Radioaktiivinen hajoaminen [kouluhomma]

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tehtävänannossa sanotaan, että mulla on (227)Th-näyte, jossa on 10^6 atomia. Thoriumin puoliintumisaika tiedetään, 18.72 d ja tiedetään että Thorium hajoaa alfa-hajoamisella (223)Ra:ksi, joka hajoaa edelleen alfalla. Hetkellä t=0 näytteessä ei ole yhtään Radium-atomia. Kysytään kuinka monta kumpaakin atomia näytteessä on vartin päästä ja aikaa, jolloin kumpiakin atomeja on yhtä monta näytteessä.

Oli helppo laskea montako Thorium-atomia vartin päästä on näytteessä (sain muistaakseni n.570 000), mutta mites lasketaan Radium-atomien lukumäärä? Edellämainitusta tuloksesta nähdään kuinka monta Radium-atomia vartissa on syntynyt (10^6 - 570 000)kpl, mutta niitähän hajoaa siinä vartin aikana koko ajan. Radiumin T(1/2) tais olla 11 d.

Ensin tietysti ajattelin, että näytteessä on koko ajan se 10^6 atomia, joko thoriumia tai radiumia, mutta näinhän se ei voi mennä.

Ehdotuksia?

Kommentit (4)

Vierailija
ristiässä
Tehtävänannossa sanotaan, että mulla on (227)Th-näyte, jossa on 10^6 atomia. Thoriumin puoliintumisaika tiedetään, 18.72 d ja tiedetään että Thorium hajoaa alfa-hajoamisella (223)Ra:ksi, joka hajoaa edelleen alfalla. Hetkellä t=0 näytteessä ei ole yhtään Radium-atomia. Kysytään kuinka monta kumpaakin atomia näytteessä on vartin päästä ja aikaa, jolloin kumpiakin atomeja on yhtä monta näytteessä.

Oli helppo laskea montako Thorium-atomia vartin päästä on näytteessä (sain muistaakseni n.570 000), mutta mites lasketaan Radium-atomien lukumäärä? Edellämainitusta tuloksesta nähdään kuinka monta Radium-atomia vartissa on syntynyt (10^6 - 570 000)kpl, mutta niitähän hajoaa siinä vartin aikana koko ajan. Radiumin T(1/2) tais olla 11 d.

Ensin tietysti ajattelin, että näytteessä on koko ajan se 10^6 atomia, joko thoriumia tai radiumia, mutta näinhän se ei voi mennä.

Vaikuttaa kinkkiseltä koulutehtäväksi koska niitä radium-atomeja syntyy eksponentiaalisesti vähenevässä määrin ajan myötä. Radium-atomien hajoamisten määrä riippuu siitä kuinka paljon niitä on. Koulukaavoilla hajoamisten määrä laskettiin vakiomäärästä tietyllä alkuhetkellä.

Ehdotuksia kaivataan korkeammalta tasolta.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Vähän kinkkisempi, kuin aluksi kuvittelin.

Sehän on selvää, että Thorium hajoaa normaalisti muista aineita välittämättä, eli

dN1/dt=-μ12 N1 (1)

ja sitä toista ainetta syntyy samaa tahtia, kuin ensimmäinen hajoaa, ja se sitten hajoaa omaa tahtia verrannollisena omaan ainemääräänsä

dN2/dt=μ12 N1 - μ23 N2 (2)

ja se kolmas ainemäärä muuttuu toisen ainemäärän häviämisnopeudella. (voidaan vaikka olettaa pysyväksi, kun ei olla kiinnostuneita sen hajoamisesta)

dN3/dt=μ23 N2 (3)

Nyt käytetään näitä ehtoja:

(1): N1=Ae^(-μ12 t), A on se alkuperäinen Th:n määrä.

(1) ja (2): => dN2/dt = μ12 Ae^(-μ12 t) - μ23 N2 (4)

Edellisestä (4) homogeenisen yhtälön (eli tuo N2:sta riippumaton termi pois jätettynä) ratkaisu N2= Ce^(-μ23 t)

Täydellisen yhtälön (4) ratkaisuun yrite N2 = De^(-μ12 t) sijoitetaan ja saadaan jotain, josta ratkaistaan D vakioiden avulla lausuttuna.. (laske itse, supistelet ja pyörität vähän)

Ja kuten tunnettua, niin yleinen ratkaisu on tämän erityisratkaisun (siis tämä yrite De^(-μ12 t) ) ja Homogeenisen yhtälön ratkaisun Ce^(-μ23 t) summa.

Tuosta yleisestä ratkaisusta C:n ratkaiset ehdolla N2->0, kun t->0, ja N2 on ratkaistu.

Jos tämä oli kotitehtävä, niin tämä ratkaisu oli vähän turhan suora. Epämääräisistä neuvoista vaan tuskin irtoisi iloa, ja tuon keksiminen itse voi olla aika hankalaa, jollei jotain saman tyyppistä ole nähnyt...

Ja jos kyseessä oli lukion tehtävä, niin opettaja on vain päättänyt antaa haastetta (vai olenko epähuomiossa ajatellut asian liian vaikeasti)

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Uusimmat

Suosituimmat