Mistä irrationaaliluvut?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Moi.

Sellaista tulin miettineeksi, kun koulussa todistettiin että neliöjuuri-2 on olemassa, niin miten reaalilukujen aksioomista voidaan johtaa irrationaalilukuja (/-luvut)? Vai voidaanko?

Kunta-aksioomathan sanovat esimerkiksi että 0 ja 1 ovat olemassa, ja ovat eri luvut. Kunnan rakenteessa on määritelty summa ja tulo, joiden tulokset ovat myös reaalilukuja.

Luonnolliset luvuthan saadaan ihan ykkösiä summaamalla (3 = (1+1) +1). Loput kokonaisluvut (negatiiviset) saadaan lukujen vastalukuja summaamalla (-2 = (-1) + (-1)).

Rationaaliluvut saadaan kertomalla kokonaislukuja toisten kokonaislukujen käänteisluvuilla ( 1/2 = 1 * 2^-1).

Mutta saadaanko pelkästään näillä välineillä tuotettua irrationaalilukuja? Ja jos ei niin miksi ei? Itse en ainakaan keksi mitään tapaa.

Kommentit (2)

Vierailija
sampsa
Mutta saadaanko pelkästään näillä välineillä tuotettua irrationaalilukuja?

Operoimalla neljällä peruslaskutoimituksella rationaalilukuihin ei saada aikaan irrationaalukuja ihan vain irrationaalilukujen määritelmän takia: ne ovat lukuja, joita ei voi esittää murtolukuna. Rationaalilukujen peruslaskutoimitusten tulokset ovat aina esitettävissä murtolukuina.

Pelkät kunta- ja järjestysaksioomat eivät riitä erottamaan reaalilukujen joukkoa rationaalilukujen joukosta --- onhan jälkimmäinenkin järjestetty kunta. Reaaliluvut erottaa rationaaliluvuista täydellisyysaksiooma:

jos reaalilukujen osajoukollaa on yläraja, sillä on myös pienin yläraja.

Tätä ominaisuutta ei rationaalilukujen kunnassa ole: Poimitaan kaikki rationaaliluvut, joiden neliö on pienempää kuin 2. Selvästi jokainen näistä luvuista on pienempi kuin 2, eli tällä joukolla on yläraja. Pienintä ylärajaa sqrt(2) ei rationaalilukujen joukosta kuitenkaan löydy.

Täydellisyysaksiooma on yhtäpitävää sen kanssa, että jokaisella ns. Cauchy-jonolla on raja-arvo reaalilukujen joukossa. Reaaliluvut, siis myös irrationaaliluvut, voidaan määritellä rationaalisten Cauchy-jonojen raja-arvoina.

Lisätietoja löytää vaivattomasti googlaamalla.

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

No kertomalla kaksi itsellään puoli kertaa saadaan irrationaliluku sqrt 2.

Mutta ehkäpä tätä ei tarkoitettu peruslaskutoimituksista puhuttaessa...

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Uusimmat

Suosituimmat