Geometrinen ongelma?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Geometrian kirjaa selatessani tuli vastaan tämmönen tehtävä:

"Suunnikkaan jokainen kärkipiste yhdistetään janoilla kummankin vastakkaisen sivun keskipisteisiin. Yhdysjanat rajaavat suunnikkaan keskelle 8-kulmion. Kuinka suuri osa sen pinta-ala on suunnikkaan pinta alasta."

Että näin. Ratkaisun minäkin sain, mutta todistamisesta ei tullut mitään. Eikä tullut muiltakaan, joille olen tehtävää näyttänyt. Jos joku onnistuu todistamaan tämän, niin olisin kiitollinen valistuksesta.

Vastaus on muuten 1/6.

Ja minun tuurilla todistus on tietenki lapsellisen helppo ja yksinkertainen.

Kommentit (11)

Vierailija

Kun tiedät vastauksen onnistuu (ainakin periaatteessa) yhtälön tekeminen, ja sitä kautta tuon ratkaiseminen. En kyllä lähde edes arvailemaan miten geometrisestä kuviosta tehdään yhtälö...

DedMoroz
Seuraa 
Viestejä18361
Liittynyt16.3.2005

Hei. Tuolle kuviolle kaava muistaakseni
saatan kyllä olla ihan lepinkäisessä
olin

I usually give people more chances than they deserve but once I'm done, I'm done.

Vierailija
Ismael
Geometrian kirjaa selatessani tuli vastaan tämmönen tehtävä:

"Suunnikkaan jokainen kärkipiste yhdistetään janoilla kummankin vastakkaisen sivun keskipisteisiin. Yhdysjanat rajaavat suunnikkaan keskelle 8-kulmion. Kuinka suuri osa sen pinta-ala on suunnikkaan pinta alasta."

Että näin. Ratkaisun minäkin sain, mutta todistamisesta ei tullut mitään. Eikä tullut muiltakaan, joille olen tehtävää näyttänyt. Jos joku onnistuu todistamaan tämän, niin olisin kiitollinen valistuksesta.

Vastaus on muuten 1/6.

Ja minun tuurilla todistus on tietenki lapsellisen helppo ja yksinkertainen.

Laskeskelin tuossa vektorilaskennalla tuota ja minä sain vastaukseksi 1/8 suunnikkaan alasta. Laskinko (muka) väärin? Joku voisi tarkistaa ja laskea itsekseen, niin vertaillaan. Suoritusta ei voi järkevästi esittää tässä mm. kuvan ja merkintöjen rajallisuuden takia, joten mahdollista virhettä ette pääse suorituksestani etsimään.

Vierailija

Riittää laskea alojen suhde neliölle, koska neliön venyttäminen suorakulmioksi ja edelleen kääntäminen suunnikkaaksi muuttaa sekä neliön että sen sisällä olevan kulmion aloja samassa suhteessa.

Vierailija
murikka
Riittää laskea alojen suhde neliölle, koska neliön venyttäminen suorakulmioksi ja edelleen kääntäminen suunnikkaaksi muuttaa sekä neliön että sen sisällä olevan kulmion aloja samassa suhteessa.

Totta, mutta se ei edistä probleeman ratkaisua nyt. Muiden vastaukset kiinnostaisi.

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005

Tämä pätee kaikille suunnikkeille, mutta selittämisen helpottamiseksi piirrä neliö. Puolita se vaakaan ja pystyyn. Saat 4 pienempää neliötä. Merkitään keskipistettä A:lla, oikean reunan keskipistettä B:llä ja yläreunan keskipistettä C:llä. Yhdistämällä B ja C saadaan kolmio ABC. Piirrä kolmion ABC kärjestä C jana sivun AB keskipisteeseen D. Piirrä kärjestä B jana sivun AC keskipisteeseen E. Janat CD ja BE leikkaavat pisteessä F, joka jakaa ne suhteessa 2:1. (Tämä on tunnettuja kolmiolauseita, enkä ala sitä tässä todistamaan.) Piirrä vielä pisteen F kautta janan AB suuntainen suora. Se leikkaa janan AC pisteessä G.

Nyt kolmio ADF on 1/8 kysytystä kuviosta. Siten kuvion pinta-aja = 8*1/2*|AD|*|AG|. Samamuotoisen kolmioiden ADC~GFC perusteella AG=1/3*AC=1/3*1/2*a (a on alkuperäisen neliön sivun pituus). AD=1/2*AB=1/2*1/2*a. =>

Kysytty pinta-ala = 8*1/2*1/2*1/2*a*1/3*1/2*a=1/6a^2

Sanoit saaneesi ratkaisun, mutta et osannut todistaa? Yleensä geometriassa sekä ratkaisu että todistus ovat samat.

Vierailija
H

Kysytty pinta-ala = 8*1/2*1/2*1/2*a*1/3*1/2*a=1/6a^2

Sanoit saaneesi ratkaisun, mutta et osannut todistaa? Yleensä geometriassa sekä ratkaisu että todistus ovat samat.

Kiitos mycket paljon, vaikka täytynee tuota vielä vähän sulatella ja kokeilla itsekin paperilla.

Joo sain ratkaisun, mutta se oli lähinnä silmämääräisesti arvioitu ja vastauksista varmistettu. Joten, jos "minulla on silmät" on korrekti ja riitävä perustelu, niin jo vain osasin.

Kiinnostaisi vain tietää, että menikö kauankin, vai heititkö tuon vastauksen ihan vain lonkalta.

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005
Ismael

Kiinnostaisi vain tietää, että menikö kauankin, vai heititkö tuon vastauksen ihan vain lonkalta.

Ratkaisusta 1/6 arvasini heti mitä tarvitaan. Muten olisi mennyt kauemmin. Aloin kirjoittaa vastausta heti ilman kuvaa, mutta sekosin ja jouduin piirtämään kuvan.

Vierailija

Joo tuo H:n ratkaisu neliölle oli aukoton. Neliöstä saadaan affiineilla kuvauksilla suunnikas siten, että pinta-alojen suhteet säilyvät. Näin ollen tämä 1/6 alkuperäisestä pinta-alasta pätee myös suunnikkaille. Täytyypä vielä katsoa, mikä meni omassa vektorilaskennassani pieleen.

Vierailija

Joo. Ihan mielenkiinnosta tarkistin vektorilaskuni ja löysin virheen. Nyt päädyin samaan lukuun 1/6 sitäkin kautta. Se ei ole yhtä kaunis, kuin H:n ratkaisu, koska jouduin käyttämään ristituloja. Toisaalta vastaus pätee kaikkiin suunnikkaisiin suoraan ilman affiineja kuvauksia.

Löytyyköhän vielä joku kolmas lähestymistapa tähän tehtävään? Jos ratkaisit tehtävän jotenkin muuten, kuin H:n tavalla tai käyttämällä vektorien ristituloja, niin olisin utelias kuulemaan.

Vierailija
Kale

Löytyyköhän vielä joku kolmas lähestymistapa tähän tehtävään? Jos ratkaisit tehtävän jotenkin muuten, kuin H:n tavalla tai käyttämällä vektorien ristituloja, niin olisin utelias kuulemaan.

AutoCAD:lla tuli näppärästi. ^^ Ei kuitenkaan taida olla ihan matemaattisesti pätevä todistusmenetelmä.

Uusimmat

Suosituimmat