Kemia, fysiikka ja matematiikka: Exponentti ja sisäfunktion integrointi.

Exponentti ja sisäfunktion integrointi.

Nyt "paapalla" vähän tökkii integrointi, kun yhtälö on muotoa e^f(x), eikä homma selvästikään onnistu siinä muodossa että voitaisiin reaalikerrointa käyttää derivaattafunktiona (tai siis ko. kerrointa käänteisenä). Siis tuo potenssin f(x) on muotoa x^a, jossa a > 1.

Derivointihan voidaan aina tehdä ulko- ja sisäfunktion avulla, mutta tuohon integrointiin en löytänyt esimerkkiä edes pitkän matikan kirjasta siinä muodossa että olisin sen ymmärtänyt.

Yksi esimerkki valaisisi asiaa huomattavasti.

[quote author="David" time="06.10.2009 klo 22:17"]

Nyt "paapalla" vähän tökkii integrointi, kun yhtälö on muotoa e^f(x), eikä homma selvästikään onnistu siinä muodossa että voitaisiin reaalikerrointa käyttää derivaattafunktiona (tai siis ko. kerrointa käänteisenä). Siis tuo potenssin f(x) on muotoa x^a, jossa a > 1.

Derivointihan voidaan aina tehdä ulko- ja sisäfunktion avulla, mutta tuohon integrointiin en löytänyt esimerkkiä edes pitkän matikan kirjasta siinä muodossa että olisin sen ymmärtänyt.

Yksi esimerkki valaisisi asiaa huomattavasti.

[/quote]

Re: Exponentti ja sisäfunktion integrointi.

Nyt "paapalla" vähän tökkii integrointi, kun yhtälö on muotoa e^f(x), eikä homma selvästikään onnistu siinä muodossa että voitaisiin reaalikerrointa käyttää derivaattafunktiona (tai siis ko. kerrointa käänteisenä). Siis tuo potenssin f(x) on muotoa x^a, jossa a > 1.

Derivointihan voidaan aina tehdä ulko- ja sisäfunktion avulla, mutta tuohon integrointiin en löytänyt esimerkkiä edes pitkän matikan kirjasta siinä muodossa että olisin sen ymmärtänyt.

Yksi esimerkki valaisisi asiaa huomattavasti.

Aika vaikea on kyllä keksiä edes yhtä esimerkkiä muotoa exp(x^a), jossa a>1 ja antiderivaatta olisi esitettävissä alkeisfunktioiden avulla. Mihin tarvitset tuota? Jos haluat laskea integraalin arvon, niin voithan vaikka käyttää exp(x):n Taylorin sarjaa, johon sijoittamalla x^a saat:

exp(x^a) = 1 + x^a + 1/2! (x^a)^2 + ...

Sen sitten voi integroida vaikka 0:sta x:ään, jolloin saadaan

int_0^x exp(x^a) dx
= x + 1/(a+1) x^(a+1) + 1/2! 1/(2a+1) x^(2a+1) + ...

johon voit sijoittaa x:n ja laskea integraalin arvon mielivaltaisella tarkkuudella.

[quote author="Stratonovich" time="06.10.2009 klo 23:21"]

[quote author="David"]Nyt "paapalla" vähän tökkii integrointi, kun yhtälö on muotoa e^f(x), eikä homma selvästikään onnistu siinä muodossa että voitaisiin reaalikerrointa käyttää derivaattafunktiona (tai siis ko. kerrointa käänteisenä). Siis tuo potenssin f(x) on muotoa x^a, jossa a > 1.

Derivointihan voidaan aina tehdä ulko- ja sisäfunktion avulla, mutta tuohon integrointiin en löytänyt esimerkkiä edes pitkän matikan kirjasta siinä muodossa että olisin sen ymmärtänyt.

Yksi esimerkki valaisisi asiaa huomattavasti.[/quote]
Aika vaikea on kyllä keksiä edes yhtä esimerkkiä muotoa exp(x^a), jossa a>1 ja antiderivaatta olisi esitettävissä alkeisfunktioiden avulla. Mihin tarvitset tuota? Jos haluat laskea integraalin arvon, niin voithan vaikka käyttää exp(x):n Taylorin sarjaa, johon sijoittamalla x^a saat:

exp(x^a) = 1 + x^a + 1/2! (x^a)^2 + ...

Sen sitten voi integroida vaikka 0:sta x:ään, jolloin saadaan

int_0^x exp(x^a) dx
= x + 1/(a+1) x^(a+1) + 1/2! 1/(2a+1) x^(2a+1) + ...

johon voit sijoittaa x:n ja laskea integraalin arvon mielivaltaisella tarkkuudella.

[/quote]
Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö

Re: Exponentti ja sisäfunktion integrointi.

Yhtälö oli siis muotoa e^x^a, jossa a>1. Tässä ko. tapauksessa a olisi 3. Eli integroitava funktio on muodossa e^x^3. Tuo e on tietysti luonnollinen luku eli e^1 oli jotain 2,71... jne. Eli siis neperin potenssi on muodossa x^3.

Tarve olisi oppia tämä hanskaamaan pikaisella aikataululla.

[quote author="David" time="06.10.2009 klo 23:34"]

Yhtälö oli siis muotoa e^x^a, jossa a>1. Tässä ko. tapauksessa a olisi 3. Eli integroitava funktio on muodossa e^x^3. Tuo e on tietysti luonnollinen luku eli e^1 oli jotain 2,71... jne. Eli siis neperin potenssi on muodossa x^3.

Tarve olisi oppia tämä hanskaamaan pikaisella aikataululla.

[/quote]
Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö

Re: Exponentti ja sisäfunktion integrointi.

Taisin keksiä, mutta en enää jaksa ruveta laskemaan. Voitaneen käyttää osittaisintegrointia, siten että muokataan tuo kertolaskun muotoon ja ratkaistaan edelleen osittaisintegroinnilla.

Onnistuuko sekään, en tiedä mutta jotain täytyy yrittää.

[quote author="David" time="06.10.2009 klo 23:52"]

Taisin keksiä, mutta en enää jaksa ruveta laskemaan. Voitaneen käyttää osittaisintegrointia, siten että muokataan tuo kertolaskun muotoon ja ratkaistaan edelleen osittaisintegroinnilla.

Onnistuuko sekään, en tiedä mutta jotain täytyy yrittää.

[/quote]
Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö

Re: Exponentti ja sisäfunktion integrointi.

Yhtälö oli siis muotoa e^x^a, jossa a>1. Tässä ko. tapauksessa a olisi 3. Eli integroitava funktio on muodossa e^x^3. Tuo e on tietysti luonnollinen luku eli e^1 oli jotain 2,71... jne. Eli siis neperin potenssi on muodossa x^3.

Tarve olisi oppia tämä hanskaamaan pikaisella aikataululla.

Jep, tarkoitinkin juuri sitä, että e^x = exp(x) noilla merkinnöilläni. Osittaisintegroinnilla tuo tapaus a=3 voisi ehkä onnistua.

[quote author="Stratonovich" time="06.10.2009 klo 23:52"]

[quote author="David"]Yhtälö oli siis muotoa e^x^a, jossa a>1. Tässä ko. tapauksessa a olisi 3. Eli integroitava funktio on muodossa e^x^3. Tuo e on tietysti luonnollinen luku eli e^1 oli jotain 2,71... jne. Eli siis neperin potenssi on muodossa x^3.

Tarve olisi oppia tämä hanskaamaan pikaisella aikataululla.[/quote]
Jep, tarkoitinkin juuri sitä, että e^x = exp(x) noilla merkinnöilläni. Osittaisintegroinnilla tuo tapaus a=3 voisi ehkä onnistua.

[/quote]
Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö

Re: Exponentti ja sisäfunktion integrointi.

No, onhan tuo esitettävissä gammafunktion avulla:

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=exp%28x^a%29&random=false

Ja tapauksessa a=3 tulee:

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=exp%28x^3%29&random=false

Eli hankalaksi menee. Numeerisesti integroiden tuo käyttäytyy kyllä siististi.

Linkit ei näytä siltä kuin pitää. Kopioi koko linkki selaimen osoiteriville niin toimii.

[quote author="bosoni" time="06.10.2009 klo 23:54"]

No, onhan tuo esitettävissä gammafunktion avulla:

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=exp%28x^a%29&random=false

Ja tapauksessa a=3 tulee:

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=exp%28x^3%29&random=false

Eli hankalaksi menee. Numeerisesti integroiden tuo käyttäytyy kyllä siististi.

Linkit ei näytä siltä kuin pitää. Kopioi koko linkki selaimen osoiteriville niin toimii.

[/quote]

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö

Re: Exponentti ja sisäfunktion integrointi.

No, onhan tuo esitettävissä gammafunktion avulla:

Niin ja jos tuon haluaa johtaa itse, niin sijoituksella y = -x^3 tuon sieltä saanee ulos.

[quote author="Stratonovich" time="07.10.2009 klo 00:09"]

[quote author="bosoni"]No, onhan tuo esitettävissä gammafunktion avulla:
[/quote]
Niin ja jos tuon haluaa johtaa itse, niin sijoituksella y = -x^3 tuon sieltä saanee ulos.

[/quote]
Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö

Re: Exponentti ja sisäfunktion integrointi.

No, onhan tuo esitettävissä gammafunktion avulla:

Niin ja jos tuon haluaa johtaa itse, niin sijoituksella y = -x^3 tuon sieltä saanee ulos.

Hmm...

Siis Int(e(x^3))dx ja sij. y=-x^3 siis x=-y^(1/3) ja

dy=-3x^2dx eli dx=-1/3*dy/x^2= 1/3*y^(-2/3)dy

ja saadaan laskettavaksi uusi integraali

Int(1/3*y^(-2/3)e^(-y)dy).

Kiinnostaisi kovasti kuinka tästä jatketaan. icon_mrgreen.gif

Siis muulla tavoin kuin vertaamalla suoraan Gamma-funktion määritelmään joka on itsessäänkin vain integraali.

[quote author="Gödel" time="07.10.2009 klo 16:18"]

[quote author="Stratonovich"][quote author="bosoni"]No, onhan tuo esitettävissä gammafunktion avulla:
[/quote]
Niin ja jos tuon haluaa johtaa itse, niin sijoituksella y = -x^3 tuon sieltä saanee ulos.[/quote]
Hmm...

Siis Int(e(x^3))dx ja sij. y=-x^3 siis x=-y^(1/3) ja

dy=-3x^2dx eli dx=-1/3*dy/x^2= 1/3*y^(-2/3)dy

ja saadaan laskettavaksi uusi integraali

Int(1/3*y^(-2/3)e^(-y)dy).

Kiinnostaisi kovasti kuinka tästä jatketaan. icon_mrgreen.gif

Siis muulla tavoin kuin vertaamalla suoraan Gamma-funktion määritelmään joka on itsessäänkin vain integraali.

[/quote]

[...] jos uskonto määriteltäisiin ajattelumalliksi johon sisältyy todistamattomia lauseita, niin Gödel ei ainoastaan ole osoittanut matematiikkaa uskonnoksi, vaan peräti ainoaksi uskonnoksi, joka kykenee todistamaan olevansa sellainen. [Barrow, s. 39]

Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö
Keskusteluun osallistuminen vaatii kirjautumista.