Avaruusgeometristen muutosten hahmotus

Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Heehhee, nytpä löytyy piirrettyjä kuvia asioista, niin helpottuu niiden selittäminen.

Eli mitä tapahtuu kun massallinen kappale aiheuttaa häiriön avaruuden geometriaan?

Oletetaan ettämaailmankaikkeuden geometria poikkeaa euklidisesta vain hyvin vähän (havaintoihin perustuva oletus). Tällöin maailmankaikkeudessa normaalisti vallitsevat suoran eli euklidisen avaruuden geometriset säännönmukaisuudet.

Yleisen suhteellisuusteorian mukaan kuitenkin massalliset kappaleet luovat häiriön avaruuden rakenteeseen. Tämä on helposti havaittavissa esimerkiksi valonsäteiden kulkua mittaamalla. Usein avaruusgeometrisia muutoksia yritetään havinnollistaa nk. lakana-analogialla, mutta useammin se enemmän sekoittaa kuin selventää ajatuksia.

Yritän nyt tässä selventää millä tavalla itse hahmotan gravitaatioon liittyviä avaruusgeometrisiä muutoksia. Eli.

Käsitellään peräkkäin jokaista avaruuden tasoa tapauksessa, jossa ei ole massallisia kappaleita häiritsemässä. Euklidisen avaruuden jokainen taso on myös euklidinen, eli kaikki tasot ovat samanlaisia. Tällöin voidaan rajata tarkastelumme yhteen tasoon, ja voidaan havaita että tässä tasossa ei ole mitään ihmeellistä.

Nyt otetaan tilanne, jossa avaruudessa lilluu yksi massallinen kappale. Edelleenkin avaruus näyttää ensinäkemältä euklidiselta. Mutta mitä! Valonsäteet eivät enää liikukaan suoraan. Lyhin reitti kahden pisteen välillä ei olekaan enää suora!

Tarkastellaanpa kaikkia näennäisesti tasomaisia pintoja, joiden referenssipisteessä eli origossa on tuo massallinen kappale. Edellisen esimerkin perusteisiin lisätään oletus, että massallisen kappaleen aiheuttama häiriö leviää samanlaisena joka suuntaan. Tällöin voidaan taas osoittaa, että kaikki nämä pinnat ovat samanlaisia, joten yhden pinnan tarkastelu pätee kaikkiin. Kuva tuossa.http://users.tkk.fi/~lmiettun/Kuvat/mittatikut%20avaruudessa%23pienempi.jpg

Nyt täytyy vähän tarkastella sitä, mitä tämä meille kertoo. Tiedän, tämä on lähes tulkoon lakana-analogia, mutta ei kuitenkaan aivan. Eli vaikka tuossa kuvassa pisteet muodostavat kuoppamaisen kuvion, niin kolmiulotteisin aistein havainnoituna pinta näyttää avaruudessa tasolta. Tämä on kuitenkin tärkeää: koska taso ei oikeasti olekaan taso vaan pinta, pisteiden väliset etäisyydet eivät olekaan sitä miltä näyttävät.

Mitä tämä tarkoittaa käytännössä? Kuvan oikeassa yläkulmassa on mittatikku, jonka pituus on yksi. Sama mittatikku on sijoitettu myös kuvan keskiosiin, ja helposti nähdään että vaikka mittatikun pituus on sama yksi, se ei enää täytäkään hilassa kahden pisteen väliä!

Jos tuo hila kuitenkin projisoidaan tasolle (vrt. pinnan havainnointi esim. yläpuolelta), niin kahden pisteen väli näyttää kauemmas katsottuna yhdeltä. Silti mittatikkumme ei täytä tuota väliä. Havaintomme mukaan mittatikku on kutistunut joutuessaan gravitaatiohäiriön kohteeksi.

Tässä vaiheessa ketään ei varmaankaan yllätä että näin on todella havaittu olevan välillisesti fotonien aallonpituuksia mittaamalla.

Nyt tarvitsee enää laajentaa tämä käsitystapa pinnalta avaruuteen. Se on yksinkertaista: kun katsotaan euklidisesta avaruudesta kaareutuneeseen avaruuteen, etäisyyksiä ei nähdä oikein ilman korjauskertoimia. Jos esimerkiksi mitataan kahden pisteen välimatkaa kulman ja etäisyyden perusteella, niin pisteiden välissä onkin enemmän tilaa kuin mitä euklidisen geometrian antamat tulokset näyttävät.

Muita esimerkkejä erikoisista ilmiöistä kaareutuneessa avaruudessa:

Massallisen täysin pyöreän kappaleen kohdalla pätevät lauseet
V>4/3*pii*r^3
d>kehä/pii <=> r>kehä/(2*pii)
-pätee jo esimerkiksi Maan massaisilla kappaleilla muutaman senttimetrin eroilla

Massallisen kuution tapauksessa
V>a^3
d>sqrt (3a^2)

Jne.

Haluaisin tietää miten kukainenkin palstalla hahmottaa avaruudellisen geometrian muutoksia.

Tuossapa vielä isompi versio samasta kuvasta. http://users.tkk.fi/~lmiettun/Kuvat/mittatikut%20avaruudessa.jpg

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Sivut

Kommentit (88)

Vierailija

Avaruuden geometria ei muutu pätkän vertaa gravitaation seurauksena.
Kahden pisteen välinen lyhin reitti on edelleen suora, vaikka välissä olisi
planeetta säteilemässä vetovoimaansa.

Ongelma on vain siinä, että
tuon planeetan vetovoiman takia emme pääse kulkemaan tuota lyhintä
reittiä, vaan joudumme hiukan kiertämään. Luonnollisesti voimme
rakettimoottoreilla kuitenkin ohjata alustamme siten, että pääsemme
kuin pääsemmekin kulkemaan lyhintä reittiä eli suoraan. Mutta
ei ole tarve kulkea suoraan, koska voimme ihan hyvin koukata,
siten säästyy polttoainetta ja saadaan lisää vauhtia gravitaatio-
lingosta.

Tässä on myös avaruuden kaarevuusasiaa. Tosiasiassahan
avaruus ei kaareudu tässä tapauksessa mitenkään, vaan ainoastaan
kappaleiden liikeradat kaareutuvat painovoimakentän takia.

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Juu on suora, mutta ei tasolle projisoituna. Fotonin kulkema matka on suora fotonin omasta mielestä ja se on suora myös tuolla pinnalla, mutta koska me havaitsemme tuon pinnan tasoprojektiota, niin fotonin reitti näyttää kaarevalta.

Ja käsittääkseni gravitaation kenttäteoriaa ei ole vielä olemassa yhtä pätevässä muodossa kuin yleisen suhteellisuusteorian malli.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Vierailija
Herra Tohtori
Juu on suora, mutta ei tasolle projisoituna. Fotonin kulkema matka on suora fotonin omasta mielestä ja se on suora myös tuolla pinnalla, mutta koska me havaitsemme tuon pinnan tasoprojektiota, niin fotonin reitti näyttää kaarevalta.

Ja käsittääkseni gravitaation kenttäteoriaa ei ole vielä olemassa yhtä pätevässä muodossa kuin yleisen suhteellisuusteorian malli.

Fotonin matka on fotonin mielestä kaareva, jos fotoni pystyisi
katselemaan ympärilleen, koska matka olisi kaareva ja sen kaarevuuden
voi havaita suhteessa ympäristöön.

Lisäksi riippuen tarkastelukulmasta, reitti projisiopinnalla ei ole välttämättä suora,
sillä planeetan vetovoima kykenee harhauttamaan fotonin pois reitiltään
siten, että fotoni ei pääse koskaan pisteeseen b vaan menee pisteeseen c.

Vierailija
Herra Tohtori

Haluaisin tietää miten kukainenkin palstalla hahmottaa avaruudellisen geometrian muutoksia.



Yritän hahmottaa N-dimensionaalisia avaruuksia järjellä, mutta tämä kosahtaa mentäessä molempiin suuntiin 3D-avaruudesta.

3D-pallo ei ole 3D-pinta. Helposti voin erotella visuaalisesti pallon objektiksi ja manifoldin pallon pinnaksi.

Jos yritän erotella 2D-paperiarkkia 2D-manifoldista, joudun pinnistelemään. Paperiarkki on todellinen, mutta manifoldi 2D:ssä on kummallinen kaareva/ei-kaareva 2D-pinta. Siis ajattelen paperiarkkia tasona jolla on jokin pinta... ei toimi maalaisjärjellä.

Toiseen suuntaan homma on helpompaa(?). 4D-pallo on ihmeellinen kuvitteellinen abstrakti systeemi jonka pinta muodostaa 4D-manifoldin jossa elämme. Helpompaa siksi koska pallo ja pallon pinta on "järkeviä käsitteitä", joten 4d-pallokin on intuitiivisesti "olemassa". Geometria kuitenkin pätee 2D-ulottuvuudessa ja on aika hillittömän hankalaa ajatella 2-ulotteista "tilavuutta" jonka pinnalla jokin elää.

Derex
Avaruuden geometria ei muutu pätkän vertaa gravitaation seurauksena.
Kahden pisteen välinen lyhin reitti on edelleen suora, vaikka välissä olisi
planeetta säteilemässä vetovoimaansa.

Gravitaatiohan tekee avaruuden geometrian. Euklideelisessa avaruudessa suora on tosiaankin suora. Lyhintä reittiä mielivaltaisessa avaruudessa sensijaan kuvaa "suoruus". Suora on suora jos sen tangentit ovat vakiopituisia koko suoran matkalla (derivaatat jonkin parametrin suhteen ovat saman suuruisia).

Mielivaltaisessa manifoldissa kaksi suoraa voivat leikata toisensa ja ovat silti "suoria".Tässä euklideelinen avaruus ei toimi.

Euklidelisessa avaruudessa dx=A jos suora on suora.

Mutta jos ajattelet differentiaalia pyörivässä koordinaatistossa (klassisesti), differentiaali ei ole pelkkä dx, vaan dx+O, missä O on koordinaatiston muutos (dr'=dr+ωx).

Mielivaltaisessa manifoldissa dx ei ole pelkkä suureen muutos, vaan myös muutos koordinaateissa (koska koordinaatit myös ovat x:n funktioita).

Formaalisti tällainen differentiaali voidaan esittää Cristoffelin symbolin avulla. (Tarkoittaen että differentiaali suuntaan x muuttaa koordinaatteja jonkin funktion mukaan).

Ei Einstein tällaista geometriaa kehittänyt. Sen teki Reinmann ja muut hemmot. Einstein sai sen toimimaan fysiikassa. Ihmetyttää että miten ihmeessä, mutta toimii. Aivan järkyttävä ajatuksenjuoksu hemmolla on ollut. Kippis.

Lentotaidoton
Seuraa 
Viestejä4706
Liittynyt26.3.2005

"Gravitaatiohan tekee avaruuden geometrian."

Dredex onkin täällä niitä, joiden mielestä avaruus on annettuna (ja ilmeisesti myös absoluuttisena) ja siihen tulee sitten materia/energia sähläämään omiaan.

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005
Harhatien opiskelija

Yritän hahmottaa N-dimensionaalisia avaruuksia järjellä, mutta tämä kosahtaa mentäessä molempiin suuntiin 3D-avaruudesta.

3D-pallo ei ole 3D-pinta. Helposti voin erotella visuaalisesti pallon objektiksi ja manifoldin pallon pinnaksi.

Jos yritän erotella 2D-paperiarkkia 2D-manifoldista, joudun pinnistelemään. Paperiarkki on todellinen, mutta manifoldi 2D:ssä on kummallinen kaareva/ei-kaareva 2D-pinta. Siis ajattelen paperiarkkia tasona jolla on jokin pinta... ei toimi maalaisjärjellä.

Toiseen suuntaan homma on helpompaa(?). 4D-pallo on ihmeellinen kuvitteellinen abstrakti systeemi jonka pinta muodostaa 4D-manifoldin jossa elämme. Helpompaa siksi koska pallo ja pallon pinta on "järkeviä käsitteitä", joten 4d-pallokin on intuitiivisesti "olemassa". Geometria kuitenkin pätee 2D-ulottuvuudessa ja on aika hillittömän hankalaa ajatella 2-ulotteista "tilavuutta" jonka pinnalla jokin elää.




2-ulotteinen tilavuus nyt on helppo ajatella ainakin minusta.

Ajattelen ensin avaruuden kolme ulottuvuutta laatikkona, jonka särmät ovat äärettömän suuret ja totean, että samat avaruuden ominaisuudet on vähän pienemmälläkin kappaleella avaruutta, ja siirryn käsittelemään avaruuden palasta, jonka särmät ovat a:n mittaiset.

Sitten vain puristan laatikon korkeuden (tai koordinaatiston z-akselin) kasaan siten, että korkeusulottuvuus jää tason "sisään". Sitten kun mellä on tämä taso joka sisältää myös korkeusulottuvuuden, niin sitä vääntelemällä voidana katsoa millaisia venymiä tulee x-ja y-akselien suuntaisiin pisteiden väleihin. Edelleen totean että varmaan nämä venymät vaikuttaisivat z-akseliinkin samalla tavalla, mutta kun se ei ole näkyvissä niin se ei näy (tautologia, mutta tarpeellinen).

Nyt siis käytännössä nähdään mitä tapahtuu avaruuden yhdelle viipaleelle kun se venyy ja joskus jopa paukkuu (mustat aukot) massallisten kappaleiden lepoenergian vaikutuksesta. Periaatteessa jokaista viipaletta voidaan käsitellä samalla tavalla, se hieman ainakin minun kohdallani helpottaa sitä, miten käsitän "neljännen avaruusulottuvuuden" vaikutukset.

Ei kyse ole välttämättä neljännestä avaruusulottuvuudesta (se yleensä herättää kiivasta vastustusta), vaan kolmen ulottuvuuden mittasuhteiden vääristymisestä johonkin toiseen paikkaan verrattuna.

Ei Einstein tällaista geometriaa kehittänyt. Sen teki Reinmann ja muut hemmot. Einstein sai sen toimimaan fysiikassa. Ihmetyttää että miten ihmeessä, mutta toimii. Aivan järkyttävä ajatuksenjuoksu hemmolla on ollut. Kippis.

Todellakin. Muttei samppanjaa savolaisittain kuitenkaan.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

totinen
Seuraa 
Viestejä4875
Liittynyt16.3.2005
Harhatien opiskelija
Jos yritän erotella 2D-paperiarkkia 2D-manifoldista, joudun pinnistelemään. Paperiarkki on todellinen, mutta manifoldi 2D:ssä on kummallinen kaareva/ei-kaareva 2D-pinta. Siis ajattelen paperiarkkia tasona jolla on jokin pinta... ei toimi maalaisjärjellä.

Toiseen suuntaan homma on helpompaa(?). 4D-pallo on ihmeellinen kuvitteellinen abstrakti systeemi jonka pinta muodostaa 4D-manifoldin jossa elämme. Helpompaa siksi koska pallo ja pallon pinta on "järkeviä käsitteitä", joten 4d-pallokin on intuitiivisesti "olemassa". Geometria kuitenkin pätee 2D-ulottuvuudessa ja on aika hillittömän hankalaa ajatella 2-ulotteista "tilavuutta" jonka pinnalla jokin elää.

Voisitko selittää, mitä manifoldi tarkoittaa. Mieleeni tulee tuosta esitetystä, että manifoldi tarkoittaa fraktaaliulottuvuutta. Esimerkiksi kupruileva 2D paperiarkki ei ole puhtaasti 2D ulottuvuudessa, vaan siinä on myös 3D ulottuvuutta; 2D < paperiarkin ulottuvuus <3D.

Vierailija
Totinen
Voisitko selittää, mitä manifoldi tarkoittaa. Mieleeni tulee tuosta esitetystä, että manifoldi tarkoittaa fraktaaliulottuvuutta. Esimerkiksi kupruileva 2D paperiarkki ei ole puhtaasti 2D ulottuvuudessa, vaan siinä on myös 3D ulottuvuutta; 2D < paperiarkin ulottuvuus <3D.

Manifoldi on pinta jota voidaan kuvata joillain koordinaateilla.

Sekaannus 2D:stä tulee siitä että 2D-käyrää ei voida "järjellä" kuvata muutenkuin x,y-koordinaatistossa.x,y-koordinaatisto ei ole manifoldi. Itse käyrä on manifoldi. x,y-koordinaatisto ei ole käyrän manifoldi.

"Järki" loppuu siinä että 2D-käyrän manifoldi on käyrä itse.

Kuten aikaisemmin mainitsin - 3D tilavuus ja sen pinta on hyvin hahmotettavissa. Pinta on manifoldi. Heti kun vaihdetaan ulottuvuutta, homma menee abstraktiksi.

Manifoldi on siis yksinkertaisesti pinta jota voidaan kuvata jollain koordinaateilla (paikallisesti ainakin).

Tämän paremmin (huonommin) en voi asiaa selittää.. 3D-objektit ja 3D-pinnat me tajuamme luonnostamme... 2D-manifoldi menee yli maalaisjärjen....

ps. Ja me elämme 4 dimensioisessa manifoldissa. Ja suurenmoisia kysymyksiähän tämä herättää? ....

ps2. Selitys ei toimi sanallisesti. Myönnän. Ehkä vastakysymykset auttaisivat asiaa.... mut itse hahmotan asian kuten hahmotan, mutta aivan järkyttävän hankalaa yrittää selittää... tosin olen aika päissäni..

ps3. Lentokoneet Pekingistä Washingtoniin lentävät "geodeettisesti". lyhintä reittiä paikasta A paikkaan B. Lentokoneet ovat "ulkopuolella" pinnan manifoldista joka määrää geodeetin (jos oletetaan maanpinta manifoldiksi).

huh...

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Käyrä on yhden muuttujan funktion kuvaaja.
Pinta on kahden muuttujan funktion kuvaaja.

Käyrän voi esittää kahden ulottuvuuden koordinaatistossa, vastaava ulottuvuuksien minimimäärä kahden muuttujan funktiolle on kolme, eli avaruus. Jos funktion kuvaaja on manifoldi, niin tuo pinta on manifoldi, mutta huomatkaa: tämä manifoldi/pinta edustaa avaruudesta leikattua tasomaista viipaletta. Euklidisessa avaruudessa avaruuden viipale on yhtä kuin taso, avaruuden vääristyessä taso vääristyy eikä enää ole taso vaikka saattaa päällisin puolin siltä näyttääkin.

Esimerkiksi tuossa avausviestin kuvassa on piirretty xyz-koordinaatistoon funktion f(x,y)=z kuvaaja, kun

f(x,y)=3*2^[(-y^2)/20]*{-2^[(-x^2)/20]}

Jos tuosta nyt jotain selvää saa. Se kannattaa kirjoittaa paperille niin ei tarvitse olla niin vaikeana noiden potenssiinkorottamisten kanssa.

Joskus lukioaikoina oli liikaa aikaa, niin värkkäsin sitten tuollaisen kuvan, jossa on tarkasti määritelty Gaussin käyrään perustuva kahden muuttujan funktio ja kuva sen kuvaajasta... Huomatkaa, että tämä funktio ei todellakaan ole kovin lähellä energiatensoreiden rakenteita, käsittääkseni jos jonkinlaisen vastaavan konstruktion tekisi esimerkiksi pistemäisen massallisen kappaleen vaikutuksista gravitaatioon, niin saataisiin teräväpohjainen suppilo, eikä tällaista loivapohjaista monttua, jossa tarkemmin tarkasteltuna vallitsee pohjalla lähes samanlaiset olosuhteet kuin euklidisessa avaruudessa - mikä ei tietenkään ole lähelläkään totuutta.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

totinen
Seuraa 
Viestejä4875
Liittynyt16.3.2005
Harhatien opiskelija

Sekaannus 2D:stä tulee siitä että 2D-käyrää ei voida "järjellä" kuvata muutenkuin x,y-koordinaatistossa.x,y-koordinaatisto ei ole manifoldi. Itse käyrä on manifoldi. x,y-koordinaatisto ei ole käyrän manifoldi..
Edelleen tuntuu, että manifoldi on fraktaaliulottuvuus. Nyt kuvaus tuo mieleen yksiulotteisen käyrän 2D pinnalla. Kun lisää Herra Tohtorin kuvauksen, niin käyrän ulottuvuudeksi tulee nyt 1D =< käyrä < 2D. Koko 2D pinnan peittävä 1D käyrä voidaan kuvata x,y - koordinaattien sijasta myös juoksevalla numeroinnilla, mikäli käyrän sijainti on on tarkasti määritelty x,y - tasossa.

Vierailija

Niin. Ehkä fraktaaliulottuvuus kuvaa manifoldia jotenkin. Molemmat ovat matemaattisia objekteja. Täysin varma en ole siitä että ovatko manifoldi ja fraktaaliulottuvuus samoja.

Mutta jos haluaa esimerkiksi piirtää kahden muuttujan funktion kuvaajan, tarvitsee kolmannen ulottuvuuden. Tokihan näin voidaan tehdä, mutta koska manifoldi on objekti itse, niin vaikka kuvaaja antaa funktion arvoja, se ei silti kuvaa itse manifoldia.

Mielestäni jos haluaa hahmottaa 2d-manifoldia, pitäisi pystyä sulkemaan kolmas ulottuvuus pois ja ajatella olevansa 2-ulotteisessa maailmassa.

Matematiikalla tällainen on helppo tehdä, mutta ihan ajatuksena ainakin itselle on hillittömän vaikeaa ajatella itseäni 2d-olioksi 2d-pinnalla.

Vierailija
Dredex
Avaruuden geometria ei muutu pätkän vertaa gravitaation seurauksena.
Kahden pisteen välinen lyhin reitti on edelleen suora, vaikka välissä olisi
planeetta säteilemässä vetovoimaansa.

Heh. Erikoinen näkemys.

Gravitaatiohan juuri muuttaa sitä geometriaa. Tuo suorakin menee ihan seinään. Euklidisessa avaruudessa vaan geodeesit sattuvat olemaan suoria. Lasket missä tahansa muualla saat eri tulokset lyhimmän matkan merkitykseksi.

Vierailija
Harhatien opiskelija

Manifoldi on pinta jota voidaan kuvata joillain koordinaateilla.

Manifoldi ei ole ainakaan mitään, todennäköisesti käsittelemme monistoa.
Sitä ainakin voi sopivin ehdoin 'kuvata koordinaateilla'
Löyhästi sanoen monisto on jotakin, jossa jokaisen pisteen ympäristö näyttää laakealta. Eli muistuttaa euklidista avaruutta.

Näin ollen myös normaali euklidinen avaruus on monisto.

Kun määrittelemme monistolle differentioituvan rakenteen voimme kuvata nämä pisteiden ympäristöt vastaavaan euklidiseen avaruuteen ja palata takaisin monistolle toisen läheisen pisteen ympäristöön. Näin saamme nämä koordinaatit aikaiseksi.

Vierailija
totinen
Edelleen tuntuu, että manifoldi on fraktaaliulottuvuus. Nyt kuvaus tuo mieleen yksiulotteisen käyrän 2D pinnalla. Kun lisää Herra Tohtorin kuvauksen, niin käyrän ulottuvuudeksi tulee nyt 1D =< käyrä < 2D. Koko 2D pinnan peittävä 1D käyrä voidaan kuvata x,y - koordinaattien sijasta myös juoksevalla numeroinnilla, mikäli käyrän sijainti on on tarkasti määritelty x,y - tasossa.



Ongelma syntyy siitä että manifoldi ei täytä "tilavuuksia". Esimerkiksi pallon pinta ei täytä pallon tilavuutta. Jos halutaan peittää 2d-pinta, joudutaan käyttämään eri manifoldeja jotka ovat erillisiä objekteja.

Anthrax
Löyhästi sanoen monisto on jotakin, jossa jokaisen pisteen ympäristö näyttää laakealta. Eli muistuttaa euklidista avaruutta.



Melkein. Mutta ennemminkin jatkuva jokaisen pisteen ympäristössä kuin laakea. Siis koordinaatit ovat jatkuvia ja siten differentioituvia jokaisessa manifoldin pisteessä.

Anthrax
Manifoldi ei ole ainakaan mitään, todennäköisesti käsittelemme monistoa.

Juups. Tietenkinhän kun suomeksi keskustellaan, olisi parempi käyttää monistoa. Mulle on tarttunut kirjallisuudesta toi manifoldi otsalohkoon.

Vierailija
Melkein. Mutta ennemminkin jatkuva jokaisen pisteen ympäristössä kuin laakea. Siis koordinaatit ovat jatkuvia ja siten differentioituvia jokaisessa manifoldin pisteessä.

Ei vaan laakeita.

Otat aluksi Hausdorffin topologisen avaruuden ja sen jälkeen vaadit, että jokaisen pisteen ympäristön on homeomorhinen jonkin R^n:n kanssa. Tämä on ainakin matemaatikoiden ja fyysikoiden käyttämä määritelmä monistolle.

Tiedän kyllä, että tiede.fi:ssä asiat ovat monesti toisin

Siis syyhän on tähän se, että et voi muuten edes määritellä koko koordinaatteja, jotka ovat kuvaksia monistolta R^n:lle. Lisäksi tämä homeomorfismi määrittelee moniston dimension.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat