Ekvivalenssiperiaate

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

En oikein ymmärrä ekvivalenssiperiaatetta eli kiihtyvyyden ja gravitaation erottamattomuutta.

Ajatellaan että maapallon pinnalla on raketti, jonka sisällä on kaksi ihmistä. Toinen ihmisistä on raketin etuosassa (yläosassa) ja toinen takaosassa (alaosassa). [ http://koti.mbnet.fi/tuomas/raketti.jpg ]Maapallon pinnalla paikallaan olevaan rakettiin kohdistuu maan vetovoima. Koska raketin takaosassa oleva henkilö on lähempänä maapallon painopistettä, siihen kohdistuu suurempi vetovoima kuin etuosassa olevaan. Näin ollen raketin takaosassa olevan henkilön aika käy suhteellisuusteorian mukaan hitaammin kuin etuosassa olevan. Tämän ymmärrän.

Ekvivalenssiperiaatteen mukaan, kun raketti on (suljetussa systeemissä) kiihtyvässä liikkeessä, raketin takaosassa olevan henkilön aika käy hitaammin kuin etuosassa olevan (aivan kuten gravitaatiokentässä). Miten tämä on mahdollista, jos näihin molempiin henkilöihin kohdistuu sama kiihtyvyys? Eikö tämä raketin kiihdyttäminen omassa syteemissään ole erilainen tilanne kuin raketti gravitaatiokentässä, sillä gravitaatiokentässä henkilöihin kohdistuu eri kiihtyvyydet, kun taas kiihdyttämisessä omassa syteemissä henkilöihin kohdistuu sama kiihtyvyys?

Jotain en ole ymmärtänyt tai olen ymmärtänyt väärin, valistakaa minua.

Sivut

Kommentit (142)

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Totta kai. Kyse on siitä, että kiihtyvyyden aikaansaamat ilmiöt ovat analogisia homogeenisen gravitaatiokentän kanssa.

Maapallon gravitaatiokenttä ei ole homogeeninen, siitä johtuu tämä näennäinen ristiriita.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Vierailija

Mikäli ymmärsin oikein, että homogeeninen gravitaatiokenttä tarkoittaa, että kaikkiin gravitaatiokentän pisteisiin kohdistuu sama kiihtyvyys, niin miten etuosan henkilön aika voi käydä nopeammin kuin takaosan henkilön?

derz
Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005

Kyllä, aika käy nopeammin siellä raketin etuosassa kuin takaosassa.

Valon rata taipuu kiihtyvässä raketissa, koska valo jää rakettia "jälkeen". Koska valo kulkee aina suoraviivaisesti, kiihtyvässä hississä valon rata kaartuu, ihan kuten gravitaatiokentässä. Hissin takaosasta etuosaan lähetetty valo punasiirtyy, ihan kuten gravitaatiokentässäkin.

Tasaisesti kiihtyvää koordinaatistoa ei voi erottaa gravitaatiokentästä. Jotta tämä pitäisi paikkansa, tasaisesti putoava liike onkin oikeastaan suoraviivaista liikettä. Ajattelepa että olet kiihtyvässä raketissa ja heität pallon ylöspäin. Silloinhan pallo jatkaa avaruudessa matkaa tasaisella nopeudella Newtonin 1. lain mukaan, mutta koska raketti on kiihtyvässä liikkeessä, niin pallo näyttää tippuvan lattialle (se jää rakettia jälkeen).

Jotta tasainen putoamisliike voisi olla suoraviivaista liikettä, aika-avaruudella täytyy olla geometria. Massa (tai oikeastaan energia) muuttaa aika-avaruuden geometriaa, jolloin tasainen putoamisliike on suoraviivaista liikettä kaarevassa aika-avaruudessa. Tällainen liike näyttää kiihtyvältä liikkeeltä meidän 3D havaintomaailmassamme, mutta 4D avaruudessa kappaleet liikkuvat suoraan kaarevaa tietä.

∞ = ω^(1/Ω)

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005
derz
Kyllä, aika käy nopeammin siellä raketin etuosassa kuin takaosassa.

Valon rata taipuu kiihtyvässä raketissa, koska valo jää rakettia "jälkeen". Koska valo kulkee aina suoraviivaisesti, kiihtyvässä hississä valon rata kaartuu, ihan kuten gravitaatiokentässä. Hissin takaosasta etuosaan lähetetty valo punasiirtyy, ihan kuten gravitaatiokentässäkin.

Tasaisesti kiihtyvää koordinaatistoa ei voi erottaa gravitaatiokentästä. Jotta tämä pitäisi paikkansa, tasaisesti putoava liike onkin oikeastaan suoraviivaista liikettä. Ajattelepa että olet kiihtyvässä raketissa ja heität pallon ylöspäin. Silloinhan pallo jatkaa avaruudessa matkaa tasaisella nopeudella Newtonin 1. lain mukaan, mutta koska raketti on kiihtyvässä liikkeessä, niin pallo näyttää tippuvan lattialle (se jää rakettia jälkeen).

Jotta tasainen putoamisliike voisi olla suoraviivaista liikettä, aika-avaruudella täytyy olla geometria. Massa (tai oikeastaan energia) muuttaa aika-avaruuden geometriaa, jolloin tasainen putoamisliike on suoraviivaista liikettä kaarevassa aika-avaruudessa. Tällainen liike näyttää kiihtyvältä liikkeeltä meidän 3D havaintomaailmassamme, mutta 4D avaruudessa kappaleet liikkuvat suoraan kaarevaa tietä.

Mitä, että raketin keulassa aika kulkee eri nopeudella kuin peräpäässä?

En usko. Tilanne on kuitenkin erilainen kun verrataan maan pinnalla pystyssä pönöttävää rakettia vapaasti kiihdyttävään rakettiin.

Elikkäs ajatuskulkuni menee näin.

Maapallon gravitaatiokenttä ei ole homogeeninen. Ylempänä oleva piste on pienemmässä gravitaatiopotentiaalissa ja sen aika kuluu nopeammin kuin alemman. Vastaavasti tuossa pisteessä olevan havaitsijan kokema kiihtyvyys on pienempi kuin alempana olevan havaitsijan kiihtyvyys. Vastaavasti lattiasta mitattu tukivoima on pienempi kuin samansuuruiseen massaan kohdistuva tukivoima alempana.

No, tilanne on siis hieman erilainen kun siirrytään avaruuteen ja pistetään moottori käyntiin.

Nyt tilanne vastaa homogeenistä gravitaatiokenttää. Raketin etu/yläosassa olevaan massaan kohdistuu lattian välityksellä sama voima kuin raketin taka/alaosassa olevaan massaankin. Molemmat kokevat saman kiihtyvyyden. Ainoa ero pisteiden ajankulun välillä voi mahdollisesti tulla siitä, että koko raketti ei lähde yhtä aikaa liikkeelle, vaan moottorin työntö välittyy raketin osille mekaanisen aaltoliikkeen nopeudella.

Tarkastellaanpa tilannetta siten, että meillä on kaksi rakettia peräkkäin. Molemmat kytkevät moottorit päälle yhtä aikaa (tosin tässä eksytään kohta taas samanaikaisuuden käsitteen vatvomiseen). Kulkeeko etumaisen raketin aika hitaammin kuin takimmaisen? Oleellisilta osin tilanne on samanlainen kuin yhden raketin tapauksessa.

En käsitä miten toisessa pisteessä voisi aika kulkea nopeammin, kun ne kuitenkin ovat samassa inertiaalikoordinaatistossa koko ajan. Tosin en ole kovin pitkällä yleisen suhteellisuusteorian parissa...

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Vierailija
api
En oikein ymmärrä ekvivalenssiperiaatetta eli kiihtyvyyden ja gravitaation erottamattomuutta.

Ajatellaan että maapallon pinnalla on raketti, jonka sisällä on kaksi ihmistä. Toinen ihmisistä on raketin etuosassa (yläosassa) ja toinen takaosassa (alaosassa). [ http://koti.mbnet.fi/tuomas/raketti.jpg ]Maapallon pinnalla paikallaan olevaan rakettiin kohdistuu maan vetovoima. Koska raketin takaosassa oleva henkilö on lähempänä maapallon painopistettä, siihen kohdistuu suurempi vetovoima kuin etuosassa olevaan. Näin ollen raketin takaosassa olevan henkilön aika käy suhteellisuusteorian mukaan hitaammin kuin etuosassa olevan. Tämän ymmärrän.

Ekvivalenssiperiaatteen mukaan, kun raketti on (suljetussa systeemissä) kiihtyvässä liikkeessä, raketin takaosassa olevan henkilön aika käy hitaammin kuin etuosassa olevan (aivan kuten gravitaatiokentässä). Miten tämä on mahdollista, jos näihin molempiin henkilöihin kohdistuu sama kiihtyvyys? Eikö tämä raketin kiihdyttäminen omassa syteemissään ole erilainen tilanne kuin raketti gravitaatiokentässä, sillä gravitaatiokentässä henkilöihin kohdistuu eri kiihtyvyydet, kun taas kiihdyttämisessä omassa syteemissä henkilöihin kohdistuu sama kiihtyvyys?

Jotain en ole ymmärtänyt tai olen ymmärtänyt väärin, valistakaa minua.

Pakonopeus pakonopeus se on se pakonopeus.

Missä pakonopeus on valonnopeus siellä kellot seisoo, ja niin poispäin

Vierailija
Herra Tohtori

Mitä, että raketin keulassa aika kulkee eri nopeudella kuin peräpäässä?

En usko. Tilanne on kuitenkin erilainen kun verrataan maan pinnalla pystyssä pönöttävää rakettia vapaasti kiihdyttävään rakettiin.

Näin ajattelin itsekin, mutta lukion fysiikassa minulle opetettiin, että raketin etuosassa aika kulkee nopeammin kuin takaosassa (kiihtyvässä liikkeessä) ja verrattiin jopa maan gravitaatiokenttään (joka ei ole homogeeninen). Huomasin tuon ristiriidan ja kysyin sitä opettajalta, mutta en saanut ymmärrettävää selitystä. Siitä lähtien olen piikitellyt häntä

Mutta jos etu- ja takaosan ajat kulut olisivat yhtäläiset, mikä on ekvivalenssiperiaate?!? Näin ollen uskon aikojen kulkevan eri tahtia, mutta en saa ymmärretyksi, miten ihmeessä.

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

No siis mitä helkuttia, eihän ekvivalenssiperiaate rikkoudu kun tilanteet ovat erilaiset.

En minä ainakaan näe miten tuolla logiikalla voisi väittää ajan kulkevan eri nopeudella raketin eri osissa.

Maan pinnalla raketin etupäässä oleva kiihtyvyysanturi mittaa kiihtyvyyden

g = GM/(R1)^2,

jossa G on gravitaatiovakio, M on maan massa ja R1 etäisyys maan massakeskipisteestä.

Raketin takaosassa olevaan anturiin kohdistuu kiihtyvyys, joka on vastaavasti

g = GM/(R2)^2

R1 - R2 = S, eli raketin pituus.

Vapaasti kiihdyttävän avaruusraketin tapauksessa molempiin pisteisiin kohdistuu puolestaan täsmälleen sama kiihtyvyys a = F/m, jossa F on raketin moottorin työntövoima ja m raketin massa.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Vierailija

Kellot käy hitammin karusellin ulommalla reunalla

Raketti ja karuselli ovat ekvivalentteja

Eikun raketilla ja karusellilla matkustaminen ovat ekvivalentteja

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Eivätkä ole.

Jos nyt ajatellaan asiaa, niin karusellin ulkokehällä vallitsee suurempi normaalikiihtyvyys kuin sisempänä. Avaruusraketin tapauksessa kiihtyvyys on vakio kautta koko raketin.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

hmk
Seuraa 
Viestejä849
Liittynyt31.3.2005

Jos raketissa ei ole ikkunoita, ei koehenkilö tiedä onko raketti tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä vai gravitaatiokentässä joka on hyvin homogeeninen. Täten, riippumatta siitä kumpi tapaus on kyseessä, keulassa oleva kello tikittää ekvivalenssiperiaatteen nojalla perällä olevaa nopeammin.

Näin ainakin olen ymmärtänyt. Tosin GR:n tuntemukseni on varsin puutteellista.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Ei kai homogeenisessä gravitaatiokentässä aika kulu ylempänä sen nopeampaa kuin alempanakaan?

Jos avaruuden rakenne on samanlainen kahdessa pisteessä, niin kyllä aikakin niissä kahdessa pisteessä kulkee samalla nopeudella. Maan pinnalla oleva raketti ei ole homogeenisessa gravitaatiokentässä, koska ylempänä olevaan kohdistuu pienempi kiihtyvyys. Ylempänä olevan pisteen kohdalla avaruuden rakenne on sellainen, että kappaleeseen kohdistuu pienempi kiihtyvyys kuin alempana olevaan - ja aika kuluu samalla nopeammin.

Tasaisesti kiihtyvässä raketissa tätä eroa ei kerta kaikkiaan ole ainakaan minun käsityskykyni mukaan. Tosin minunkin yleisen suhteellisuusteorian tuntemukseni on hyvin pinnallista luokkaa.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

hmk
Seuraa 
Viestejä849
Liittynyt31.3.2005
Herra Tohtori
Ei kai homogeenisessä gravitaatiokentässä aika kulu ylempänä sen nopeampaa kuin alempanakaan?

Lainaus Baezin FAQista (tämä liittyy kaksosparadoksin GR-tyyppiseen selitykseen -- Stella on rakettimatkustaja, Terence maahan jäänyt kaksonen):

"OK, now for the twin paradox.

Our usual version, that is. We'll pick a frame of reference in which Stella is at rest the whole time! When she ignites her thrusters for the Turnaround, she is forced to assume that a uniform "gravitational" field suddenly permeates the universe; the field exactly cancels the force of her thrusters, so she stays motionless.

Not so Terence. The field causes him to accelerate, but he feels nothing new since he's in free-fall (or rather the Earth as a whole is). There's an enormous potential difference between him and Stella: remember, he's light-years from Stella, in a uniform "gravitational" field! Stella's at the bottom of the well, he's at the top (or they would be, if the well weren't bottomless and topless). So by uniform "gravitational" time dilation, he ages years during Stella's Turnaround."

Eli Stellan näkökulmasta raketin kääntymisen (=kiihdytyksen) aikana maailmankaikkeudessa vallitsee homogeeninen gravitaatiokenttä, jossa Terrence on paljon ylempänä kuin Stella. Näin Terrencen aika kuluu käännöksen aikana nopeammin kuin Stellan, ja kun Stella palaa maahan, hän on säilynyt nuorempana kuin Terence.

Eli homogeeninen gravitaatiokenttä saa aikaan "aikaeroja" siinä missä epähomogeeninenkin.

Koko dokumentti osoitteessa:

http://math.ucr.edu/home/baez/physics/R ... in_gr.html

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Vierailija
api
En oikein ymmärrä ekvivalenssiperiaatetta eli kiihtyvyyden ja gravitaation erottamattomuutta.

Ajatellaan että maapallon pinnalla on raketti, jonka sisällä on kaksi ihmistä. Toinen ihmisistä on raketin etuosassa (yläosassa) ja toinen takaosassa (alaosassa). [ http://koti.mbnet.fi/tuomas/raketti.jpg ]Maapallon pinnalla paikallaan olevaan rakettiin kohdistuu maan vetovoima. Koska raketin takaosassa oleva henkilö on lähempänä maapallon painopistettä, siihen kohdistuu suurempi vetovoima kuin etuosassa olevaan. Näin ollen raketin takaosassa olevan henkilön aika käy suhteellisuusteorian mukaan hitaammin kuin etuosassa olevan. Tämän ymmärrän.

Ekvivalenssiperiaatteen mukaan, kun raketti on (suljetussa systeemissä) kiihtyvässä liikkeessä, raketin takaosassa olevan henkilön aika käy hitaammin kuin etuosassa olevan (aivan kuten gravitaatiokentässä). Miten tämä on mahdollista, jos näihin molempiin henkilöihin kohdistuu sama kiihtyvyys? Eikö tämä raketin kiihdyttäminen omassa syteemissään ole erilainen tilanne kuin raketti gravitaatiokentässä, sillä gravitaatiokentässä henkilöihin kohdistuu eri kiihtyvyydet, kun taas kiihdyttämisessä omassa syteemissä henkilöihin kohdistuu sama kiihtyvyys?

Jotain en ole ymmärtänyt tai olen ymmärtänyt väärin, valistakaa minua.

Kun raketti on paikallaan maan pinnalla niin kellojen käynnin ero tulee, kuten sanoit siitä, että lattiakelloon vaikuttava gravitaatio on suurempi kuin kattokelloon vaikuttava.

Kun raketti on tyhjässä avaruudessa kiihtyvässä liikkeessä niin edelleenkin sen lattiakello käy hitaammin kuin katossa oleva kello ja tämä siitä huolimatta, että molempiin kelloihin kohdistuu sama kiihtyvyys. Ja selitys on:

Eli kuvittele raketissa seisovaa havaitsijaa joka tarkkailee lattiassa ja katossa olevia "valopulssikelloja" ja vertaa niitä omaan vastaavaan kelloonsa. Havaitsija on lisäksi vaikkapa ennen liikkeelle lähtöään sykronoinut kaikkien kolmen kellon käynnin. Kun kattokello sitten lähettää valopulssejaan kohti havaitsijaa, hän huomaa niiden saapumistaajuuden nopeutuneen omaan kelloonsa verrattuna ja tämä nopeutuminen johtuu siitä, että hän itse on liikkunut valopulssia vastaan. Eli kattokello näyttäisi selvästi edistävän. Vastaavasti lattiakellon pulssitaajuus hidastuu koska havaitsija on liikkunut pulssin matkan aikana siitä poispäin. Lattiakello siis jätättää.

Eli "pienen" hissin suhteen levossa oleva havaitsija mittaa maanpäällä seisovan hissin kelloille aivana saman käyntieron kuin 1 g kiihtyvyydessä olevan hissin kelloille. Tämä on se Einsteinin kuuluisa hissiesimerkki, jolla hän havainnollisti ekvivalenssiperiaatettaan. Tässä ei siis mitenkään tarvitse olettaa "homogeenisia" gravitaatiokenttiä ja vastaavaa.

Vierailija

Jos etupäässä oleva kello käy nopeemmin kuin takapäässä oleva, niin miten ihmeessä nämä kellot voivat kulkea samalla kiihtyvyydellä saman matkan ERI ajassa?

derz
Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005
api
Jos etupäässä oleva kello käy nopeemmin kuin takapäässä oleva, niin miten ihmeessä nämä kellot voivat kulkea samalla kiihtyvyydellä saman matkan ERI ajassa?

Koska aika on, kuten suhteellisuusteoria sanoo, suhteellinen käsite. Ei ole absoluuttista aikaa, johon raketin etu- ja takaosan kelloja verrataan. Tässä tapauksessa voidaan puhua raketin etu- ja takaosan välisestä suhteellisesta ajasta. Etuosassa kello käy nopeammin suhteessa takaosan kelloon.

∞ = ω^(1/Ω)

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat