takuuseen sillä vaikkakin sain oikean tuloksen tasaisessa avaruudessa, metrisen tensorin muunnos koordinaatistosta toiseen on aika työläs. Ja vaikka tarkistin derivoinnit moneen kertaan, en voi olla varma lopputuloksesta.)

Nyt koska alan jo luovuttamaan analyyttisen ratkaisun hakemisessa, täytyy tyytyä approksimaatioihin.

Elikkäs Schwarzschildin ratkaisu itsessään on jo approksimaatio (staattinen ja pallosymmetrinen). Ja kun avaruus on tyhjä, Riccin tensorin jokainen komponentti on nolla. Ja yleensäkin aika-avaruus oletetaan lähestulkoon tasaiseksi. Tällainen ratkaisu antaa varsin hyvät arvot esimerkiksi auringon tapauksessa.

Mutta kun mennään sfääreihin (mustiin aukkoihin) niin mietityttää kuinka kaareva avaruus on jossain pisteessä. Yhtälöistä tulee kylläkin varsinaisia mammutteja numeerisillakin arvoilla, mutta kuitenkin suoraviivaisia. Hypoteettisesti (matemaattisesti) esimerkiksi valo voi jäädä kiertämään jotain massiivista kappaletta. Maalaisjärjellä ajateltuna tällöin avaruus on huomattavankin kaareva.

Joten seuraava vaihe ongelman ratkaisussani ei ole enää analyyttinen vaan numeeristen arvojen hakeminen kaarevuustensorille. Ja tämä tulee olemaan pitkäpiimäistä hommaa koska en ole ohjelmoinut puoleen vuoteen mitään...

No onneksi pohjatyö on valmis (toivottavasti oikein) eli S-hemmon pallokoordinaatiston metriikan siirto x,y,z-koordinaatistoon on (kai) oikein. Oikeastaan ihan mielenkiintoista nähdä sitten kun joskus saan arvot valmiiksi, millainen kaarevuus missäkin paikassa vallitsee... mutta tähän voi mennä aikaa tovi jos toinenkin...

Ja veikkaisin että googlettamalla nuo laskut löytyisivät, mutta maailmanteorioita ei luoda kopioimalla nettisivuja.

ps. Puhun "maailmanteoriasta" ihan suuruudenhulluudessani. Mutta kuten niccinikin sanoo, olen opiskelija. Tällainen vääntäminen kaikenlaisten systeemien kanssa on oiva keino oppia missä mennään. Yleensä mennään aika kaukana poissa - kuten nyt - mutta aika hanskassa alkaa olla nuo YST:n matemaattiset perusteet... kai.

Mutta edelleen jos joku löytää tuolle alkuperäiselle yhtälölle analyyttisen ratkaisun, hän on aika sälli/tytsy.

Edit:

Itseasiassa tämän homman tarkoitus on itselleni selvittää mittasuhteita. Mittasuhteista oli puhetta gravitaatioaalto-ketjussa tähdet&avaruus-aiheessa. Äärettömyyshän on matemaattinen tosiasia ja fysikaalisestikin "totta" mustista aukoista puhuttaessa. Tarkoitus on tsekata kuinka nopeasti äärettömyys menee nollaan kaarevuudessa ja kuinka hyvin approksimoidut tulokset vastaavat tätä. Mutta kuten jo mainitsin, homma on pitkäpiimäinen mutta luultavasti aika suoraviivainen...

Alustavasti itselleni paras ratkaisu olisi se että äärettömyys menee nollaan (kaarevuus) vähintäänkin eksponentiaalisesti jolloin voin jatkaa "maailmanteoriani" luontia approksimoiden.

Mut pitää laskea muutama lasku ja siinä välissä ottaa muutama tuoppi.

Huvittamaan alkoi tuo maailmateoria. Mut jokin nimi projektilla pitää olla.

Edit2:

Mutta aika harmissani olen noista kännisistä kirjoituksistani. Ei oikein soveliasta, mutta vaikka kuinka tekisi mieli deletoida ne, en deletoi. Oman itsensä deletointi on huijausta. Mutta aikamoista sontaa sitä ihminen pystyy kirjoittamaan...

Tep
Seuraa 
Viestejä827
Liittynyt16.3.2005

Juu näyttää toi valon taipumiselta Schwarzschildin metriikassa. Paksusta Misner, Thorne, Wheeler; Gravitation kirjasta löytyy vastaavanlainen yhtälö.
Jos Schwarzschildin metriikka kirjoitetaan pallokoordinaateissa

ds^2 = -(1-2M/r)(ct)^2 + dr^2/-(1-2M/r) +r^2[dz^2 + (sinz)^2 dw^2]

Tässä M = 2Gm/c^2 (G gravitaatiovakio, m massa, c valonnopeus) ,t aikakoordinaatti r radiaalinen koordinaatti, z (yleensä theta) leveyspiiri pohjoisnavalta laskettuna ja w pituuspiiri (phi).
Paksu kirja (sivu 673) antaa kaavan valon radoille päiväntasaajalla z=pii/2:

(du/dw)^2 + u^2(1-2u) =(M/b)^2

u = M/r eli säteen käänteisluku kerrottuna M:llä ja vakio b on saanut nimen iskuparametri. Se ilmeisesti kertoo milloin säde menee mustaan aukkoon ja milloin ei. Näyttää kovin samalta yhtälöltä, kun u:n tilalla on y. Vakiot on vain merkitty toisin.
Yhtälöstä voi integroida esim kulman w muutoksen kun u muuttuu nollakohdastaan seuraavaan nollakohtaan ( eli r ääretön)

Int du/sqrt[ 2u^3-u^2+(M/b)^2] = pituuspiirin muutos
Integraalin voi laskea kahden kahden u-arvon välillä.
Tuon neliöjuuren alla olevan polynomin muoto kannattaa tutkia (nollakohdat ja derivaatankin nollakohdat).
Tämä johtaa johonkin elliptiseen integraaliin. Riippuu noista nollakohdista millaiseen. Ratkaisu on siten esitettävissä elliptisenä funktiona.

Tep
Seuraa 
Viestejä827
Liittynyt16.3.2005

->Arla. Mulla on muistikuva, että esim. ellipsin kaaren pituus johtaa johonkin elliptiseen integraaliin. Yhteydestä salaukseen en tiedä.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat