Differentiaaliyhtälöt

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

1. Onko yhtälöllä y^2*dx + (2xy + cosy)dy = 0yksi tai useampi seuraavista ominaisuuksista: separoituva, lineaarinen, eksakti? Ratkaise yhtälö.

2. Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä x' = a - b*cos((Pii*t)/12)-kx, x(0) = x0. Ratkaise se tapauksessa a = b = 1, k = 2 ja xo = 10.

3. Tuhat litraa puhdasta vettä sisältävään tankkiin virtaa 1 kg/l sisältävää suolaliuosta nopeudella 6 l/min. mikä on suolapitoisuus hetkellä t kun tankista poistuu 5 l/min hyvin sekoittunutta liuosta.

Osaakos joku laskea tämmöisiä?

Kommentit (10)

Vierailija
Kanuuna
1. Onko yhtälöllä y^2*dx + (2xy + cosy)dy = 0yksi tai useampi seuraavista ominaisuuksista: separoituva, lineaarinen, eksakti? Ratkaise yhtälö.

Osaakos joku laskea tämmöisiä?

Koska nämä ensinnäkin näyttävät erehdyttävästi koululaskuilta ja ovat jo sen verran raskaita pyöriteltäviä välivaiheineen kaikkineen, en aio valmiita ratkaisuja esittää. Annan kuitenkin pari vinkkiä tuohon ensimmäiseen tehtävään, joissa tosin saattaa olla pientä haparointia.

Sinulla on käsissäsi tuossa ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö joka on periaatteessa muotoa:

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Differentiaaliyhtälön eksaktius voidaan tarkistaa ekstaktiustestillä, joka on kaikessa lyhykäisyydessään hyvin yksinkertainen. M(x,y):n osittaisderivaatta y:n suhteen pitää olla sama kuin N(x,y):n osittaisderivaatta. Eli M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 on eksakti, kun:

(d/dy)M(x,y) = (d/dx)N(x,y), jossa d = doo (osittaisderivaatan merkintä)

Separoituvuus onkin mielenkiitoisempi kysymys. Minun muistaakseni separoituvuus ei tarkoita mitään sen erikoisempaa kuin sitä, että differentiaaliyhtälössä muuttujat voidaan erottaa, eli yhtälö voidaan saattaa muotoon:

g(y)(dy/dx) = h(x) <=> g(y)dy = h(x)dx,
missä g(y) ja h(x) ovat jatkuvia tarkasteluvälillä.

Eli minun mielestäni tuo sinun DY:si on jo valmiiksi separoitu, eli periaatteessa se ei enää ole separoituva, mutta toisaalta se voidaan helpohkosti saattaa muotoon josta se taas on separoituva. En ole ihan varma, että mitä tuossa haetaan takaa. Separoituvuudelle ei muistaakseni ole olemassa mitään yksikäsitteistä separoituvuus-testiä.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä23104
Liittynyt16.3.2005
Kanuuna
Osaakos joku laskea tämmöisiä?

Hyvin moni osaa. Peruskurssikamaa nuo näyttävät olevan. Näyttää vahvasti siltä, että sinunkin pitäisi oppia laskemaan tuollaisia. Se tavoite tuskin toteutuu, jos kopioit tehtävät tänne ja vastaukset paperiisi.

Itse en pidä avun pyytämistä koulutehtäviin paheksuttavana, jos pyytäjä on alkanut laskea tehtävää ja kysyy neuvoa johonkin kinkkiseen yksityiskohtaan. Silloin avunsaanti edistää oppimista. Sen sijaan tuollainen tapa, että kopioidaan vain tehtävät tänne ja odotetaan valmiita mallivastauksia ei ole millään tapaa tarkoituksenmukainen.

Eli yritä itse ensin ja kerro mihin päädyit, niin katsotaan sitten uudelleen.

Vierailija

Differentiaaliyhtälöiden (perus)kurssin kamalta tuo vaikuttaa, nuo kannattaa toisiaan itse osata laskea... Jos luentomonisto on yhtään kelvollinen, niin nuo tehtävät ratkeavat helposti - Ja eiku lukemaan, ei sitä muuten opi

edit: typo

Vierailija

Ymmärrän tilanteesi täysin jos ne ovat niin kuin tossa edellä on mainittukin koulutehtäviä, jotka olisi pakko saada ratkaistua. Kaikki ei ole lahjakkaita matematiikan puolella. Jos osaisin niin auttaisin mielelläni, muutankin kuin toteamalla että tarvii itse opiskella. Mutta valitettavasti tulin itsekin tätä kautta etsimään apua joka nähtävästi olikin aivan turhaa.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä23104
Liittynyt16.3.2005
Epätoivoinen
Ymmärrän tilanteesi täysin jos ne ovat niin kuin tossa edellä on mainittukin koulutehtäviä, jotka olisi pakko saada ratkaistua. Kaikki ei ole lahjakkaita matematiikan puolella.



Eivät nuo ole mitään lahjattomille väkisin tuputettavia lukion lyhyen matematiikan tehtäviä, vaan matemaattis-luonnontieteellisen tiedekunnan tai teknillisen korkeakoulun matematiikan peruskurssin tehtäviä. Jos kysyjä tosiaan on matemaattisesti täysin lahjaton, hän voi kysyä itseltään opiskeleeko hän varmasti oikeaa alaa.


Jos osaisin niin auttaisin mielelläni, muutankin kuin toteamalla että tarvii itse opiskella. Mutta valitettavasti tulin itsekin tätä kautta etsimään apua joka nähtävästi olikin aivan turhaa.

Avunpyyntö ja tehtävien teettäminen toisilla niitä vilkaisemattakaan ovat aivan eri asioita. Asiallisiin avunpyyntöihin saa asiallisiakin vastauksia. Jos avun pyytäjä viitsii itse paneutua tehtäviinsä vain sen verran, että kopioi ne tänne, kukaan tuskin viitsii vaivautua.

Jos nuo tehtävät tosiaan ovat niin korkealentoisia, ettei kysyjällä ole hajuakaan mistä lähtisi ratkaisua hakemaan, esitetystä mallivastauksesta tuskin on iloa oppimisen kannalta (kurssien läpäisyssä voi ollakin, mutta se on oppimisessa toissijaista). Silloin pitää lähteä luomaan pohjatietoa alemmalta tasolta, mikä on aivan liian laaja aihe tällaisella palstalla läpi käytäväksi.

Vierailija

Ymmärrän kyllä, että tehtäviä tarvitsee itse miettiä, mutta välillä kun ne menevät ainakin joiltakin esim. itseltäni yli hilseen niin tulee hieman toivoton tunne. Itse olen tänään meinaan miettinyt differentiaaliyhtälö tehtäviä n. 4 tuntia oikeestaan mitään aikaan saamatta.
Myönnän, että olisin hieman paremmin voinut miettiä miten asiani ilmaisen, mutta tunteet nousi ehkä hieman pintaan kun useampi vaan sanoo, että peruskamaahan nuo ovat. Varmasti tehtävät ovat joillekin erityisen helppoja, mutta ei ainakaan minulle.

Mutta ei siitä sen enempää

Vierailija

Tehtävien tekemisessähän kaikkein tärkeintä on juuri miettiminen. Jos tehtävän miettii kunnolla läpi niin, että ymmärtää asian, on ihan sama vaikka sen ratkaisun olisikin saanut joltakulta muulta. Itse tekemisestä saa kuitenkin parhaan tyydytyksen ja kinkkiset kohdat muistaa paremmin. Laskurutiinia ei myöskään saavuteta kuin laskemalla.

[Pikkukorjauksena vielä, että tuo ensimmäinen yhtälö ei ole valmiiksi separoitu (eikä taida separoituakaan), koska termi (2xy+cosy)dy riippuu sekä x:stä että y:stä]

Vierailija

Olen tässä pitkään yrittänyt ratkaista differentiaaliyhtälöä, joka on muotoa

E = [L+k*t]*di(t)/dt + k*i(t)+Ri(t)

Vähän kaikkea on tullut kokeiltua, mutta ei ratkea. Jos joku osaisi neuvoa oikealle tielle, olisin kiitollinen. Tulisi tarpeeseen.

Vierailija

Kyllä tommosia sai jo esikoulussa väännellä.
1. jotta yhtälö olis eksakti niin se pitäis pystyä jakamaan kahteen funktioon joiden dx ja dy osittaisderivaatat on samoja.
M(x,y)dx = N(x,y)dy. Lineaarisuuden sitte taas näkee potenssista. Toi muuten vaikuttaa separoituvalta.

Separoituva on sitä mitä nimikin sanoo, kaikki x:t ja y:t yhtälön eri puolille. esim. (x^2+1) dy/dx = xy separoituu -> 1/y dy = x/(x^2+1) dx

Vierailija
rautaleuka
Kyllä tommosia sai jo esikoulussa väännellä.
1. jotta yhtälö olis eksakti niin se pitäis pystyä jakamaan kahteen funktioon joiden dx ja dy osittaisderivaatat on samoja.
M(x,y)dx = N(x,y)dy. Lineaarisuuden sitte taas näkee potenssista. Toi muuten vaikuttaa separoituvalta.

Separoituva on sitä mitä nimikin sanoo, kaikki x:t ja y:t yhtälön eri puolille. esim. (x^2+1) dy/dx = xy separoituu -> 1/y dy = x/(x^2+1) dx




Kyllä toi pitäisi olla täydellinen. Voidaan kirjoittaa me myös

(x+A)y' + By + C = 0

Se tosiaan separoituu.

dy / (By+C) = dx / (x + A)

Tuosta eteenpäin pitäisi kai asia olla suoraviivainen, eli integroida molemmat puolet.

Uusimmat

Suosituimmat