Pysähtyykö ylös heitetty pallo lakipisteessä?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Muistan fysiikanopettajani väitteen, että täsmälleen suoraan ylöspäin heitetty pallo pysähtyy lentoratansa lakipisteessä ennen kuin kääntyy alaspäin. Aloin tässä miettimään sitä, ja minun mielestäni näin ei tapahdu.

Lennon lakipisteessä on tietty ajanhetki jolloin nopeuden pitäisi olla nolla, mutta nopeus ei ole määritelty yksittäisenä ajanhetkenä, vaan aseman muutoksena ajanhetkien välissä: v = ds/dt

Eli siis, jos d = 0, nopeus ei ole määritelty. Jos halutaan sanoa että pallo on pysähdyksissä sillä ajanhetkellä kun se vaihtaa suuntaa, se ei merkitse mitään koska nopeutta ei ole olemassa ilman että aika kuluu. Yhtä hyvin voitaisiin sanoa että pallo on pysähdyksissä kaikilla muillakin ajanhetkillä.

Lähestytään asiaa toiselta kantilta. Tarkastellaan mielivaltaisen pientä aikaväliä jolla d > 0. Tällöin pallon nopeus on määritelty, ja jotta sen voidaan sanoa olevan pysähdyksissä, sen nopeuden täytyy olla nolla tällä välillä. Tällöin kuitenkin myös sen kiihtyvyyden täytyy olla nolla.

Miksi kiihtyvyyden täytyy olla nolla? Koska kiihtyvyys on määritelty nopeuden muutoksena ajan suhteen: a = d(ds/dt)/dt

Huomataan että ds/dt eli nopeus täytyy olla aina nollasta poikkeava, mikäli halutaan että kiihtyvyys on aina nollasta poikkeava, paitsi tietenkin silloin kun d = 0 jolloin kiihtyvyyskään ei ole määritelty koska nopeus ei ole määritelty. Kiihtyvyys on nopeuden kulmakerroin ja nopeus on suora v = at. Suoran kulmakerroin on olemassa suoran jokaisen pisteen välillä, joten kiihtyvyys ei voi kadota.

Jotta asian voi tajuta, täytyy tarkastella pienintä mahdollista aikaväliä, eli vierekkäisiä ajanhetkiä joiden väliin ei mahdu yhtään lisää ajanhetkiä. Sanotaan että ajanhetki 0 on se jossa pallo vaihtaa suuntaansa. Pallon on täytynyt vaihtaa paikkaa ajanhetkien -1 ja 0, sekä hetkien 0 ja 1 välillä koska näillä väleillä sillä on nopeus, ja pallo on jossain tietyssä paikassa hetkillä -1, 0, 1 joissa sen nopeus on määrittelemätön, eli ei voida sanoa että se on pysähdyksissä.

Tästä syntyy mielenkiintoinen paradoksi: jos nopeus on suora, sillä täytyy olla myös piste jossa se on täsmälleen nolla, mutta tässä pisteessä koko nopeuden käsite on merkityksetön.

Osaisiko herra Heisenberg ratkaista tämän paradoksin?

Sivut

Kommentit (93)

Paul M
Seuraa 
Viestejä8559
Liittynyt16.3.2005

Määritellään ensin pallo. Lienee joukko hiukkasia, joilla on ainakin lämpöliikettä. Nuo hiukkaset vipottavat miten kukakin lakipisteessä. Eli pallo itsessään on eräänlainen tilastollinen objekti. Varmaa on että lakipisteessä osa hiukkasista on menossa ylöspäin ja osa alaspäin. Mikä siis pysähtyy? Tilastollinen keskiarvo. Eli ongelma on määrittelyn tarkkuudessa. Jos sovitaan että tilastollinen keskiarvoisuus heitetään ideaalisen suoraan ylös ja arvioidaan sen pysähtymistä niin kai se pysähtyy määrittelynsä puitteissa.

Mutta yksittäisiin hiukkasiin mentäessä ainakin kvantittuminen sotkee ideaalisen pysähtymisen.

Eli pallo näkyy pysähtyvän käytännössä mutta ei teoriassa.

Hiirimeluexpertti. Majoneesitehtailija. Luonnontieteet: Maailman suurin uskonto. Avatar on halkaistu tykin kuula

Vierailija
Veikko
Tästä syntyy mielenkiintoinen paradoksi: jos nopeus on suora, sillä täytyy olla myös piste jossa se on täsmälleen nolla, mutta tässä pisteessä koko nopeuden käsite on merkityksetön.



Tuon logiikan mukaan nopeuden käsite on "merkityksetön" jokaisella ajanhetkellä.

Kiihtyvyys on tietysti gravitaatiokiihtyvyys eikä pallon nopeus vaikuta siihen.

Vierailija

Universumin mittakaavaisessa koordinaatistossa pallo ei koskaan missään vaiheessa ole paikoillaan. Eikä edes aurinkokunnan mittakaavassa.

Samoin kuin mäntä sylinterissä, on pallo aina liikkeessä, ainakin ilmanpyörteilyn vuoksi.

Vierailija
Lennon lakipisteessä on tietty ajanhetki jolloin nopeuden pitäisi olla nolla, mutta nopeus ei ole määritelty yksittäisenä ajanhetkenä, vaan aseman muutoksena ajanhetkien välissä: v = ds/dt



Paikka ajanhetkellä t = 2 olkoon s = 5. Kun t = 3, olkoon s = 15. Kun t = 4, olkoon s = 5.

Koska paikka on kaksi kertaa sama, on pallo kääntynyt tuossa välissä. Olkoon [t] hyvin pieni. Voimme siis laskea nopeuden välillä [2, 4] hyvin tarkasti.

v = ds/dt = (5 - 5) / (4 - 2) = 0

Saimme siis nopeudeksi tasan nolla.

Ajattelutapasi on väärä, koska mittausaika ei voi olla tasan nolla. Se pitää laskea raja-arvona. Käytä vaikka erotusosamäärää. Myöskään d ei voi olla nolla, sillä se tarkoittaa derivaattaa! Sama kuin määrittäisit, että plusmerkki = 0.

Universumin mittakaavaisessa koordinaatistossa pallo ei koskaan missään vaiheessa ole paikoillaan. Eikä edes aurinkokunnan mittakaavassa.
Onhan, jos se liikkuu vastakkaiseen suuntaan kuin Maapallo liikkuu universumin keskipisteeseen kiinnitetyssä koordinaatistossa ja samalla nopeudella.

Teekkari
Seuraa 
Viestejä2347
Liittynyt27.4.2008

Lakipisteessä pallolla on lakipisteen saavuttamisen hetkellä nopeus nolla, joten se on pysähdyksissä. Äärettömän pienen hetken tietenkin. Oletetaan y-akselin kuvaavaan nopeutta ja x-akselin aikaa. Ei pallon nopeuden perusteella koordinaatistoon piirretty käyrä hyppää x-akselin yli vaan saa arvon nolla.

Everything you know, is about to change.

Vierailija
Teekkari
Lakipisteessä pallolla on lakipisteen saavuttamisen hetkellä nopeus nolla, joten se on pysähdyksissä.



Voi olla, että Veikko kaipaa vähän enemmän matemaattista formalismia.

Vierailija

Juuri kuten teekkari totesi. Tässä hetkellinen nopeus määritellään korkeuden derivaattana. Se on analoginen eikä voi vaihtaa merkkiä olematta hetkellisesti nolla jolloin pallo on siis pysätynyt. Kiihtyvyys on kuitenkin jatkuvasti painovoiman mukaan g.

Vierailija

Pallon massakeskipisteen nopeus käy nollassa ja määritelmä on että pallon punasiirtymää ei silloin ole. Nollavauhti kestää yhtä kauan kuin esim 3.4 m/s vauhtikin.

En vaan ymmärrä että miksi ylipäätään puhua nopeudesta kun paljon parempia on liikemäärä ja liike-energia.

Teekkari
Seuraa 
Viestejä2347
Liittynyt27.4.2008
Lektu-Elli
Pallon massakeskipisteen nopeus käy nollassa ja määritelmä on että pallon punasiirtymää ei silloin ole. Nollavauhti kestää yhtä kauan kuin esim 3.4 m/s vauhtikin.

En vaan ymmärrä että miksi ylipäätään puhua nopeudesta kun paljon parempia on liikemäärä ja liike-energia.

Toden totta. Pallolla ei ole lakipisteessä liike-energiaa, joten nopeus on nolla.

Edit: Vaikkakin liike-energia on nolla, koska nopeus on nolla. Pysytän vain perusteissa tai menee puurot ja vellit sekaisin tai pahimmassa tapauksessa housuun.

Everything you know, is about to change.

Vierailija
Taha
Ja jos pallo pysähtyy, se pysähtyy vain suhteessa johonkin.
Tottahan tuo on mutta yleensä nopeudet ajatellaan maan pinnan suhteen. Jos halutaan saivarrella ja pilkkua viilata niin ei tuo pysähtyminen kovin yksiselitteinen ole. Jos pallo heitetään tarkalleen pystysuoraan eli maan säteen suunnassa se ei putoakkaan tarkalleen lähtöpisteeseensä maan pyörimisestä johtuen. Lakipisteessä pallon kehänopeus poikkeaa hieman maapallon kehänopeudesta kun niitä tarkastellaan kulmanopeuksina. Erot ovat kuitenkin pienempiä kuin tarkimmilla mittuksilla voidaan todeta eli silloin todella mennään saivartelun ja pilkunviilauksen puolelle. Maapallon navoilla tämäkin ero nollautuu.

Vierailija
korant
Taha
Ja jos pallo pysähtyy, se pysähtyy vain suhteessa johonkin.
Tottahan tuo on mutta yleensä nopeudet ajatellaan maan pinnan suhteen. Jos halutaan saivarrella ja pilkkua viilata...



Tervetuloa Tiede-palstalle!

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Hyviä vastauksi jo tuli, mutta kai tänne vielä jokin vastaus mahtuu joukkoon.

Veikko

Lennon lakipisteessä on tietty ajanhetki jolloin nopeuden pitäisi olla nolla, mutta nopeus ei ole määritelty yksittäisenä ajanhetkenä, vaan aseman muutoksena ajanhetkien välissä: v = ds/dt

Eli siis, jos d = 0, nopeus ei ole määritelty.




Jos lähdetään liikkeelle siitä että nopeus on paikan derivaatta, niin tuossa ei ole mitään ongelmaa. Derivaattahan on määritelty nimenomaan jossakin pisteessä kerrallaan. Tuo d ei ole mikään nollasta poikkeava luku. Raja-arvoista on kysymys.

Edit: laitetaan vielä se derivaatan määritelmä:
f'(Xo) = lim(X->Xo) (f(X)-f(Xo))/(X-Xo)

Se on siis määritelty pisteittäin.

Toisaalta jo oletetaan nopeus jatkuvaksi, niin tulos seuraa jo pelkästään siitä. Jatkuva funktio ei voi muuttaa merkkiä kulkematta nollan kautta.

No joo, tässä on siis vain tehty oletuksia kyseisten suureiden jatkuvuuksista, ja niin täytyykin olettaa, mikäli nuo tutut nopeuden ja kiihtyvyyden määritelmät ovat mielekkäitä. Matemaattisesti se ei ole ongelma. Mutta asia on sitten toinen, jos haluat olettaa esimerkiksi että paikka ei ole jatkuva funktio. Silloin oikeastaan nuo määritelmän mukaiset nopeudet ja kiihtyvyydet lakkaavat olemasta. Silloin voidaan ajatella että niitä voidaan ainoastaan approksimoida jatkuvina, mutta mistään hetkellisten nopeuksien olemassaolosta ei ole enää mielekästä puhua.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Sepi
Seuraa 
Viestejä3249
Liittynyt16.3.2005

Jos tarkastelee kuulantyöntäjän suoritusta sopivasta suunnasta, kuula kohoaa ja laskee pystysuoraan. Samaten jo mainittu moottorin mäntä kiitää ylös-alas kampiakselin jatkaessa pysähtymättä pyörimistään.

Kuun liikettä maapallon ympäri voidaan katsoa kuun ratatasossa siten, että se näyttää liikkuvan edestakaisin suoraviivaisesti. Näkökulmaa vaihdellen kiertolaiselle voi havaita ylä- ja alakuolokohtia loputtomasti. Ei se silti pysähdy.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat