Differenssiyhtälön ratkaisu

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Etsi funktiot y(t)= f(t), jotka toteuttavat seuraavan differenssiyhtälön:
y(t+2)+y(t+1)= 2y(t) +12

Osaisiko joku ratkaista?

Kommentit (5)

Vierailija
nunnuka
Etsi funktiot y(t)= f(t), jotka toteuttavat seuraavan differenssiyhtälön:
y(t+2)+y(t+1)= 2y(t) +12

Millä oppiasteella tuommoisia tulee? Vissiin yliopistossa?

Vierailija
msdos464
nunnuka
Etsi funktiot y(t)= f(t), jotka toteuttavat seuraavan differenssiyhtälön:
y(t+2)+y(t+1)= 2y(t) +12



Millä oppiasteella tuommoisia tulee? Vissiin yliopistossa?

Lukion pitkässä matematiikassahan nuo on opetettu.

Vierailija
HeinrichSchliemann
en kerro tapaa ratkaista vastaus on seuraava:

f(t)=y(0)+4t


Tuosta jäi nyt puuttumaan jokunen ratkaisu. Toisen asteen differenssiyhtälöllä on ratkaisuissa (yleensä?) kaksi vapausastetta, mutta Heinrichin ratkaisussa oli niistä vain toinen. Yleisempi ratkaisu on muotoa
f(t) = a (-2)^t + 4 t + b,
missä a ja b ovat vapaasti valittavia vakioita. Differenssiyhtälöitä voi ratkoa melkein samaan tapaan kuin differentiaaliyhtälöitäkin, mutta derivointi korvautuu differenssillä Dy(t) = y(t+1) - y(t). (Valitettavasti ei ole deltaa kirjaimistossa.) Sitten pitää tietysti tietää, miten eri funktiot käyttäytyvät, kun niistä otetaan differenssi. Monissa tapauksissa analogia derivointiin on vahva.

D x (x-1) ... (x-N+1) = N x (x-1) ... (x-N+2). Siis esimerkiksi D x (x-1) = 2 x
Vertaa termin x^N derivointiin. Gamma-funktion avulla tuon voisi vielä yleistää muillekin kuin kokonaislukupotensseille N.

D a^t = (a-1) a^t
Vertaa termin a^x derivointiin. Kerroin ln a korvautuu (a-1):llä.

Tuosta voi sitten lähteä purkamaan annettua differenssiyhtälöä. Voin joskus paremmalla ajalla kirjoittaa ratkaisua pidemmällekin, jos kiinnostaa. Analogia differentiaaliyhtälöihin kannattaa joka tapauksessa pitää mielessä. Koulussa noita kyllä luultavasti opetetaan ratkomaan vähän toisin

Uusimmat

Suosituimmat