Uudenlainen trigonometrian korvaava teoria

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

New trigonometry is a sign of the time

What's more, his simple new framework means calculations can be done without trigonometric tables or calculators, yet often with greater accuracy.

Established by the ancient Greeks and Romans, trigonometry is used in surveying, navigation, engineering, construction and the sciences to calculate the relationships between the sides and vertices of triangles.

"Generations of students have struggled with classical trigonometry because the framework is wrong," says Wildberger, whose book is titled Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry (Wild Egg books).

Dr Wildberger has replaced traditional ideas of angles and distance with new concepts called "spread" and "quadrance".

These new concepts mean that trigonometric problems can be done with algebra," says Wildberger, an associate professor of mathematics at UNSW.

"Rational trigonometry replaces sines, cosines, tangents and a host of other trigonometric functions with elementary arithmetic."

"For the past two thousand years we have relied on the false assumptions that distance is the best way to measure the separation of two points, and that angle is the best way to measure the separation of two lines.

"So teachers have resigned themselves to teaching students about circles and pi and complicated trigonometric functions that relate circular arc lengths to x and y projections – all in order to analyse triangles. No wonder students are left scratching their heads," he says.

"But with no alternative to the classical framework, each year millions of students memorise the formulas, pass or fail the tests, and then promptly forget the unpleasant experience.

"And we mathematicians wonder why so many people view our beautiful subject with distaste bordering on hostility.

"Now there is a better way. Once you learn the five main rules of rational trigonometry and how to simply apply them, you realise that classical trigonometry represents a misunderstanding of geometry."

Wild Egg books: http://wildegg.com/
Divine Proportions: web.maths.unsw.edu.au/~norman/book.htm

Source: University of New South Wales

http://web.maths.unsw.edu.au.nyud.net:8 ... apter1.pdf

Kommentit (7)

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Etäisyydet on korvattu niiden neliöillä ja kulma on korvattu käsitteellä "spread", voisi kai suomentaa "suorien erotus" tai "leviämä", tai uudissanalla "spredi" .

Mielenkiintoista tässä on se, että mielestäni suorien leviämä ei kerro meille välittömästi yhtä paljon niiden välisistä suhteista, mutta tämä voi johtua ihan vain siitä kokemuksesta, mikä on ollut minulla trigonometrian esittelystä asti.

Normaalistihan kulma määritellään trigonometristen funktioiden avulla, mutta tässä on oiottu sen verran, että on suoraan laitettu kulman tilalle käsitteeksi leviämä, joka on itse asiassa muotoa

s=Q1/Q2=trig^2 alfa, jossa trig € F{sin, cos,tan, arcsin, arccos, arctan}

Eli on vain todettu uudestaan, että välivaiheiden aikana ei kannata laskea potensseja auki vaan kannattaa sijoitella kaikki sqrt2:t ja muut irrationaaliluvut lopulliseen lausekkeeseen ja vasta sen jälkeen laskea likiarvo. Tässä vain merkintä vaihtelee siten, että arvoista ei tarvitse ottaa neliöjuuria laskutoimitusten aikana, paitsi aivan lopussa kun halutaan muuttaa etäisyyden neliöt varsinaiseksi etäisyydeksi, tai leviämäluku kulmaksi.

Sanoisin näin äkiseltään että tämä on tottumiskysymys, ja tärkein kysymyksiä herättävä kohta on väittämä, että etäisyyden neliö on perustavampaa laatua oleva käsite kuin etäisyys itse, koska se on helpommin laskettavissa ja että leviämä on perustavampaa laatua oleva käsite kuin kulma, koska sekin on helpompi laskea.

Itse en kuitenkaan pidä trigonometristen funktioiden määrittelyä yksikköympyrän avulla mitenkään mahdottomana. Jos tiedetään kulma, saadaan vektorien ortogonaaliprojektioiden avulla hyvinkin helposti arvot sinille ja kosinille, ja kulman modostavaa suoraa jatkamalla saadaan yhtä helposti arvo tangentille. Itse asiassa tangentin arvon voi yhtä helposti laskea kulmakertoimen perusteella: yksikköympyrässä kulman muodostava suora on aina muotoa y=kx. Tangentin kohdalla x=1, joten voidaan helposti nähdä että kohdassa 1 funktio saa arvon k.

Ei tietenkään ole mikään uusi asia todeta, että k=dy/dx... tai delta y/delta x, kuten muinaiset kreikkalaiset suoran derivaatan kirjoittivat syvällisempää differentiaaliyhtälöiden luonnetta käsittämättä!

Vastaavasti saadaan yhtä "helposti" trigonometristen funktioiden arvoista johdettua kulma.

Näin äkkiseltään näyttäisi siltä, että tuossa mullistavassa teoriassa on vain otettu uusi lähestymistapa välivaiheiden merkintöihin, jos ei sitten saada jollakin tapaa osoitettua, että leviämä on parempi termi kuin kulma... Totuus on se, että vaikka leviämä saattaa ollakin matemaattiselta luonteeltaan yksinkertaisempi ominaisuus sisältäen saman informaation kuin kulma, niin kulma on kuitenkin suure, joka kertoo kenelle tahansa duunarillekin missä asennossa jiirisahan terän tulee olla. Jos duunari alkaa miettimään vinotukien pituuden sijasta pituuden neliöitä, niin ei siinä päästä puusta pitkään.

Mutta kuten sanottu, tottumiskysymys. Voi olla, että tuolla menetelmällä saadaan nopeammin laskennallisia laskuja kuin yksikköympyrän ja perinteisten trigonometristen funktioiden avulla, mutta ei ilman totuttelua...

Pitääpä jossain vaiheessa pistää teoria testiin ja kahtoa mitä assari sanoo...!

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Vierailija

Linkissä (sivuilla 14-16) tehtiin väkisin "perinteinen trigonometria" epätarkemmaksi mitä tämä uusi.

Asioitahan voi tarkastella miltä kulmalta haluaa. Selasin läpi tuon linkin ja näin äkkisilmäyksellä metodit eivät tee trigonometriasta yhtään sen helpompaa.

Esimerkiksi cosinilause perinteisellä metodilla ja vektorialgebralla ei tarvitse "muistamista" kahvikupin vertaa.

|a-b|²=a²+b²-2a·b=a²+b²-2ab cosφ=c²

Vierailija

Kaipa siinä myös haettiin sitä, että muiden kuin suorakulmaisten kolmioiden ominaisuuksien laskeminen on näillä uusilla quadrancella ja spreadilla helpompaa. Systeemi saattaapi joissakin tapauksissa olla parempi, jos auttaa opiskelijoita motivoitumaan uudelleen. Tosin nykyään tietokoneiden aikana on aika helppoa käyttää trigonometrisiä funktioita ja varsinkin insinööritieteiden puolella, jossa matlab syö vain numeroita. En tosin osaa sanoa onko tuolla saavutettavissa jotain tehokkuusetuja aikaisempaan nähden.

Mitähän niillä filosofisilla loppulöpinöillä haluttiin sanoa?

Vierailija
JW

Mitähän niillä filosofisilla loppulöpinöillä haluttiin sanoa?

Varmaankin sitä että jos liike (tai jokin muu muutos koordinaateissa) on vain kulman suuntaista, homma toimii. Näin äkkiseltään.

Radiaalisesta muutoksesta linkissä ei mainittu sanallakaan.

Jos tuolla tavalla opetetaan perustrigonometriaa, ne jotka eivät opi, eivät opi. Sama juttu mikä vanhallakin metodilla. Mielestäni tuo lähestymistapa ei ole yhtään sen helpompi mitä vanha tuttu. Mielenkiintoinen kylläkin näin äkkiseltään.

Heksu
Seuraa 
Viestejä5462
Liittynyt16.3.2005

En minä ainakaan ymmärtänyt mikä siinä trigonometriassa on niin vaikeaa, että sitä pitäisi lähteä korvaamaan jollain "paremmalla"?

lierik
Seuraa 
Viestejä4922
Liittynyt31.3.2005

Trgonometrian tietoni perustuvat "Tekninen geometria ja trigonometria"-kirjaan, se nyt ei hirveän vaikea ole ainakaan ymmärtää. Ennen opetetiin geometriaa keskikoulussa jo ensimmäisillä luokilla mot:eineen. Sitten oli vielä deskistä, deskriptiivistä geometriaa jossakin, onko sitäkään enää CAE-aikana missään kun ei sitä enää tarvitse? Muita kouluja kävin sitten myöhemmin eikä niissä ollut.

Lierikki Riikonen

Uusimmat

Suosituimmat