Virhefunktio

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Gaussinen integraali äärettömillä rajoilla on

Josta saadaan

Virhe funktio (error function) on:

Lähde: http://scienceworld.wolfram.com/

Gaussisen integraalin idea on se että mennään uuteen faasiavaruuteen (muoks:edellinen oli konfiguraatioavaruus). Neliöllinen integraali x,y-koordinaatistossa muunnetaan r,φ-koordinaatistoon. Äärettömillä rajoilla mitään ongelmaa ei ole. Mikä ongelma on äärellisillä rajoilla? Muuttuuko mikään muukuin koordinaatisto? Pinta-ala ei ainakaan muutu.

Lähetin Oonan approksimaation http://www.student.oulu.fi/~saulikal/errorf.pdf ylläolevaan Scienceworldiin Ja vastaus oli:"Hämmästelemme jos tuota virhefunktiota ei ole tutkittu pilvin pimein."

Siis kysymys on tämä:Miksi Gaussinen integraali ei toimi äärellisillä rajoilla?

Mielestäni se toimii.

En kertakaikkiaan huomaa "virhettä" virhe-funktion approksimaatiossa.

Omat virheeni myönnän. Matemaatikot, osoittakaa virheeni.

Kippis.

--------------------------------------------------------------------------------

Edit:

Täsmennys matemaatikoille: x>0 ja y>0

(jos ei olisi, kuvaus ei olisi bijektio)

Kyse on lähinnä fysiikasta jossa etäisyys mitataan nollapisteestä ja etäisyys kasvaa.

---------------------------------------------------------------------------------

Edit2: Mitähän mä tuota gammafunktiota tähän sekoitan. Pahoittelen. Täpinöissäni kirjoittelin kaikenlaista.

Kommentit (7)

Vierailija

Siinä sun alkuperäsessä oli jotakin, siihen mittaan liittyvää, jota jäin miettimään. Voitko pistää linkin?

SORI. Tuosaahan se oli, palaan asiaan.

Vierailija
Harhatien opiskelija
Gaussisen integraalin idea on se että mennään uuteen konfiguraatioavaruuteen. Neliöllinen integraali x,y-koordinaatistossa muunnetaan r,φ-koordinaatistoon. Äärettömillä rajoilla mitään ongelmaa ei ole. Mikä ongelma on äärellisillä rajoilla? Muuttuuko mikään muukuin koordinaatisto? Pinta-ala ei ainakaan muutu.

Eikös ero ole siinä, että x,y-koordinaatiostossa integroimisalue on neliö mutta r,φ-koordinaatistossa ympyrä. Jos ymmärsin Oonan approksimaation oikein, ideana on korvata hankala neliönmuotoinen integroimisalue helposti laskettavalla ympyränmuotoisella alueella. Integraalin arvo muuttuu hiukan, mutta ilmeisesti sitten kuitenkin aika vähän.

Vierailija
Päivystävä dosentti
Eikös ero ole siinä, että x,y-koordinaatiostossa integroimisalue on neliö mutta r,φ-koordinaatistossa ympyrä. Jos ymmärsin Oonan approksimaation oikein, ideana on korvata hankala neliönmuotoinen integroimisalue helposti laskettavalla ympyränmuotoisella alueella. Integraalin arvo muuttuu hiukan, mutta ilmeisesti sitten kuitenkin aika vähän.

Tätä olen itsekin miettinyt.

Totta on se että jos ala on x,y-koordinaatistossa neliö, tässä koordinaatistossa r,φ-ala on ympyrä. Mutta r,φ-koordinaatistossa ala on edelleen neliö niin alkuperäistä x-integraalia vastaa r-integrointi ja y-integrointia φ-integrointi. Ongelmahan tässä on että r:ää ei integroida samaan arvoon mitä x, mutta toisaalta myös integrandi on muutettu r,φ-koordinaatistoon.

Tunnetusti muunnos x,y->r,φ on toimiva sillä muunnos r,φ -> x,y on edellisen käänteismuunnos ja homma toimii yks'yhteen. Ja myös integrandin E^-(x^2+y^2) ,kun x>0 ja y>0, muunnos r,φ-koordinaatistoon toimii (muunnos on bijektio).

Gaussissahan ensin siirrytään 1-ulotteisesta 2-ulotteiseen ja sitten 2-ulotteisesta ortogonaalisesta avaruudesta (x,y) toiseen ortogonaaliseen (r,φ) avaruuteen.

Periaatteessa siis kaikki tehdyt muunnokset ovat "laillisia" ja niiden ei pitäisi muuttaa itse integroinnin arvoa - ainoastaan muuttujat muutetaan.

Siis tuon muunnoksen x,y->r,φ voi ajatella kahdella tapaa. Ensimmäinen on perinteinen että vaihdetaan vain muuttujia, akselien pysyessä samana (muutettu ala on tällöin ympyrä). Toinen tapa ajatella tilannetta on se että hypätään ihan eri koordinaatistoon -> Alan on säilyttävä samana mutta akselien merkinnät muuttuvat. Tässä toisessa tavassa x,y-koordinaatistoa on ajateltava faasiavaruutena jolloin tätä vastaava toisten yleisten muuttujien (r,φ) faasiavaruus on myös olemassa.

Esimerkiksi 6-ulotteinen (ortogonaalinen) p,v-faasiavaruus voidaan valita joko x,y,z,V-koordinaatistoksi tai r,φ,Θ,V-koordinaatistoksi. (V on v-avaruuden tilavuus).

Mutta tottahan se on että tätä aihetta on kaluttu maailmansivu isojen poikien kuten

toimesta. Hyväksyn toki sen että Oonan approksimaatio säilyy approksimaationa, sen kun vain tajuais mistä tuo virhe loppujen lopuksi syntyy.

Lisää funktioista:http://functions.wolfram.com/

ps. Tuossa linkissä (Oonan approksimaatio) mainitsen että alat ovat samoja mutta geometrisesti eriäviä. Tässä viestissä esitin että sopivalla faasiavaruuksien valinnalla pinnat ovat sekä alaltaan että geometrialtaan samoja. Tämä voi olla virheoletus. Joten en ala hätäpäissäni muuttamaan Oonan approksimaatiota "Oonan faktaksi" vaikka puhunkin sitä vastaan että se olisi pelkkä approksimaatio.

Vierailija

Tuo edellinen selitykseni oli varmaankin hivenen sekava.

Mutta ehkä seuraava linkki selventää asiaa:

http://www.student.oulu.fi/~saulikal/integral.pdf

Tuo on lähinnä tehty sitä varten että idea tulisi selväksi. Yleinen todistus on kaukana (ja voi olla että jääkin kauas).

Yksi esimerkki-integraali sentään toimii. Alku se on sekin. Ja toki olen tietoinen siitä että yksikin hyvin perusteltu vastaväite kaataa koko homman.

Tiedän että nyt on kovat piipussa. Kyseenalaistan error-funktion määritelmän (ja sitäkautta Oonan approksimaatio ei ole approksimaatio). Hivenen hirvittää pistää tätä näin äkkiseltään julkisuuteen mutta toisaalta se on paras tapa huomata virheet (jos niitä on).

--------------------------------------------------------------------------------

edit. Tuollaisenaan se kosahtaa heti polynomeihin. Vaihdoin viihteelle mutta silti laskin "jotain". Näyttäisi että ainakin polynomeilla (astetta n) olevat saadaan toimimaan lisäämällä pieni kokonaisluku n systeemiin.

Keinosen munat kun taas tulee mietittyä kaikenlaista turhanpäiväistä. Kaljaakin pitäisi ottaa ja tentteihin lukea mutta kun juuttuu johonkin perkeleen "maailmanparannus-hommaan".

Mut ton homman saa toimimaan polynomeilla. (95% varmuudella).

Täytyy tämä "projekti" jättää ainakin viikoksi hautumaan joten jos vastailette, vastaan tähän hommaan luultavasti n.10-20 päivän päästä. Kiirettä alkaa pikkuhiljaa pukkaamaan.

Ja kaljaakin pitäis keritä ottamaan.

--------------------------------------------------------------------------------

Edit2. Suunnitelma on selvä:

Homma toimii approksimaationa gaussin integraalissa. 1. asteen polynomilla homma antaa tarkan arvon. Ja 95% varmuudella homma antaa tarkan arvon n-asteen polynomilla kun joskus hamassa tulevaisuudessa korjauksen lisään.

Seuraavaksi homma pitää saada toimimaan logaritmillä (pientä tynkää olen tähän saanut). Ja sitten hyperbolisilla funktioilla. Ja sitten trigonometrisillä (kompleksiluvut mukaan pliis).

Mitähän muita alkeisfunktioita sitä olikaan.

Sellainen perstuntuma on että hyperboliset,trigonometriset ja luonnolliset logaritmit voi saada toimimaan. Gaussinen integraalihan perustuu juuri ln:ään ja e:hen.

Mutta onpa taas pitkässä kuusessa. Jos hemmoilta/tytsyiltä tältä palstalta apua löytyy, sen otan vastaan. Ja myöskin otan vastaan sen todistuksen joka osoittaa homman olevan väärä (tällä hetkellä tämä olisi paras vaihtoehto - pää jumissa kaikenlaisesta miettimisestä).

Tieteessä ei ole totuutta. Nyt luulen olevani oikeassa mutta yksikin todistettu vastaväite voi tämän kumota. Julmaa mutta oikeutettua, matematiikka ja fysiikka perustuu juuri todennettavuuteen, ei filosofiaan.

Mutta vielä mainitsen toistamiseen. Vastaan vasta n. 10-20 päivän päästä. Toki luen vastaukset mutta tässä ollaan jo niin harhateillä että pitää välillä palata todellisuuteen.

Vierailija

Nyt on joulu juhlittu ja uusivuosi vietetty. Aivot ovat olleet narikassa pari viikkoa.

Pientä ohjelmointia harrastelin tuossa joulun aikaan ja huomasin erittäin helpon tavan testata tuota Oonan approksimaatiota - kone rouskuttamaan yksinkertaista c-kielen pätkää.

Sitten vain katsoa millaisen tuloksen numeerinen integrointi antaa...

Jotenkin tuntuu siltä että oddsit ovat vanhan puolella, mutta pitää testata...

Ja toki kerron tuloksen (sitten kun saan homman tehtyä), olipa se minua vastaan tai Oonaa puoltava.

ps. Tosin c:llä en ole vuoteen mitään tehnyt, mutta on paljon mielekkäämpää palautella syntaksi mieleen jollain "järkevällä" ennemmin kuin oppikirjojen "Liisa syö leipää viikossa 2 kg, tee ohjelma joka laskee kuinka paljon Liisa syö leipää viikossa"- systeemillä.

ps2. Ja laiskuus, laiskotus. Lomanvieton jälkeen on hirvittävän hankalaa aloittaa mitään. Ihana auvoisuus kun ei tarvitse miettiä mitään ja voi huoleta tylsyttää aivonsa eurosportin tennis/biljardi-lähetyksillä. Huomenna otan itseäni niskasta kiinni ja alan taas mietiskelemään ja samalla valmistautumaan tuleviin fysiikan kummallisuuksiin jotka kevätlukukaudella putkahtavat naamalle kuin tuomionpäivän sika.

Tekstistä (ps2) huomaa että olen ottanut joko vaikutteita Arkokselta tai sitten vain olen kipottelemassa viimeisiä keinujuomia.

Vierailija

So long and thanks for the fish.

Wanhat parrat olivat oikeassa. Numeerinen integrointi antoi täsmälleen saman vastauksen mitä Mathemathican antama erf.

Ja kaiken vakuudeksi tarkistin antaako sama integraali Gaussin systeemin kun rajat lähenevät äärettömyyttä. Antoihan se.

Mutta säilyyhän tuo Oonan approksimaatio sentään approksimaationa, mutta mitään hyötyä siitä tuskin kenellekään on.

Jotenkas tämä aihe on minun osaltani loppuunkäsitelty.

Uusimmat

Suosituimmat