Yhtälön separointi / muut ratkaisutavat

Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Kappale on vapaassa putoamisliikkeessä ilmakehässä. Siihen vaikuttaa gravitaatiovoima G=-mg ja kitkavoima F=-½·ρv(t)²Ak

m on kappaleen massa, k on ilmanvastuksen muotokerroin, A on kappaleen poikkipinta-ala, ρ on ilmakehän tiheys ja v(t) on nopeus hetkellä t. Suuntasopimus siten, että ylöspäin on positiivinen suunta.

Nythän on niin, että v=ds/dt eli paikan derivaatta. Kiihtyvyys on puolestaan dv/dt eli nopeuden derivaatta. Newtonin toisen lain perusteella taas a=F/m, jossa F on kappaleeseen vaikuttavien voimien summa.

Tästä saadaan, että

a(t)=-g-Kv(t)² sovitaan, että ½·ρAk=K, niin ei mene niin monen kirjaimen kopioinniksi, sehän on kuitenkin yhtä kappaletta laskettessa mitä luultavimmin vakio... ellei sitten lasketa huomattavasti harvempiin ilmakerroksiin lentävän ammuksen rataa tai muotoaan muuttavaa kappaletta (esimerkiksi laskuvarjohyppääjää).

Tästä saadaan differentiaaliyhtälö

v'=-g-Kv(t)², joka ratkaisemalla saadaan laskettua kappaleen nopeus hetkellä t (olettaen että v(0)=0 tai jokin muu annettu arvo).

(Vastaavasti jos halutaan tietää paikka hetkellä t, yhtälö on muotoa

s''=-g-K(s')². Yritetään nyt kuiten ensin ratkaista tuota ylempää.)

Eli onko tuo yhtälö mahdollista ratkaista separoimalla? Itse pääsin tähän asti:

dv/dt=-g-K/(v(t)^-2)

mutta voiko tätä separoida? Separoituvan differentiaaliyhtälön määritelmähän on, että sen voi kirjoittaa muotoon

dy/dx=f(x)/g(y) jota tässä tapauksessa vastaa muuttujat

dv/dt=f(t)/g(v) eli muuttuja v(t) pitäisi saada yhden jakoviivan alle. Mitä tuolle gravitaatiokiihtyvyydelle voisi tehdä?

Onko tämä yhtälö mahdollista kirjoittaa tähän muotoon?

Jos ei ole, mitä muita tapoja on ratkaista tällainen differentiaaliyhtälö? Siis analyyttisesti. Vai onko niitä? Kiitos etukäteen vastauksista, yritän itsekin vielä ratkaista tätä hommaa.

Seuraava askel onkin sitten ilmanvastuksen simuloiminen heittoliikkeessä pystysuoran putoamisliikkeen sijaan...

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Kommentit (6)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Herra Tohtori

Eli onko tuo yhtälö mahdollista ratkaista separoimalla? Itse pääsin tähän asti:

dv/dt=-g-K/(v(t)^-2)

Ensimmäisenä mieleen tullut menetelmä tuolle on:

saadaan muotoon:

-dv/(g+kv^2)=dt

Eikös tuo ole nyt separoitu, kun ajatellaan, että f(v)=g+kv^2?
(tai ei kai tuossa oikein separoinnista voi puhua, kun tuossa ei ole mitään t:n funktiona)

Tästä muodosta tulee mieleen etäisesti arkustangentin yhtälö. (kokemus on yksi tapa oppia)

eli kun muokataan vielä vähän, niin saadaan:

-1/g dv/(1+kv^2/g)=dt

ja muuttujan vaihto a=(k/g)^(1/2)*v => dv=(g/k)^(1/2)da

joten yhtälö on nyt muodossa:

da/(1+a^2)= dt* -(g*k)^(1/2)

josta puolittain integroimalla :

-(gk)^(1/2)t+C= arctan(a)

josta seuraa:

a=tan(-(kg)^(1/2)t+C)

ja siitä muuttujanvaihto takaisin a=(k/g)^(1/2)*v ja alkuehtojen tarkastelu.

Edit: Ymh, jo toinen huolimattomuusvirhe korjattu.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005
bosoni

...eli kun muokataan vielä vähän, niin saadaan:

-1/g dv/(1+kv^2/g)=dt

ja muuttujan vaihto a=(k/g)^(1/2)*v => dv=(g/k)^(1/2)dv



dv=(g/k)^½ dv | ( ):dv

(g/k)^½ = 1 | ( )^2

g/k=1 | ()*k

g=k

...mutta kun ei ole. Paitsi ehkä hyvin rajoitetussa määrässä tapauksia.

Voiko tuon muka merkitä noin, vaikkei merkinnän sisältö pidä paikkaansa?

Jos ei, niin se tietenkin raunioittaa tämän lopun:

joten yhtälö on nyt muodossa:

da/(1+a^2)= dt* -(g^3/k)^(1/2)

josta puolittain integroimalla :

-(g^3/k)^(1/2)+C= arctan(a)

josta seuraa:

a=tan(-(g^3/k)^(1/2)+C)

ja siitä muuttujanvaihto takaisin a=(k/g)^(1/2)*v ja alkuehtojen tarkastelu.

Sitäpaitsi millä matematiikalla da=(g/k)^(1/2)dv??

Jos derivoidaan määritelty a=(k/g)^½ v, niin ainakin minun tuntemieni derivoimissääntöjen mukaan siitä tulee (k/g)^½, jos oletetaan intuitiivisesti että v on muuttuja, niin kuin se onkin.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Herra Tohtori

dv=(g/k)^½ dv | ( ):dv

(g/k)^½ = 1 | ( )^2

g/k=1 | ()*k

g=k

...mutta kun ei ole. Paitsi ehkä hyvin rajoitetussa määrässä tapauksia.

Siis muuttujan vaihto kyseessä ja tietysti tuon jälkimmäisen piti olla da, eikä dv.

Tein tarvittavan korjauksen edelliseen viestiin.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Hmm hmmmm.

Okei, katsotaas.

1/g * dv/(1 + K/g*v^2) | a=(K/g)^½ * v eli a^2=K/g v^2 sekä dv=(g/k)^2 * da

Saadaan siis lauseke muotoon

1/g * (g/K)^½ * da/1+a^2

=sqrt g/(g*K) * da/1+a^2 | (sqrt g)/g = 1/sqrt g

=1/sqrt (g*K) * da/1+a^2 tähän asti näyttää lupaavalta, otetaan toinen puoli mukaan ja integroidaan.

1/sqrt (g*K) * da/1+a^2 = -dt | Int( )

1/sqrt (g*K) Int da/1+a^2 = -1 Int dt

1/sqrt (g*K) * (arctan a + C) = -t

arctan a / sqrt (g*K) + C / sqrt (g*K) = -t

arctan a / sqrt (g*K) = -t - C / sqrt (g*K) | *sqrt (g*K)

arctan a = -t/sqrt (g*K) - C | tan ( )

a = tan(-t/sqrt (g*K) - C) | a=(K/g)^½ * v

sqrt(K/g) * v = tan(-t/sqrt (g*K) - C) | ( ):sqrt(K/g)

v(t) = [tan(-t/sqrt (g*K) - C)] / sqrt(K/g)

Nyt ei tarvis enää muuta ku vanhan kunnon graavisen laskimen tähän niin vois tarkistella tään... määritelläänpä vielä tuo C tuolta pois:

v(0)=0

tan(-t/sqrt (g*K) - C)=0 | arctan ( )

-t/sqrt (g*K) - C=0 | +C

-t/sqrt (g*K) = C | *sqrt (g*K)

-t=C * sqrt (g*K) | merkitään C * sqrt (g*K) = D

-t=D | t=0

D=0

C * sqrt (g*K) = 0 | :sqrt (g*K)

C=0

jeeee...

v(t) = {tan[-t/sqrt (g*K)]} / sqrt(K/g)

Eli yhtälö on määritelty kun K ei ole nolla eikä g ole nolla.

Sitten vielä aukaistaan tuo K...

K=½ρAk

v(t) = {tan[-t/sqrt (g*½ρAk)]} / sqrt(½ρAk/g)

Sitten vain syötetään graaviseen laskimeen (jos sellainen olisi tässä lähettyvillä...)

Ja sitten ratkaistaan vielä yhtälö

s'=v(t) niin saadaan hieno ja kaunis kuvaaja.

Suurkiitos avusta!

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Herra Tohtori

arctan a / sqrt (g*K) = -t - C / sqrt (g*K) | *sqrt (g*K)

arctan a = -t/sqrt (g*K) - C

Tuosta bongasin pikku virheen. Tarkastelin myös oman laskuni uusiksi, ja siellä oli myös virhe. Ei pitäisi näköjään hätiköidä.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005
bosoni
Herra Tohtori

arctan a / sqrt (g*K) = -t - C / sqrt (g*K) | *sqrt (g*K)

arctan a = -t/sqrt (g*K) - C




Tuosta bongasin pikku virheen. Tarkastelin myös oman laskuni uusiksi, ja siellä oli myös virhe. Ei pitäisi näköjään hätiköidä.

Juuh...

arctan a = -t sqrt (g*K) - C jne.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Uusimmat

Suosituimmat