Kysymys materiaalien lujuuksista.

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Minulla on omien kokemuksieni perusteella muodostunut eräs käsitys materiaalien lujuuksista ja nyt tahtoisinkin kysyä pitääkö tämä käsitys paikkansa vai onko se vain faktoihin perustumatonta keskiaikaista harhaoppia.

Minulla on seuraavanlainen käsitys: Jos joku rakenne voidaan rakentaa pienessä mittakaavassa, sitä ei välttämättä voida rakentaa suuressa skaalassa.

Esimerkki: Rakennetaan vaikka kuparista millin korkuinen T-kirjain. Kestää hyvin. Tehdään samasta aineesta samoilla mittasuhteilla metrin korkuinen kirjain. Jollei siinä vielä ala päät taipua alaspäin, rakennetaan edelleen kymmenen metriä korkea T-kirjain umpikuparista kuten aikaisemmatkin mallit. Jossain vaiheessa tulee vastaan tilanne, jolloin sivulle päin osoittavat päät ovat niin painavat, ettei materiaali enää jaksa kannattaa niitä suorassa. Tällöin ne vääntyvät vetovoiman vaikutuksesta siitäkin huolimatta, että tangon paksuus on edelleen samassa suhteessa korkeutteen kuten aikaisemminkin.

Onko hypoteesini löysää lööperiä vai tiukkaa totuutta?

Kommentit (9)

Neutroni
Seuraa 
Viestejä23104
Liittynyt16.3.2005
Tetrafuran

Onko hypoteesini löysää lööperiä vai tiukkaa totuutta?

Totta se on. Kun kasvatat minkä tahansa kappaleen kaksinkertaiseksi, sen massa kahdeksankertaistuu, mutta rakenteiden poikkipinta-alat vain nelinkertaistuvat. Pieni on aina vahvempaa kuin suuri.

Siinä on myös se syy, miksi ei ole sen suurempia eläimiä, rakennuksia, laivoja tai ylipäätään mitään rakenteita kuin on.

Vierailija

Laskeskelin yksinkertaisen tapauksen, jossa suorakulmiopoikkileikkauksinen palkki on tuettu jäykästi toisesta päästä. Sen oman painon aiheuttama suurin normaalijännitys on:

max(σ) = (3∙ρ∙g∙L² / h)∙k

ρ = tiheys, g = vetovoimakiihtyvyys, L = pituus, h = korkeus (painovoiman suunnassa;leveys b ei vaikuta), k = vakio kerroin

(Poikkileikkauksen mittasuhteet säilyvät samoina kun jokainen sen mitta kerrotaan samalla luvulla. Tämä luku on ym. vakio kerroin k)

Edellisestä nähdään, että suorakulmiopalkin rasitus kasvaa samassa suhteessa kuin mittoja kasvatetaan. Eli kun kaikki mitat(leveys, korkeus, pituus) kerrotaan luvulla k, myös suurin normaalijännitys kerrotaan luvulla k. T-kirjaimen:n ulokkeet voidaan ajatella sivusuunnassa sellaiseksi suorakulmiopoikkileikkauksisiksi palkeiksi.

Asia ei ole kuitenkaan niin yksinkertainen jos palkilla on tarkoitus kannatella jotain kuormaa. Ainakaan itse en keksi mitään syytä minkätakia kannattaisi tehdä palkki joka vain juuri ja juuri kestää oman painonsa. Paitsi ehkä jos se on jokin taideteos.

Nimittäin jos palkin vapaassa päässä painaa voima F samaan suuntaan kun "painovoima", tulee suurimmaksi normaalijännitykseksi:

max(σ) = (3∙ρ∙g∙L² / h)∙k + (6∙F∙L / [b∙h²])∙1/k

Tässä tilanteessa myös kuormittava voima on kerrottu samalla kertoimella k. Ja b tarkoittaa poikkileikkauksen leveyttä. Nähdään että vaikka palkin omasta painosta aiheutuva rasitus kasvaa k-kertaiseksi, niin voimasta aiheutuva rasistus pienenee k-kertaisesti. Eli kaikki riippuu F:n, ρ:n, g:n, L:n, b:n ja h:n alkuperäisistä arvoista. Yleensä palkin oman painon aiheuttama rasitus on pieni verrattuna ulkoisen kurmituksen aiheuttamaan rasitukseen. Tässä tapauksessa kun kaikki mitat ja voima F kerrotaan k:lla, rasitus aluksi pienenee mitä suurempi k on. Jollain k:n arvolla kuitenkin rasitus alkaa taas kasvaa. Tämä piste on osittaisderivaatan nollakohdassa k:n suhteen eli k = neliöjuuri(2∙F / [ρ∙g∙b∙h∙L]).

Näin olen laskenut, ja virheitäkin on saattanut tulla. Mutta ihan loogiselta kuulostaa mun mielestä. Eikö?

Vierailija

Vielä esimerkki:

Halutaan tehdä julmetun iso taideteos, joka on pystyssä oleva kuparinen T-kirjain. Sitä varten tehdään aluksi pienoismalli. Pienoismallin mitat ovat seuraavat: korkeus on 11cm, leveys on 11cm, ja se tehdään 1cm x 1cm neliöpoikkileikkauksisesta kuparitangosta. T:n yläulokkeet ovat taivutuksen alaiset palkit, tarkastellaan siis palkkia jonka pituus on (11cm - 1cm)/2 =5cm ja poikkileikkaus 1cm x 1cm neliö. Nyt siis tarkastellaan pelkkää oman painon aiheuttamaa rasitusta. Pienoiskoossa se tietenkin kestää oman painonsa, siitä ei ole epäilystäkään.

Puhtaan kuparin tiheys ρ = 8930 kg/m³
Vetovoimakiihtyvyys g = 9,81 m/s²
Myötölujuus R_e = 50 MPa = 5∙10^7 N/m²
L = 5 cm = 0.05 m
h = 1 cm = 0.01 m

max(σ) = (3∙ρ∙g∙L² / h)∙k

Kun mitoitetaan T-kirjain siten, että pysyviä muodonmuutoksia ei saa tulla:

R_e = (3∙ρ∙g∙L² / h)∙k , josta ratkaistaan k:

max(k) = 5∙10^7 N/m² / 6.5702∙10^4 N/m² = 761

Taideteoksen mitat voivat siis olla korkeintaan:
Kokonaiskorkeus: 83,7m
Kokonaisleveys: 83,7m
Poikkileikkaus: 7,61m x 7,61m neliö

Teoksen tilavuus: 9254 m³
Paino: 82600000 kg = 82600 t

Melkoinen T-kirjain siis silti voidaan tehdä! Jos kokonaismitoiltaan vieläkin isompi halutaan kuparista samanmuotoisella poikkileikkauksella tehdä, täytyy mittojen suhteita muuttaa. Mutta jos otetaan poikkileikkaukseksi massaansa nähden jäykkä kotelopalkki, ja materiaaliksi jotain kevyttä ja jäykkää, käytännössä(tai siis teoriassa ) vain taivas on rajana

Vierailija

Kiitos loistavista vastauksista. Tätä tässä haettiinkin. Eli tiivistetysti kyse on siitä, että tangon poikkipinta-ala ei kasva samassa suhteessa kuin massa, jolloin jossain vaiheessa ala ei enää pysy kasvussa mukana...

Vielä kiinnostaisi, että miksi materiaalista saadaan lujempi, jos siihen porataan reikiä. Tottakai tämä keventää rakennetta, jolloin kuorma voi olla suurempi, kun kerran rakenne itsessään rasittaa itseään hieman vähemmän. Onko tässä joku toinenkin viisaus takana?

Minkälaista logiikkaa kannattaisi soveltaa, jos haluttaisiin rakentaa mahdollisimman suuri T-kirjain? Noin ilman kummempaa koulutusta luulisin, että rakenne on syytä tehdä ontoksi. Seinämät tulisi rakentaa samaan tyyliin kuin suuret teräsrakenteet kuten esim. sillat on tapana rakentaa. Semmoista kolmiorakennetta, U know. Wikipedia - Trusses Tällöin maksimikoko olisi varmaan reilusti yli tuon 80+x metriä. Colossal!

Vierailija

Niin ja jossei rahasta olisi puutetta, niin senhän voisi rakentaa hiilikuidusta tai titaanista. Kevyitä mutta kestäviä. Sittenhän aina voi tukea vaijereilla mutta se ei olisi enää reilua.

Vierailija
Tetrafuran
Vielä kiinnostaisi, että miksi materiaalista saadaan lujempi, jos siihen porataan reikiä. Tottakai tämä keventää rakennetta, jolloin kuorma voi olla suurempi, kun kerran rakenne itsessään rasittaa itseään hieman vähemmän. Onko tässä joku toinenkin viisaus takana?

Ei rakenteesta reikiä poraamalla lujempi tule. Umpiaine on lähes aina lujempaa kuin ontto tai reikäinen. Lähinnä ne poikkeukset ovat sellaisissa tilanteissa joissa jonkun terävän loven tai nurkan jännityshuippua halutaan tasoittaa tekemällä pyöristyksiä tai jopa reikiä. Lähinnä väsymislujuuden parantamisesta on tällöin kyse. Mutta palkin staattisen taivutuksen tapauksessa umpinainen palkki on aina lujempi kuin vastaava ontto tai avoin poikkileikkaus joka mahtuu umpinaisen poikkileikkauksen "sisään". Painon säästö siis saavutetaan onttoudella/onteloilla. Ideahan on siinä että poikkileikkauksen taivutukseen nähden ylä- ja alareunalla on mahdollisimman paljon tavaraa, ja keskellä vähän. Ontolla palkilla tai I-palkilla on yleensä taivutuslujuus samassa suuruusluokassa(vaikka selkeästi pienempi onkin) kuin ulkomitoiltaan vastaavalla umpinaisella palkilla, mutta se on paljon kevyempi kuin umpinainen.

Eli ei kai (mun tietääkseni) siinä mitään muuta logiikkaa ole kuin painon säästö. Eli saavutetaan paljon parempi lujuus ja jäykkyys painoon suhteutettuna.

Vierailija

Jos tuota vaijerihommaa ruvetaan käyttämään, niin minnekkäs niitä vaijereita sitten laitettaisiin?

tällälailla vai? Olisikos se kenties tuettava maahan samaan tapaan kuin ne tuhat ja yksi punavalakoista radiomastoa, mitä pitkin Suomea on ripoteltu? Niissähän nämä kaapelit lähinnä estävät notkumisen. Jos olette intissä olleet viestimiehinä, niin tiedätte heti minkämoisista naruista on kyse...

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Aiheeseen on jo vastattukin ihan oikein, mutta haluaisin ottaa esimerkin luonnosta.

Miksi hämähäkeillä ja hyönteisillä voi olla hyvin ohuet ja pitkät koivet, mutta vähänkin isommilla eläimillä on mittasuhteisiinsa nähden paljon tukevammat raajat - ja yleensä vielä varsinkin nisäkkäillä raajat ovat eläimen alla eivätkä sivulla?

Johtuu juuri siitä, että jos kaikki otuksen ulottuvuudet kasvavat samassa suhteessa kaksinkertaisiksi, raajojen poikkipinta-ala nelinkertaistuu, mutta otuksen massa kahdeksankertaistuu (jos tiheys pysyy samana). Tämä on pääsyy siihen, ettei jättiläismäisiä hämähäkkejä á la Ungoliant voi olla olemassa Maan gravitaatiokentässä - toinen syy on se, että kyseisten elikoiden hengitysjärjestelmä ilmaputkineen ei toimi riittävän hyvin, kun kokoa kasvatetaan.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Pohtija
Seuraa 
Viestejä883
Liittynyt16.3.2005

Kyllä se niin on. Kun kokoa kasvatetaan ja mittasuhteet pidetään samana, niin pituuden tullessa kaksinkertaiseksi on paino lisääntynyt 8 kertaiseksi... 10 kertainen korkeus on 1000 kertainen tilavuus. Eli tilavuus/paino kasvaa korkeus potenssiin 3 suhteella.
Siski materiaalitkin joutuvat koon kasvaessa suurempiin rasituksiin ja käymään suhteessa heikommiksi kantavuuksiltaan.
Ja sama juttu kaikkien elollisten ja niiden ominaisuuksien suhteen.

Tässä selventävä linkki aiheeseen: http://www.ftexploring.com/think/superbugs_p1.html

"Perhosten liihottelu voi näyttää epämääräiseltä haahuilulta, mutta se on harhaa. Ne tietävät tarkkaan, mitä tekevät."

Uusimmat

Suosituimmat