Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tuollainen tuli kokeessa vastaan:

y'+ay^2=b, a ja b vakioita

Ratkaistaan kuten lineaarinen 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö (homogeenisen yhtälön ratkaisu+joku ratkaisu joka toteuttaa koko yhtälön) ?

Kommentit (5)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Unohdetaanpa tämä alkuperäinen viesti

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
Korso
Tuollainen tuli kokeessa vastaan:

y'+ay^2=b, a ja b vakioita

Ratkaistaan kuten lineaarinen 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö (homogeenisen yhtälön ratkaisu+joku ratkaisu joka toteuttaa koko yhtälön) ?

Ensin tosiaan tarkastellaan homogeeniyhtälöä y'+ay^2=0, josta saadaan ∫dy/y^2=-a∫dx eli -1/y=-ax-C => y=1/(ax+C). Seuraavaksi tehdään (tässä tapauksessa) polynomiyrite, joksi riittää y=D, eli y'=0. Sijoittamalla tuo yhtälöön saadaan, että D=sqrt(b/a), joten täyd. ratk. on siis y=1/(ax+C)+sqrt(b/a), jonka voi tietysti tarkistaa sij. alkup. yhtälöön.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Muppetti
Seuraavaksi tehdään (tässä tapauksessa) polynomiyrite, joksi riittää y=D, eli y'=0.

Kun näköjään differentiaaliyhtälön ratkaisu on ruosteessa, niin kysynpä tyhmiä. Eli miten tuo polynomiyrite määräytyy?

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
bosoni
Muppetti
Seuraavaksi tehdään (tässä tapauksessa) polynomiyrite, joksi riittää y=D, eli y'=0.



Kun näköjään differentiaaliyhtälön ratkaisu on ruosteessa, niin kysynpä tyhmiä. Eli miten tuo polynomiyrite määräytyy?

Lineaarisessa differentiaaliyhtälössä (esim. muotoa y'+ky=g(x), eli siis y ja y' ilman potensseja tai neliöjuuria jne..) Yrite määräytyy sen termin, jossa ei ole y:tä tai y':a mukana (tässä g(x) ) mukaan. Yrite on saman asteen polynomi kuin g(x), eli siis x^2:n yrite on Cx^2+Dx+E (C,D ja E sellaisia vakioita, että yrite toteuttaa yhtälön)

Tuon kyseisen yhtälön yritteistä ja ratkaisusta sitten en tiedä, siksi aloitusviestikin

Vierailija

Jos alkuehtoja ei ole tiedossa, differentiaaliyhtälöille on ratkaisuja pilvin pimein. Tuo lausahdus:"Homogeenin ratkaisu plus yksittäisratkaisu" saa yleisessä tapauksessa selkäpiini karmimaan.

Aika monesti diffikset ovat separoituvia. Separoituvan ensimmäisen asteen diffiksen ratkaisu on aikalailla yksiselitteinen jos alkuehto tiedetään. Ja muutenkin yksiselitteisempi kuin homogeeninen+yksittäisratkaisu. Yksittäisratkaisuja on pilvinpimein mutta separoituvan yhtälön ratkaisu on vakioa vaille valmis.

Mutta jos joku menee kokeeseen, suosittelen että jättää lopun lukematta.

(Ja huomioikaa että olen itse tarkistanut laskun, joten mitään varmuutta sen oikeellisuudesta ei ole).

Elikkäs yhtälö (parametrina t) dy/dt+ay²=b on separoituva.

Sen saa muotoon

1/{b(1-[Sqrt(a/b)y]²}dy=dt

Ja tostahan näkee että trigonometriselta integroinnilta homma näyttää.

Muuttujanvaihto Sqrt[a/b]y=cosφ ja dy=-Sqrt[b/a]sinφdφ sieventää yhtälön muotoon

k/sinφ dφ=dt, missä k=-1/Sqrt[ba]

derivaatta d{ln[tan(φ/2)]} on 1/sinφ. Joten

tan(φ/2)=e^-α, missä α=Sqrt[ba](t+C) ja C=integroimisvakio.

Trigonometrisiä identtiteettejä käyttäen saadaan toisen asteen yhtälö φ:lle:

(1-cosφ)²=e^-2α (1-cos²φ)

Ja kun sijoitetaan takaisin y=Sqrt[b/a]cosφ , ratkaisuna saadaan:

y=Sqrt[b/a] tai
y=Sqrt[b/a] tanh{Sqrt[ba](t+C)}

Mutta tietenkinhän on selvää että jos tarkoitus on "vain" ratkaista diffis ilman että yhtälöllä on mitään fysikaalista/matemaattista merkitystä, helpoin tapa on etsiä yksittäisratkaisu ja ratkaista homogeeninen diffis.

Näin mutu-tuntumalla voin sanoa että tuntuu siltä että fysiikassa separoidaan aina kun on mahdollista.

Tapoja on monia.

Uusimmat

Suosituimmat