5-kulmion maksimi pinta-ala?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tämä oli kai täällä aiemmin mutta kun en löytänyt niin pistetään
uudemman kerran.
Se oli kai niin että on 5-kulmio jonka kaikki sivut ovat eri
mittaisia sanotaan nyt vaikka 1,2,3,4 ja 5 yksikköä.
Mikä on sitten tällaisen maksimi pinta-ala ja miten se
lasketaan?

Kommentit (12)

Vierailija

Minä, peruskoululaisena laskisisin sen niin että jakaisin kyseisen kappaleen esimerkiksi kolmioiksi ja laskisin jokaisen kolmion pinta-alan ja summaisin ne yhteen....On varmaankin jokin helpompi/kaavamaisempi tapa keksitty.... mutta tosiaan joku joka on käynyt jo yläkoulun ja lukion osaa kertoa tarkemmin...

Vierailija
Qark
Minä, peruskoululaisena laskisisin sen niin että jakaisin kyseisen kappaleen esimerkiksi kolmioiksi ja laskisin jokaisen kolmion pinta-alan ja summaisin ne yhteen....On varmaankin jokin helpompi/kaavamaisempi tapa keksitty.... mutta tosiaan joku joka on käynyt jo yläkoulun ja lukion osaa kertoa tarkemmin...

Jos kolmion sivut on annettu, pinta-alan voi laskea. Jo nelikulmion kanssa tulee ongelmaksi se, ettei kulmia tunneta: nelikulmio ei ole "jäykkä" kappale.

calculator
... 5-kulmio jonka kaikki sivut ovat eri
mittaisia sanotaan nyt vaikka 1,2,3,4 ja 5 yksikköä.
Mikä on sitten tällaisen maksimi pinta-ala ja miten se
lasketaan?

En tiedä mitä tästä ongelmasta on täällä aiemmin sanottu, mutta yksi tapa ratkaista suurin pinta-ala on käyttää fysikaalista analogiaa: kuvitellaan, että 5-kulmion sisällä on painetta ja ratkaistaan, millaiset kulmat sivujen välissä täytyy olla tasapainotilassa. Sisäinen paine aiheuttaa kuhunkin sivuun voiman, joka on suoraan verrannollinen sivun pituuteen ja jonka voi olettaa vaikuttavan sivun keskipisteessä kohtisuoraan sivua vastaan ulospäin 5-kulmion sisältä. Tasapainotilassa sivun päissä olevat voimat kumoavat tämän voiman sekä toisensa (nettovoima ja -momentti ovat nollia). Sivun kummassakin päässä sivua vastaan kohtisuorat voimat siis osoittavat 5-kulmion sisään ja ovat tasan puolet ulospäin osoittavasta voimasta. Sivun päihin vaikuttavien voimien sivunsuuntaiset komponentit kumoavat toisensa. Tästä pystyy päättelemään, että sivun päihin vaikuttavat voimat ovat yhtä suuret, mutta eri suuntaiset.

Jokaista voimaa vastaa vastavoima. Sivun päähän vaikuttava voima on siis yhtä suuri, mutta vastakkainen viereisen sivun päähän vaikuttavaan voimaan nähden. Koska kaikkien sivujen päissä olevat voimat ovat yhtä suuria ja vierekkäisten sivujen voimat ovat yhtä suuria, kaikkien sivujen päihin vaikuttavat voimat ovat yhtä suuria, mutta eri suuntaisia.

Kustakin voimasta tunnetaan sivua vastaan kohtisuora komponentti, joka siis oli puolet sivun pituudesta kerrottuna "paineella". Voidaan olettaa, että paine = 2, jolloin tämä komponentti on sivun pituus. Jos tunnettaisiin voiman suuruus, pystyttäisiin päättelemään sivunsuuntainen komponentti ja voiman suunta. Tämä siis kaikille sivuille, koska jokaisen sivun päähän vaikuttava voima on saman suuruinen, mutta eri kulmassa sivuun nähden.

Tässä tehtävässä on helpointa tutkia kulmia suunnan muutoksina. Esimerkiksi tasasivuisen kolmion kulmat ovat perinteisessä mielessä 60 astetta, mutta jos kuljetaan reunaa pitkin, kulman kohdalla on käännyttävä 120 astetta. Kaikkien monikulmioiden "käännös" on 360 astetta. Tässä tehtävässä sivujen taitteen käännös on voimien käännösten summa (ja tässä siis voiman kulma on 0, jos se vaikuttaa sivun suuntaisesti). Jos 1-mittaisen sivun päähän vaikuttava voima on vaikkapa 10,6 asteen kulmassa sivuun nähden ja 2-mittaisen sivun päähän vaikuttava voima on 21,6 asteen kulmassa sivuun nähden, 1-mittaisen ja 2-mittaisen sivun liittymäkohdassa kännös on näiden summa, 32,2 astetta.

Koko tehtävä ratkeaa nyt kokeilemalla: arvataan sivun päähän vaikuttavan voiman suuruus. Siitä pystytään laskemaan sivujen väliset kulmat. Rajoitusehtona on, että kokonaiskäännös pitää olla 360 astetta. Kokonaiskäännös on vähemmän, jos voima arvataan liian suureksi, ja enemmän, jos voima arvataan liian pieneksi. Vähintään voiman on tietysti oltava suurimman sivun pituus.

Kokeilemalla sain, että tuossa 1-2-3-4-5-tehtävässä voima on kutakuinkin 5,4351344505239. Sivujen väliset käännökset ovat silloin
1-2: 32,1930
2-3: 55,0927
3-4: 80,8896
4-5: 114,3051
5-1: 77,5195
Kun kulmat ovat tiedossa, pinta-alan lasku onkin sitten perustrigonometriaa. Sain tuollaisen 5-kulmion pinta-alaksi 13,6.

Vierailija
DominusEtDeus
Eikös tuosta saa väännetty melkeimpä funktion?

Saahan siitä. Tehtävän voi muotoilla niin, että etsitään nollakohta funktiolle f(x) = pi - sum_i arcsin(x*s_i), missä s_i ovat sivujen pituudet. Nuo termit arcsin(x*s_i) kertovat voiman "käännöksen", eli sivujen s_1 ja s_2 "käännös" olisi arcsin(x*s_1)+arcsin(x*s_2). Sivujen kulma olisi siis pi - arcsin(x*s_1) - arcsin(x*s_2) radiaania.

Sivujen järjestyksellä muuten ei ole vaikutusta x:n ratkaisuun...

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005

Dosentti ratkaisi ongelman fysikaalisella analogialla. Oli niin pitkä selitys, että päätin tarkistaa tuloksen. Saman 13.6 sain minäkin.

Käytin Heronin kaavaa

s=1/2*(a+b+c)

A=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

missä a, b, ja c ovat siis kolmion sivut. Viisikulmio on helppo jakaa kolmeen kolmioon. Saadaan kaksi tuntematonta janaa, jotka yhdistävät yhden kulman kahteen muuhun. Viisikulmion pinta-ala on näiden kolmioiden alojen summa. Laitoin kaavat taulukkolaskimeen ja piirsin pinta-alan kummankin muuttujan funktiona. Silmällä löytyy maksimit ja kokeilemalla tarkennetaan arvot.

Vierailija

Sen verran on koulugeometria ruosteessa, etten muistanut, mikä sen "käännöksen" nimi on. Näytti olevan ulkokulma, joka on sisäkulman suplementtikulma.
Ulkokulma:
Sisäkulma:
Suplementtikulmat:
Huomasin muuten, että tehtävän ratkaisuna on syklinen monikulmio. Tästä seuraa esimerkiksi, että sivujen järjestys ei vaikuta suurimpaan mahdolliseen pinta-alaan, vaikka se tietysti vaikuttaa monikulmion muotoon. Jos joulunodotus käy pitkäksi, voi yrittää todistaa.

Vierailija

Jeps, Dosentti.

Katsoin juuri Linnunradan Käsikirjan Liftareille ja arvatenkin epätodennäköisyysmoottori alkoi jylläämään. (Ja kirjoituksen ulkoasusta sen varmaankin huomaa - Marvinia tarvittaisiin.)

Tuo sinun lähestymistapasi koko ongelmaan on varsin erikoinen. En tiedä oikeaa vastausta (42), mutta koska nykyinen perusteltu vastauksesi näyttäisi olevan oikea, hyväksyn sen.

Mutta:

Viisi kulmaa ja relaatio joka sitoo nämä toisiinsa - kuuden yhtälön lineaarinen yhtälöryhmä jossa on viisi tuntematonta. Keskipiste ei ole massapiste vaan kaikkien sivujen keskipiste. Siis piirretään ortogonaaliset janat jokaisen sivun keskipisteestä ja leikkauspiste on "massapiste".

Siis jos haetaan maksimia, tämän yhtälöryhmän derivaatta antaa sen.

En todellakaan ole varma siitä että jos ratkaistaan yksi muuttuja yhtälöryhmästä muiden suhteen, tämän derivaatta antaisi vastaukseksi 42.. eiku siis 13,6.

Kynällä ja paperilla aika isotöistä hommaa. En ala ratkaisemaan (ainakaan vielä) joten dosentti sulle sanon:Aika pätevää päättelyä teit, tottatosiaan.

----------------------------------------------------------------------------
edit (jos joku kerkesi lukemaan):

Tuollaiset ongelmat ratkeavat yleensä runttaamalla. Nakataan kehiin kaikki mahdolliset muuttujat ja väännetään ja käännetään kunnes yksi on jäljellä. Helvetin isotöistä. Ja jos "yleensä" ei käy toteen, harakatkin nauraa.

Nyt ei ole kyse differentiaaliyhtälöstä muutenkuin maksimoinnissa (minimoinnissa) joten brutaalilla voimalla tuon luulisi ratkeavan.

Mutta tällaisia ongelmia en ole paljoakaan mietiskellyt, joten voin olla väärässä.

Vierailija

"pikku" laskemisella tietsikan avulla

saa lävistäjille suhteen x=sqrt( (6*y^2+13*y+6)/(y+6))

ja edelleen A(y)= 1/4*sqrt(-y^4+28*^2+48*y) +1/4*sqrt(-y^4+82*y^2-81);

ja tälle saadaan maksimi kun y = ymax = 4.953399184

jolloin siis x=4.457241185 ja edelleen

MAKSIMI ALA on A(ymax) = 13.60499238

Ei taida kuitenkaan olla kyse ihan pienestä laskemisesta?

Voisiko joku vähän selventää tätä algebrallista menetelmää?

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005
1234
Voisiko joku vähän selventää tätä algebrallista menetelmää?

Näyttää olevan sama kuin mitä itse käytin tuossa vähän ylempänä. Riittääkö se selitys?

Vierailija
H
1234
Voisiko joku vähän selventää tätä algebrallista menetelmää?

Näyttää olevan sama kuin mitä itse käytin tuossa vähän ylempänä. Riittääkö se selitys?

Riittäähän tuo.
Heronilla näyttää hoituvan.

Uusimmat

Suosituimmat