Klassinen epätarkkuus vaiko Heisenberg?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tuli vastaan seuraavanlainen tehtävä:

Jos fotonin aallonpituuden mittaustarkkuus on yhden suhde 1*10e6:een, niin mikä on paikan määrityksen epätarkkuus, jos fotonin aallonpituus on 3*10e4 Å?

Lähdin itse klassisella liikkeelle, (delta_lambda*delta_x = lambda^2/2*Pi) niin saan delta_x=1.4*10e-6 m. Kysymys kuuluu tarvitseeko tässä käyttää Heisenbergin epätarkkuutta? Jos käytän Heisenbergin kaavaa delta_x*delta_p = 0.5*'h (diracin h), niin voiko liikemäärän epätarkkuuden määrittää De Broglien avulla, lambda = h / p siten että delta_lambda = h / delta_p? Näin ollen vastaus delta_x = 8*10e-8 m?

Mistä tietää kumpaa menetelmää pitää käyttää?

Sivut

Kommentit (27)

derz
Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005

p = h / lambda = 6.6*10^-34 / 3*10^4 = 2.2*10^-38 kgm/s

Itse käyttäisin ainakin Heisenbergin epätarkkuusperiaatetta, koska siinä otetaan huomioon kvantittuminen (h). Paikan epätarkkuus on tällöin:

delta_x * delta_p > 1/2(h-)
delta_x > 1/2(h-) / delta_p -> delta_x > 1/2(1,05*10^-34 Js) / 2.2*10^-38 kgm/s -> delta_x > n. 2386,4 m

Eli fotonin paikan epätarkkuus on vähintään 2386,4 metrin luokkaa.

Ainakin tuon luvun sain kun itse laskin.

Kun viilasin vähän pilkkua (laitoin maolista h-:n täsmällisen arvon) niin sain tulokseksi 2396,8 m. Eli jotain 2,4 km:n luokkaa se kuitenkin on.

∞ = ω^(1/Ω)

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Hmmnjaa, sitä olen ihmetellyt että onko tuo epätarkkuus pituussuunnassa fotonin etenemisreitillä vaiko kenties etenemisreitin normaalitasolla?

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

hmk
Seuraa 
Viestejä849
Liittynyt31.3.2005
ristiässä

Jos fotonin aallonpituuden mittaustarkkuus on yhden suhde 1*10e6:een, niin mikä on paikan määrityksen epätarkkuus, jos fotonin aallonpituus on 3*10e4 Å?

p=h/lambda

differentioidaan =>

delta(p) = (-) h*delta(lambda)/lambda^2.

Sijoitetaan yhtälöön delta(x)*delta(p) > h-bar/2 =>

delta(x) > lambda^2/(4Pi*delta(lambda))
=3E4/(4Pi*1E-6) Å = 0,24 m

Puuttumatta fotonin ja sen mittauksen epistemologiaan tai ontologiaan...

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

derz
Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005

Oho

Mun laskema heittää n. 2400 metriä oikeasta tuloksesta.
Pieni pilkkuvirhe vaan

Tuli muuten mieleen: jos fotonin nopeus kerran tunnetaan tarkasti (=c), niin eikö fotonin paikka ole tällöin aivan hukassa? Eli fotoni ei olisi paikallistunut minnekään ennen absorbiota? Tämä selittäisi miksi fotonilla ei ole lepokoordinaatistoa. Todennäköisyys löytää fotoni tietystä paikasta ajanhetkellä t voidaan kai laskea, jos tiedetään milloin fotoni emittoituu.

∞ = ω^(1/Ω)

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Eikös se ole ennemminkin että jos fotonin liikemäärä tunnetaan tarkalleen niin paikan epämääräisyys on ääretön. Eli jos taajuus tiedetään absoluuttisen tarkasti. Tai liikemassa. Fotonin tapauksessa sama asia.

Nopeuden epätarkkuus voi (ja fotonin tapauksessa onkin) nolla. Massallisilla kappaleilla liikemäärä on riippuvainen nopeudesta, fotonilla puolestaan (deBroglie-)aallonpituudesta.

Sanon tässä deBroglie-aallonpituus siksi, että jos kaavoja vähän pyörittelee, huomaa että fotonin deBroglie-aallonpituus sieventyy tavallisemmaksi yhtälöksi kun fotonia käsitellään, nimittäin muotoon E=hf.Toisin sanoen fotoninkin aallonpituus on tietyllä tavalla sama asia kuin massallisten hiukkasten deBroglie-aallonpituus.

Jos taas fotonin paikka tiedetään absoluuttisen tarkasti, sen liikemäärää ei voida määrittää (mikä on vain luonnollista, sillä fotonin paikan voi määrittää vain havaitsemalla sen, minkä jälkeen fotonia ei voi enää olla olemassa).

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

hmk
Seuraa 
Viestejä849
Liittynyt31.3.2005

Niin, sen verran vielä kommenttia, että tuosta tehtävänannosta jää hieman epäselväksi, mitä ajetaan takaa. Olisi hyvä tietää edes missä asiayhteydessä tuollainen tehtävä on esiintynyt.

Se antamasi klassinen kaava kertoo, että jos tarkastellaan aaltopakettia, jonka aallonpituudet ovat keskittyneet aallonpituuden lambda ympärille siten, että aallonpituusjakauman leveys on delta(lambda), niin aaltopaketin leveys paikka-avaruudessa on delta(x), missä

delta(x)*delta(lambda) = lambda^2/2Pi.

On mielestäni kyseenalaista voidaanko delta(lambda) ja delta(x) samaistaa "aallonpituuden mittaustarkkuuden" ja "paikan määrityksen epätarkkuuden" kanssa (= tehtävänannossa käytetyt termit)...

Toisaalta tehtävässä puhutaan fotonista, mikä vihjaisi siihen suuntaan, että halutaan tarkastella kvanttiobjektin paikan epätarkkuutta, jolloin Heisenberg astuisi kuvaan. En tiedä onko tehtävänanto edes fysikaalisesti mielekäs tässä tapauksessa (Mikä on fotonin paikkaoperaattori? Mihin se operoi? Onko fotoni edes lokalisoitavissa?), mutta ainahan laskun voi formaalisti laskea läpi aiemmin esittämälläni tavalla (jolloin tehtävä palvelee(?) pedagogista tarkoitusta).

Summarum: Tehtävä ei mielestäni ole muotoiltu tavalla, josta selvästi kävisi ilmi haluttu lähestymistapa. Ellei se sitten ilmene asiayhteydestä jossa tehtävä esiintyi.

EDIT: Näin tarkemmin katsoen, kumpikin tapa antaa tekijää 2 vaille saman vastauksen (ero johtunee siitä, että "klassisessa tavassa" delta-lausekkeet ovat ekvivalenssileveyksiä kun taas Heisenbergissä ne ovat keskihajontoja). Joten ihan sama kumpaa tapaa käytät. Jos käytät Heisenbergiä, niin liikemäärän epätarkkuus sinun pitää laskea differentioimalla deBroglieta (kuten ensimmäisessä viestissäni näytin) eikä suoraan korvaamalla p ja lambda vastaavilla delta-suureilla.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Vierailija

hf=mc^2 ?

Itse en oikein usko tuohon teoriaan, sillä eikös fotonillekkin ole mitattu suuntaa antava massa?
Ja sen ratahan kuitenkin taipuu vetovoimakentässä?
Itse ainakin epäilen, että kyseessä olisi joku mitattava voima jotka ei vielä kyetä selittämään?

derz
Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005
Kyrsa
hf=mc^2 ?

Itse en oikein usko tuohon teoriaan, sillä eikös fotonillekkin ole mitattu suuntaa antava massa?
Ja sen ratahan kuitenkin taipuu vetovoimakentässä?
Itse ainakin epäilen, että kyseessä olisi joku mitattava voima jotka ei vielä kyetä selittämään?

Mihin teoriaan et usko? Fotonin lepomassalle on annettu mittaustarkkuuden varjossa yläraja, mutta nykykäsityksen mukaan se on massaton. Tietenkin voidaan laskea, mitä massaa fotonin energia vastaa, jos fotoni muuttuisi esim. hiukkaseksi ja antihiukkaseksi.

E = hf
m = E/c^2

Fotonin radan kaartuminen gravitaatiokentässä selittyy yleisen suhteellisuusteorian avulla. Fotoni kulkee omasta mielestään aina suoraviivaisesti, mutta koska itse aika-avaruus kaareutuu, sen reitti näyttää kaarevalta. Gravitaatio ei siis vaikuta vain massallisiin hiukkasiin.

∞ = ω^(1/Ω)

Vierailija

jos fotoni kulkisi suoraan niin ettei siihen vaikuttaisi gravitaatio eikö sen pitäisi sillon karata suoraviivaisesti kaartuneesta aika-avaruus kentästä.

vai onko se suhteellinen vain aikaan nähden?

ja meinasin etten usko siihen epätarkkuuteen yleensäkkään vaan kaikki voidaan mitata / laskea kunhan vaan tiedetään tarpeeksi.

nyky tiedemaailma kun tuntuu selittävän kaikki uudet ilmiöt ja voimat epätarkkuusperiaatteilla eikä etsivän niiden absoluuttisia aiheuttajia.

Vierailija
Kyrsa
hf=mc^2 ?

Eikös tuo ole väärin, fotonillehan E=hF=pc, se mc^2 - termi jää pois juuri sen massattomuuden takia. Vai?

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Tavallaan kyllä, koska nykyään ei enää suositella "liikemassa"- termin käyttöä. Massalla yleensä tarkoitetaan lepomassaa, mutta suppen suhteellisuusteorian yhtälöiden mukaan massattomallakin partikkelilla on liikemassa kaavan E=mc^2.

Lepomassan puuttumisen vuoksi tämä aiheuttaa usein sekaannuksia, varsinkin kun liikemassa m normaalisti riippuu lepomassasta m0.

Siksi nykyään käytetään mieluummin vain tuota liikemäärän määritelmää - mutta täytyy ottaa huomioon että liikemääräkin loppujen lopuksi on riippuvainen fotonin liikemassasta. Koska fotonin liikemassa on kuitenkin täsmälleen samansuuruinen kuin fotonin energia, tilanne on loppujen lopukse varsin yksinkertainen:

E=hf

E=mc^2

m=E/c^2

p=mc

p=E/c

E=pc

p=hf/c ja niin edelleen. Kaavanpyörittely on hauskaa ja hyödyllistä...

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Vierailija
Tavallaan kyllä, koska nykyään ei enää suositella "liikemassa"- termin käyttöä. Massalla yleensä tarkoitetaan lepomassaa, mutta suppen suhteellisuusteorian yhtälöiden mukaan massattomallakin partikkelilla on liikemassa kaavan E=mc^2.

Paitsi jos puhutaan fysiikasta, yhtälö E=mc^2 pätee vain levossa oleville kappaleille. Oikea yhtälö on E^2= m^2c^4 +p^2c^2. Fotonin massa on nolla, joten E/c=p.

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005
Anthrax
Tavallaan kyllä, koska nykyään ei enää suositella "liikemassa"- termin käyttöä. Massalla yleensä tarkoitetaan lepomassaa, mutta suppen suhteellisuusteorian yhtälöiden mukaan massattomallakin partikkelilla on liikemassa kaavan E=mc^2.



Paitsi jos puhutaan fysiikasta, yhtälö E=mc^2 pätee vain levossa oleville kappaleille. Oikea yhtälö on E^2= m^2c^4 +p^2c^2. Fotonin massa on nolla, joten E/c=p.

No. Voidaanhan aina merkitä m = m0/sqrt(1-v^2/c^2), jolloin lepomassallisille kappaleille pätee liikkeessäkin yhtälö E=mc^2, kun m0 on lepomassa... mutta kuten sanottua, liikemassan käyttöä ei enää suositella.

Fotonin tapauksessakin voidaan ajatella pätevän yhtälön E=mc^2, koska liikemassan käsite sisältää sekä liike-energian massavastaavuuden että lepomassan.

Fotonilla koko olemassaolo koostu liikemassan liike-energia-osasta...

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Vierailija
Kyrsa
Ja sen ratahan kuitenkin taipuu vetovoimakentässä?

ei rata taivu, vaan avaruus. Kuukin menee suoraan omassa aika/avaruuskoordinaatistossaan...

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Herra Tohtori

Fotonin tapauksessakin voidaan ajatella pätevän yhtälön E=mc^2, koska liikemassan käsite sisältää sekä liike-energian massavastaavuuden että lepomassan.

Fotonilla koko olemassaolo koostu liikemassan liike-energia-osasta...

Kannattaa kyllä olla tarkkana tuon "liikemassan" kanssa. Se ei ole kuitenkaan monessa mielessä lepomassaa vastaava suure. Lepomassa kertoo kappaleen hitausominaisuuksista, ja liikkeessä kappaleen hitaus myös määrittyy lepomassan avulla. Liikemassa taas ei yleensä ole apuna asiassa, paitsi erikoistapauksissa.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat