Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Miten http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html kohdasta 29 tulee kohta 30?

Osaako joku selittää tai laittaa linkin?

Kommentit (14)

Vierailija

Koska tästä aiheesta ei taida tulla paljon juttua, niin kysyn samalla toisen kysymyksen.

Kun korkeamman asteen yhtälöä yritetään ratkaista rationaalijuuriehdokkailla, niin onko siinäkään muuta keinoa, kuin kokeilu ja arviointi?

Jos esimerkiksi vakiotermi on 44100, tulee rationaalijuuriehdokkaita aika paljon.

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Äärellinen määrä kuitenkin. Ja nykyisillä laskutehoilla saadaan ratkaisu hyvinkin nopsaan, kun vaan laitetaan oikea härveli arvaamaan.

Että se ei sinällään ole ongelma.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Vierailija

Kyllä se tavallaan on ongelma. Matematiikassa pyritään saavuttamaan ratkaisu loogisesti. Eihän esimerkiksi yhtälöä 2x+3=0 ratkaista kokeilemalla vaan yhtälön ratkaisemiseen kehitetyillä keinoilla.

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Niin, mutta jos meillä on korkeampaa astetta oleva yhtälö jota ei saa tuosta vain tulon nollasäännöllä ratkaistua, niin jos löytyy yksi ratkaisu joka voidaan osoittaa todeksi, saadaan sen perusteella laskettua kaikki muuta ratkaisut.

Rationaalijuuriehdokkaiden nimeäminen on nimenomaan matemaattisesti muotoilu menetelmä rationaalijuurten löytämiseksi funktion kertoimien avulla.

On tietenkin olemassa muistaakseni ainakin kolmannen ja neljännen asteen funktion ratkaisukaavat, mutta niitä ei ainakaan lukiossa käytetty vaan kokeilumenetelmän avulla. JOs ei olisi mahdollisuutta käyttää rationaalijuuriehdokkaiden avulla, jouduttaisiin etsimään mahdolista ratkaisua kaikilla mahdollisilla luvuilla... mihin saattaisi mennä rajattomasti aikaa.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Vierailija
Neutroni
Se on yrite. Joku on joskus arvannut sen, ja sen jälkeen se on opetettu tuleville polville. Tuollaisia kikkoja on matematiikassa paljon.

Onko se kaava arvattu ihan pelkällä arvaamisella siten, että on vain heitetty päästä erilaisia kuutiojuuren sisältäviä kaavoja? Vai onko siihenkin joku äärellinen tai jollain tavalla rajattu joukko kaavoja, joista yritetään arvata?

Onko esimerkiksi jotain sellaista, että kolmannen asteen kaavassa on pakko olla kolmannen, toisen ja ensimmäisen asteen termi?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä23122
Liittynyt16.3.2005
Massi^-

Onko se kaava arvattu ihan pelkällä arvaamisella siten, että on vain heitetty päästä erilaisia kuutiojuuren sisältäviä kaavoja? Vai onko siihenkin joku äärellinen tai jollain tavalla rajattu joukko kaavoja, joista yritetään arvata?

Matematiikan kanssa puuhatessa oppii kyllä "näkemään", mitä ominaisuuksia voisi mielekkäällä ratkaisuyritteellä olla. Loppu on vain kärsivällisyyttä. Ihan kylmiltään arvaamalla ei yleensä pääse puusta pitkään, koska vaihtoehtoja on äärettömästi.

Muistelen aikanaan oppimaani tuontyyppistä, mutta hieman erilaista lähestymistä asiaan. Siinä lähdetään yhtälöstä z^3+a*z+b=0, johon muotoon mielivaltainen 3. asteen yhtälö on helppo muuntaa.

Sijoitetaan z=x+y ja saadaan

x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+ax+ay+b=0

Termejä ryhmittelemällä saadaan muoto

x^3+y^3+3xy(x+y)+a(x+y)+b=0

ja edelleen

(x^3+y^3+b) + (3xy+a)(x+y) = 0

Edellinen yhtälö toteutuu, jos pätee

x^3+y^3+b = 0
3xy+a = 0

Alemmasta ratkaistaan x ja sijoitetaan ylempään, jolloin saadaan 2. asteen yhtälö x^3:lle. Vastaavasti saadaan y. Tuosta tulee paljon ratkaisuja x:lla ja y:lle, kun ottaa huomioon juurien moniarvoisuuden kompleksiluvuilla, mutta muistaakseni niiden summaksi tulee yhtälön kolme juurta ilman ihmeellisiä kommervenkkejä.

Vierailija

tälläiset kertovat ongelmista matematiikassa. Uskon että opetettu matematiikkajärjestelmä ei ole absoluuttisesti oikea, on hirveästi ehtoja ja erilaisia ratkaisutapoja. Kun oikea matemaattinen järjestelmä joskus keksitään (jos keksitään) sen voi oppia opiskelemalla pari sääntö joista muut johdetaan helposti, ja mikä tahansa lauseke on nopea laskea ilman mitään miettimistä eli tietokonekin voi ratkaista sen ilman että monelle eri tyyliselle laskulle on erikseen laskutavat.

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Mutta niinhän asia on jo!

Helppous puolestaan on suhteellista.

Siltikin, sellaisista yksinkertaisista säännöistä kuin

x+0=x

tai

x+y=y+x

tai

x < y => x+z < y+z

ja muutama muu aksiooma (kunta-aksioomat ja järjestysaksioomat) luovat perustan järjestettyjen lukukuntien käytölle matematiikassa. Siitä lähdetään liikkeelle ja näistä johdetaan uusia säännönmukaisuuksia.

Sitten on tietenkin funktioiden maailma eli kuvaukset joukosta A joukkoon B... näihin sisältyvät myös differentiaaliyhtälöt.

Sitten on tietenkin geometria ja vektorit, kun siirrytäään lukusuoralta korkeampiin ulottuvuuksiin ja otetaan käyttöön tasot ja avaruudet.

Mutta kuten sanottu, kaikissa käytetään yleensä järjestettyjä lukukuntia - paitsi kompleksilukuja käytettäessä. Kompleksiluvut kun eivät ole järjestetty kunta. Silloin riittävät kunta-aksioomat, käsittääkseni.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

pöhl
Seuraa 
Viestejä828
Liittynyt19.3.2005
Massi^-
Kun korkeamman asteen yhtälöä yritetään ratkaista rationaalijuuriehdokkailla, niin onko siinäkään muuta keinoa, kuin kokeilu ja arviointi?

On. Rationaalitarkaisut ovat muotoa +- (vakiotermin tekijä)/(korkeimman asteen termin kertoimen tekijä).

Vierailija
Puuhikki
Massi^-
Kun korkeamman asteen yhtälöä yritetään ratkaista rationaalijuuriehdokkailla, niin onko siinäkään muuta keinoa, kuin kokeilu ja arviointi?

On. Rationaalitarkaisut ovat muotoa +- (vakiotermin tekijä)/(korkeimman asteen termin kertoimen tekijä).

Tiesin kyllä tuon, mutta tarkoitin, että joskus tuon muotoisia ehdokkaita tulee eritäin paljon. Onko mitään keinoa, miten niistä valitaan oikea.

Vierailija
teini
tälläiset kertovat ongelmista matematiikassa. Uskon että opetettu matematiikkajärjestelmä ei ole absoluuttisesti oikea, on hirveästi ehtoja ja erilaisia ratkaisutapoja. Kun oikea matemaattinen järjestelmä joskus keksitään (jos keksitään) sen voi oppia opiskelemalla pari sääntö joista muut johdetaan helposti, ja mikä tahansa lauseke on nopea laskea ilman mitään miettimistä eli tietokonekin voi ratkaista sen ilman että monelle eri tyyliselle laskulle on erikseen laskutavat.

Matematiikkahan perustuu siihen että kaikki käytetyt järjestelmät ovat ristiriidattomia ja näinollen sisäisesti oikein. Mitään absoluuttisesti oikeaa matematiikkaa ei ole olemassakaan kuten ei myöskään täydellistä järjestelmää. Tässä täydellisyys tarkoittaa että kaikki järjestelmässä voimassaolevat lauseet voitaisiin todistaa sen omilla menetelmillä, Gödelin täydellisyyslause todisti ettei se ole mahdollista missään järjestelmässä vaan aina jää väitteitä joita ei voida todistaa oikeaksi tai vääräksi. Ristiriidattomuus puolestaan tarkoittaa ettei järjestelmässä voida todistaa oikeaksi sekä väitettä että sen vastaväitettä, esim. Peano aksioomat luonnollisten lukujen muodostamiseksi oletetaan ristiriidattomaksi.

Erilaisia matemaattisia järjestelmiä onkin muodostettu useita. Muutama esimerkki olisi esim. luonnollisetluvut ja reaaliluvut. Molemmat ovat kuitenkin "oikein" eikä kumpikaan ole toista "parempi" järjestelmä, ne ovat vain erilaisia. Lisäksi on olemassa äärellisiä, numeroituvia, ylinumeroituvia ja sellaisia järjestelmiä joissa millään lukumäärillä tai muulla mitä voitaisiin "laskea" ei ole mitään merkitystä. Kaikki tämä johtaa siihen ettei ole olemassa mitään yksittäistä oikeaa matematiikkaa vaan on olemassa useita erilaisia oikeita matematiikkoja. Osaa niistä voi käyttää joihinkin ongelmiin esim. fysiikkaan, osalle ei vain ole vielä keksitty soveltamiskohteita ja mahdollisesti osalle ei sovelluksia olekaan mutta silti ne ovat kaikki yhtä oikeita ja arvokkaita matematiikkana.

pöhl
Seuraa 
Viestejä828
Liittynyt19.3.2005
Massi^-

Tiesin kyllä tuon, mutta tarkoitin, että joskus tuon muotoisia ehdokkaita tulee eritäin paljon. Onko mitään keinoa, miten niistä valitaan oikea.

Voithan etsiä Newtonin iteraatiolla likiarvoratkaisun ja koittaa sitä kautta valita oikeat tekijät kertoimista.

Uusimmat

Suosituimmat