Yksinkertainen tehtävä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Alunperin aioin laskea missä kohtaa sijaitsi tukipiste WTC 2:ssa, kun se kallistui sortuman alussa. Tässä tulikin onglemaa, ja huomasin etten osannut laskea edes yksinkertaisempaa versiota:

Metrin pituinen jäykkä palkki, jonka massa on 1 kg, on saranoitu toisesta päästä. Tanko on aluksi vaakatasossa. Kauanko kestää että se on keikahtanut pystysuoraan? Painopistehän on tällöin ½ m alempana kuin aluksi, ja energian säilymisen avulla voi laskea kulmanopeuden kun tiedetään kiertokulma. Kiertokulma menee siis 0 => 90 astetta.

½mgl*sin(a) = ½Jw^2, a on kiertokulma, w kulmanopeus.

tästä saadaan, että w = sqrt(mgl*sin(a)/J), joka on da/dt

t = [integraali a 0:sta 90:een]sqrt(mgl*sin(a)/J)da, mutta tuosta tulee vastaukseksi ääretön... koska alussa nopeus on nolla.

Tästä tulikin mielenkiintoinen ongelma, ja viimeyönä klo 4 aikaan päädyin tällaiseen päättelyketjuun:

* kappale on aluksi levossa
* kappaleen pyörimisenergia tulee mg*[massakeskipisteen korkeuden muutos]
* massakeskipiste pysyy paikallaan niin kauan kun nopeus on nolla
* massakeskipiste pysyy aluksi paikallaan
* koska massakeskipiste pysyy paikallaan, ei saada energiaa pyörimiseen
* kappale ei pyöri

käytännön kokeissa totesin kuitenkin, että puukappale pyörähtää alas... miten tämä nyt pitäisi laskea? Haluaisin siis tietää montako sekuntia tuohon tapahtumaan kuluu..

Kommentit (10)

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005

Laske integraali numeerisesti 90 -> 0. Tai ainakin hyvin lähelle nollaa . Oikeakin ratkaisu varmaan löytyy heilurin kaavoista.

Vierailija
msdos464
w = sqrt(mgl*sin(a)/J), joka on da/dt

t = [integraali a 0:sta 90:een]sqrt(mgl*sin(a)/J)da, mutta tuosta tulee vastaukseksi ääretön... koska alussa nopeus on nolla.


Sinulla on ilmeisesti typo, koska integroitavan funktion pitäisi olla 1/sqrt... Eihän siitä muuten ääretöntä tulisikaan.

Vähän samoja ongelmia mietti myös Zenon Elealainen, mutta mitään isoa ongelmaa ei nyt pitäisi olla. Integroitava on nollan lähistöllä oleellisesti muotoa dx/sqrt(x), joka käyttäytyy aivan säädyllisesti. Vaikka 1/sqrt(x) lähestyy äärentöntä, dx on "vielä pienempi", eikä ääretöntä integraalia siksi kerry: 1/sqrt(x):n integraali on 2sqrt(x). Koska nyt on x:n sijaan sin(a), analyyttistä ratkaisua ei taida olla, mutta numeerisen ratkaisun saa aika helposti vaikkapa approksimoimalla sin(a):ta paloittain lineaarisella funktiolla. 1/sqrt(lineaarinen funktio) käyttäytyy kiltisti. Jos oikein haluaa hienostella, niin 1/sqrt(kvadraattinen funktio) integroituu myös analyyttisesti, mutta jätän harjoitustehtäväksi...

PS. Joko sait vastauksen toisessa ketjussa esittämääsi vastushilakysymykseen? Tehtävään on hauskan helppo vastaus, mutta siitä voisi puhua omassa ketjussaan.

Vierailija
Päivystävä dosentti

Sinulla on ilmeisesti typo, koska integroitavan funktion pitäisi olla 1/sqrt... Eihän siitä muuten ääretöntä tulisikaan.



Tosiaan..

Päivystävä dosentti

PS. Joko sait vastauksen toisessa ketjussa esittämääsi vastushilakysymykseen?

Ainiin tuo. En ole saanut... enkä tiedä miten sitä voisi lähteä laskemaan.

Tuohon palkki juttuun sain laskimeen tekemälläni ohjelmalla vastauksen t = 0.484 sekuntia.. siihen pitäisi siis tähdätä.

Voisiko tuon sin(a):n korvata vaikka taylorin polynomilla? Auttaisiko se? En tiedä... miten tuon saa siis laskettua?

[integraali x 0:sta 1:teen] 1 / sqrt(x) dx taitaa olla 2? Miten tuon saa laskettua muuten kuin integroimalla 10^-10:stä 1:teen?

Vierailija

Jos vaakasuora tanko on saranoitu toisesta päästään ja vapaa pää lasketaan putoamaan alaspäin lähtee kappale mielestäni pyörähtämään saranoidun pään ympäri joten käsittääkseni kiihtyvä liike syntyy ja jos saranan kitkaaa ei humioida, on ratkaisu helpohko. momentti =painopisteen etäisyys pystysuorasta saranalinjasta, kappaleen hitausmomentti saranapäälle,kiihtyvä pyörähdysliike saranan ympäri?

Vierailija

Niin... w = sqrt(mgl*sin(a)/J) (w on kulmanopeus, a kiertokulma)

Mutta en saa sitä tuon avulla laskettua, koska alussa nopeus on nolla, joten kuluu "äärettömän" kauan että se siirtyy siitä edes radiaanin tuhannesosan eteenpäin.

Vierailija
msdos464

Ainiin tuo. En ole saanut [vastausta vastushilakysymykseen]... enkä tiedä miten sitä voisi lähteä laskemaan.

Aloita ketju niin lupaan yrittää kommentoida.
msdos464
Voisiko tuon sin(a):n korvata vaikka taylorin polynomilla? Auttaisiko se? En tiedä... miten tuon saa siis laskettua?

Voisit kokeilla sin(a):n korvaamista paloittain lineaarisella approksimaatiolla. Esimerkiksi 1-asteen pätkissä approksimaatio on varmaankin mainio.
msdos464
[integraali x 0:sta 1:teen] 1 / sqrt(x) dx taitaa olla 2? Miten tuon saa laskettua muuten kuin integroimalla 10^-10:stä 1:teen?

1/sqrt(x):n integraali on 2sqrt(x). Integraali 0:sta 1:een on siis 2sqrt(1)-2sqrt(0)=2.

Yleisemmässä tapauksessa tarvitset funktion 1/sqrt(Aa+B) integraalin. Tässä siis A ja B valitaan niin, että Aa+B on hyvä approksimaatio mgl*sin(a)/J:lle halutulla välillä. Integraali on sitten sqrt(Aa+B)/A, eli paloittain lineaarisella approksimaatiolla integraali on helppo nakki.

Paloittainen toiseen asteen approksimaatio olisi vielä tarkempi. Siihen tarvitaan oleellisesti 1/sqrt(1-x^2):n integraali joka on arc sin x.

Vierailija
1/sqrt(x):n integraali on 2sqrt(x). Integraali 0:sta 1:een on siis 2sqrt(1)-2sqrt(0)=2.



Ai sehän menee noin kätevästi.. tuo integraali on siis olemassa, vaikka funktio ei olisi määritelty pisteessä x=0? Taitaa se olla..

Voisit kokeilla sin(a):n korvaamista paloittain lineaarisella approksimaatiolla. Esimerkiksi 1-asteen pätkissä approksimaatio on varmaankin mainio.



Ööh.. tarkoitatko, että korvaan sin(a):n siten, että esim. välillä 0 - 0.1 se on A_1*a+B_1, 0.1 - 0.2 se olisi A_2*a+B_2 jne?

Hmm...

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

Integrate[1/Sqrt[(m*g*l*Sin[x])/J], x] =

(-2*EllipticF[(Pi - 2*x)/4, 2]*Sqrt[Sin[x]])/Sqrt[(g*l*m*Sin[x])/J]

Ööh... tuo "EllipticF" lienee tämä:http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html

Tulipa monimutkaista... vaikka itse alkuongelma on sangen yksinkertainen.

Vierailija

Kylläkyllä.

Eli t = ∫(sqrt(mgl*sin(a)/J))ˉ¹da = sqrt(mgl/J)ˉ¹ * ∫sqrt(sin(a))ˉ¹da

Suoran tasapaksun sauvan hitausmomentti J on ⅓ml² sauvan toisen pään suhteen.

m,g,l ovat vakioita:

Tällöin t = sqrt(3g/l)ˉ¹ * ∫sqrt(sin(a)ˉ¹)da

Jos tarkastellaan esim. hetkeä kun kulma a = 0,1(radiaaneina <- TÄRKEÄ), niin jo vaivaisella 1,666‰:n (promillen) virheellä sin(a) = a. Eli kun a -> 0, niin sin(a) -> a.

Ja

Päivystävä dosentti
1/sqrt(x):n integraali on 2sqrt(x)

Siis kun a on pieni:

t = sqrt(3g/l)ˉ¹ * ∫sqrt(a)ˉ¹da
eli
t = sqrt(3g/l)ˉ¹ * 2sqrt(a) , kun a(rad) = 0..a (pieni)

Eli hetkellä t=0 myös a=0.

Kun a = 0,1(rad), niin ylläolevan mukaan t = 0,11658s (käytetty g=9,81m/s^2, l = 1m)

Tarkan yhtälön mukaan numeerisesti ratkaistuna t = 0,11660s samassa kohtaa. Myös tarkan yhtälön mukaan t = 0,36673s kun integroidaan a = 0,1..Pi/2. Tarkaksi kokonaisheilahdusajaksi vaakasuunnasta pystysuuntaan tulee siis 0,11660s + 0,36673s = 0,48333s

0,1 rad vastaa noin 5,73° (noh, ainakin itseni on se helpompi hahmottaa asteita) eli ihan infinitesimaalisesta kulmasta ei kuitenkaan ole kysymys. Virhe kuluneessa ajassa on kyseisellä kulmalla vain 0,17‰ (promillea). Kun a lähestyy nollaa, niin t lähestyy vielä huomattavasti nopeammin kohti tarkkaa tulosta. Eli juuri ennen nollaa t on täsmälleen tarkka. Ja se tarkka tulos on nimenoman nolla. Sillä sin(0) = 0, ja 0 = 0. Eli t=0 kun a=0 ihan laskennallisestikin.

Tämä selitys oli vain sen näennäisen "äärettömyyden" takia (joka on vain harhaa). En usko, että tarkkaa yhtälöä kuitenkaan voi integroida analyyttisesti, vaikka siitä määrittelemättömyydestä päästiinkin.

Volitans
Seuraa 
Viestejä10670
Liittynyt16.3.2005
msdos464
Alunperin aioin laskea missä kohtaa sijaitsi tukipiste WTC 2:ssa, kun se kallistui sortuman alussa. Tässä tulikin onglemaa, ja huomasin etten osannut laskea edes yksinkertaisempaa versiota
...

Sitten kun tuo yksinkertaisempi mallinnus on hanskassa, niin voitkin siirtyä FEM:iin ja arvioida WTC:n tukirakenteiden käyttäytymistä tarkemmin. Tuonhan jo kuitenkin joku oli tehnytkin.

Vierailija
Volitans
msdos464
Alunperin aioin laskea missä kohtaa sijaitsi tukipiste WTC 2:ssa, kun se kallistui sortuman alussa. Tässä tulikin onglemaa, ja huomasin etten osannut laskea edes yksinkertaisempaa versiota
...



Sitten kun tuo yksinkertaisempi mallinnus on hanskassa, niin voitkin siirtyä FEM:iin ja arvioida WTC:n tukirakenteiden käyttäytymistä tarkemmin. Tuonhan jo kuitenkin joku oli tehnytkin.

Oikeastaan tuon tukipisteen sijainti onnistuisi ilman integrointiakin... videosta täytyy vain määritellä kulmakiihtyvyys ja tornin kiertokulma, voima on tietysti mg ja mgr = Ja

Uusimmat

Suosituimmat