Miten ratkaistaan yhtälö x^x=a?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Muistelisin, että tämä kysymys on joskus tällä palstalla ollut, mutta koska en sitä löytänyt, päätin aloittaa uuden aiheen.

Niin, eli olen ihmetellyt kuinka voidaan ratkaista vaikkapa yhtälö x^x=10(siis x potenssiin x)? Olen itse yrittänyt ratkaista kyseistä ongelmaa mm. logaritmeillä, mutta en ole onnistunut. Onkohan tuollaiselle yhtälölle olemassa kunnon ratkaisutapaa ollenkaan?

Kommentit (9)

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Spede
Muistelisin, että tämä kysymys on joskus tällä palstalla ollut, mutta koska en sitä löytänyt, päätin aloittaa uuden aiheen.

Niin, eli olen ihmetellyt kuinka voidaan ratkaista vaikkapa yhtälö x^x=10(siis x potenssiin x)? Olen itse yrittänyt ratkaista kyseistä ongelmaa mm. logaritmeillä, mutta en ole onnistunut. Onkohan tuollaiselle yhtälölle olemassa kunnon ratkaisutapaa ollenkaan?

Menisikö jotenkin näin

Aluksi Xln(x) = ln10, sitten jako kahteen funktioon f(x) = x ja g(x) = ln(x).

jne...

Neutroni
Seuraa 
Viestejä23119
Liittynyt16.3.2005
Spede
Muistelisin, että tämä kysymys on joskus tällä palstalla ollut, mutta koska en sitä löytänyt, päätin aloittaa uuden aiheen.

Niin, eli olen ihmetellyt kuinka voidaan ratkaista vaikkapa yhtälö x^x=10(siis x potenssiin x)? Olen itse yrittänyt ratkaista kyseistä ongelmaa mm. logaritmeillä, mutta en ole onnistunut. Onkohan tuollaiselle yhtälölle olemassa kunnon ratkaisutapaa ollenkaan?

Ei kai tuolle ollut analyyttistä ratkaisua, ellen ihan väärin muista. Newton puree tuohon, jos numeerinen ratkaisu kiinnostaa.

lierik
Seuraa 
Viestejä4922
Liittynyt31.3.2005

On tietääkseni olemassa Taylorin sarjaksi hajoava monihaarainen erikoisfunktio, jonka erikoistapaus on X^x:n käänteisfunktio. olisiko joku Weierstrassin omegafunktio tai joku. Mathlabista/Mathematicasta/Maplesta voi löytyä.

Arvatkaa keksinkö tuon itse? On poika kylässä ja korjasi tämän oletetun bannaussotkun ja höpisi jotain tuollaista kun kysyin.

Lierikki Riikonen

Neutroni
Seuraa 
Viestejä23119
Liittynyt16.3.2005
lierik

Arvatkaa keksinkö tuon itse? On poika kylässä ja korjasi tämän oletetun bannaussotkun ja höpisi jotain tuollaista kun kysyin.

Niin joo, puhuin analyyttisestä ja sehän voi olla (tai oliko peräti aina, jos nyt oikein muistinystyröitä rasitan) myös joku perverssi sarjakehitelmä. Tarkoitin lähinnä alkeisfunktioden avulla esitettävää äärellistä ratkaisua.

Vierailija

vaittaisin, etta tuota kyseista yhtaloa x^x=a ei voida ratkaista analyyttisesti.

numeerisesti taman voi kylla tehda, kuten jo edella mainittua esimerkiksi Newtonin menetelmalla:
Xn+1 = Xn - f(Xn) / f´(Xn) (kursiivit alaindekseja), x^x:n derivointi on hauskaa ;>

helpompi tapa on kayttaa Lambertin W -funktiota, jonka joku jo aiemmin mainitsi nimella Omegafunktio.

Lambertin W -funktio on funktion: f(w) = we^w kaanteisfunktio (e on tietenkin neperinluku, ja w on mika tahansa kompleksiluku

huom. se on ns. erikoisfunktio, kuten vaikka sini tai cosini. laskin laskee sen numeerisesti.

sen avulla saadaan yhtalosta x^x=a
x=e^W(ln(a))

jos otetaan esimerkiksi x^x=10, laskimeen (tarvitset jonkin hieman paremman kuin tavallisen casion funktiolaskimen) nappailemalla saadaan reaalivastaus:
= n. 2,506184146

Lambertin W -funktiosta: http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert's_W_function

lierik
Seuraa 
Viestejä4922
Liittynyt31.3.2005
Neutroni

Niin joo, puhuin analyyttisestä ja sehän voi olla (tai oliko peräti aina, jos nyt oikein muistinystyröitä rasitan) myös joku perverssi sarjakehitelmä. Tarkoitin lähinnä alkeisfunktioden avulla esitettävää äärellistä ratkaisua.

Niin kuin kerroin, minä en näistä ymmärrä. Noista Taylorin sarjoista ja muista juuri nimityksen tiedän ja jotain on opetettu aikoinaan.

Liittyykö nämä jutut jotenkin yliopiston kursseihin: analyysi 1, 2, 3 joiden luentomonisteita olen nähnyt, niitä tajuamatta ja tutkimatta. Tuota kolmosta ei Oulun YO:ssa käsittääkseni ei edes joka vuosi ole? En ole näitä koskaan oikeasti tarvinnut missään. On sen verran korkeampaa tiedettä, nyt kyllä alkoi vähän kiinostamaan, kun tuli puheeksi.

Lierikki Riikonen

Vierailija

Copypaste suoraan Mathematica nelosesta:

Mathematica 4.0 for Microsoft Windows
Copyright 1988-1999 Wolfram Research, Inc.
-- Terminal graphics initialized --

In[1]:= Solve[x^x==a,x]

InverseFunction::ifun: Inverse functions are being used. Values may be lost for multivalued inverses.

InverseFunction::ifun: Inverse functions are being used. Values may be lost for multivalued inverses.

Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found.

Out[1]= {{x -> (Log[a])/(ProductLog[Log[a])}}

tuossa ProductLog on Lambertin W-funktio ja Log on luonnollinen logaritmi (Mathematicassa on ln:n tilalla Log ja 10-kantainen logaritmi on Lg)

edit: lisäsin, mitä Log tarkoittaa

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
cashattu

sen avulla saadaan yhtalosta x^x=a
x=e^W(ln(a))

Pitipäs tuota hetken miettiä, ennen kuin aukesi. Tuolta Wikipedian linkistä löytyi vinkkiä.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Uusimmat

Suosituimmat