toisen asteen yhtälöt

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Miten niitä voi helposti oppia laskemaan antakaa esimerkkei ja vinkkei?

JA EN OLE TROLLI, KIITÄN ETUKÄÄTEN HYVISTÄ VASTAUKSISTANNE!

Kommentit (14)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Eikös nollakohtien ratkaisuun löydy suora kaava MAOLista? Mitä muuta niille haluaisit tehdä?

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
Vinttu
Hehe. Nämä asiat opetetaan kyllä jo kahdeksannella luokallakin.

Itse olin yläasteella luma-luokalla (oli hieman normaalia enemmän matikkaa) eikä kyllä opetettu.

2. asteen yhtälö muodosta ax²+bx+c=0 ratkeaa seuraavasti:
[code:3rz8p63p]
-b +/- sqrt(b^2-4*a*c)
x= -----------------------------
2a
[/code:3rz8p63p]

Vierailija

Onko nämä oikein?

Ratkaise yhtälö:

x^2 = 2
(√2)^2 = 2

Vastaus: x = +-√2

x^2 =36

Vastaus: x = +-6

x^2 = -18
(√-18 )^2 = 18

Vastaus: x = +-√18

x^2 = 1/9

Vastaus: x = +-1/3

- eli nämä on murtolukuja ja ykkönen on osoittaja

Ja miten näihin murtoluku juttuihin pitäisi, kokeissa helposti ratkaisu päätellä tai laskea?

.....................................................................................................

Miten tämä heikin juttu on ymmärrettävissä tällaiselle toopelle?

joo olen kasiluokkalainen...

Vierailija

Noh:

a∙x² + b∙x + c = 0 ││∙a

→a²∙x² + a∙b∙x + a∙c = 0 ││∙4

→4∙a²∙x² + 4∙a∙b∙x + 4∙a∙c = 0

→4∙a²∙x² + 4∙a∙b∙x = -4∙a∙c ││+b²

→4∙a²∙x² + 4∙a∙b∙x + b² = -4∙a∙c +b² ││ (f-g)² = f² - 2∙f∙g + g²

→(2∙a∙x + b)² = b² - 4∙a∙c ||√

x = toisen asteen yhtälön ratkaisukaava (minkä heikki kirjoitti)

Opettele ulkoa se kaava.

EDIT: ratkaisusi ovat oikein paitsi kohta x^2 = -18. Sillä ei ole ratkaisua sellaisissa lukujoukoissa joita sinulle on opetettu.

Vierailija
nuclear

Miten tämä heikin juttu on ymmärrettävissä tällaiselle toopelle?

Luultavasti kaipaat käyttöesimerkkiä etkä kaavan todistusta, jonka boner juuri antoi.

Esimerkki: Ratkaise yhtälö 3x^2+2x=5
3x^2 + 2x = 5 || -5
3x^2 + 2x - 5 = 0

Ratkaisukaavalla (a=3, b=2 ja c=-5):
[code:2dhssjvs]
-2 +- sqrt(2^2 - 4*3*(-5)
x = -------------------------------
2*3

-2 +- sqrt(64)
x = --------------------
6

-2 +- 8
x = -----------
6

-2+8 -2-8
x = -------- tai x = ------
6 6

x = 1 tai x = -5/3
[/code:2dhssjvs]

sqrt(a) on siis neliöjuuri luvusta a.

Vierailija

Hmm... Voi olla että toisen asteen ratkaisukaavan opettaminen 8-luokkalaiselle ei ole kovin järkevää, kun eikös kasilla vasta aloitella yhtälölaskuja?

Vierailija
Lex
Hmm... Voi olla että toisen asteen ratkaisukaavan opettaminen 8-luokkalaiselle ei ole kovin järkevää, kun eikös kasilla vasta aloitella yhtälölaskuja?

Ollessani 8-luokalla 1980-luvun alussa silloin ainakin opetettiin
toisen asteen yhtälön ratkaiseminen ratkaisukaavan avulla.

Itse olin jo silloin kiinnostunut 3:n ja 4:n asteen yhtälöistä.
Joista opettajalta välillä vähän kyselinkin aina kun kehtasin.

Täytyy ottaa huomioon että silloin ei ollut Wolframin netti sivuja
eikä käytännössä tietokoneitakaan tai ainakaan internettiä.

Yhtälöiden kaavat löytyivät kyllä fakta tietosanakirjasta lyhyesti
ja ytimekkäästi ilmaistuna mutta kaavojen johtamisesta olin
kovin kiinnostunut.

No asiaan:

Tuolla sivulla on ainakin apuja.

http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/yhtalot/yhtal02.htm

Ja Wolffi sitten setvii asiaa oikeen perusteellisesti ja huolella.

http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html

ps.Onko tosiaan niin ettei enään kuulu kasi luokan matikkaan
toisen asteen ekvatsiooni?
Tätä menoa siirtyvät vissiin korkea-asteen opintoihin
parinkymmenen vuoden sisällä!
Voi aikoja voi tapoja!

asdf
Seuraa 
Viestejä10414
Liittynyt16.3.2005

En ole opiskellut matematiikkaa lukion jälkeen, mutta tämä on jäänyt loppuelämäkseni päähäni: Miinus Bee, plus/miinus neliöjuuri Bee toiseen miinus neljä AaCee per kaks Aa.

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005
nuclear
Onko nämä oikein?

Ratkaise yhtälö:

x^2 = 2

x^2 =36

x^2 = -18

x^2 = 1/9

joo olen kasiluokkalainen...




Ainakaan minulle ei vielä kasiluokalla opetettu mitään yleisestä toisen asteen yhtälöiden ratkaisusta, ja noiden tehtävien perusteella näyttää siltä, ettei se ole tarkoituksena teilläkään.

Yleisessä muodossa toisen asteen yhtälö kuuluu

ax^2 + bx + c = 0

ja funktiomuodossa

f(x) = ax^2 + bx + c

Kasiluokalla käsitellään (ainakin meillä käsiteltiin) yhtälön erikoistapauksia, joissa yhtälön termi b = 0. Tällöin yhtälöksi muodostuu

ax^2 + c = 0

joka saadaan (välivaiheet näkyvissä) muotoon

ax^2 = -c

x^2 = -c / a

Sitten voidaan merkitä vaikka -c / a = R (reaaliluku)

ja tästä huomataan, että kaikki nuo esimerkkitehtävät on esitetty tässä muodossa. Tämä yhtälöhän ratkeaa samalla tavalla kuin kaikki muutkin yhtälöt.

Potenssin käänteisfunktio on juuri (tai murtopotenssi, jos niin halutaan sanoa...), eli neliön käänteisfunktio on neliöjuuri. Homma menee siis näin:

x^2 = R | sqrt (...) eli neliöidään yhtälön molemmat puolet;

sqrt(x^2) = sqrt (R)

tällöin yksinkertaisesti yhtälön vasemmalle puolelle jää

+- x = sqrt (R).

Tämä toimii kaikissa niissä toisen asteen yhtälön erikoistapauksissa, joissa termi b (tarkemmin sanottuna yhtälön ensimmäisen asteen termin kerroin) on nolla.

Mikäli muistan oikein, niin jos yhtälö ei tuohon aikaan ollut tätä muotoa, niin riitti että kirjoitti "ei ratkaisua"...

Mutta tosiaan jo moneen kertaan esitetty toisen yhtälön ratkaisukaava

x=-b +- sqrt(b^2-4ac) / 2a

ratkaisee x:n reaalijuuret kun yhtälö on yleistä muotoa

ax^2 + bx + c = 0.

x^2 = -18
(√-18 )^2 = 18

Vastaus: x = +-√18

Tämä vaatii erikoismaininnan. Negatiivisesta luvusta ei saa (sellaisenaan) ottaa neliöjuurta. Toisin sanottuna tuolle yhtälölle ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Ratkaisu kuitenkin löytyy imaginäärilukujen joukossa, joita... tuota noin, ei opeteta yleensä kahdeksasluokkalaisille, mutta pääperiaate on se, että oletetaan olevaksi luku i, jolla on seuraava ominaisuus:

i^2 = -1

Tämä luku, i, tunnetaan nimellä imaginääriyksikkö... ja imaginääriluku on yleistä muotoa

z=a+bi , a, b € R, i^2 = -1

Tällöin yhtälö voidaan ratkaista imaginäärilukujen joukossa... Tällainen erikoistapaus ratkeaa vieläpä verraten helposti, kun tiedetään että i^2 = -1:

x^2 = -18

x^2 = 18 * (-1)

x^2 = 18*i^2

Sitten voidaan tämän näppärän tempun avulla neliöidä laillisesti yhtälön molemmat puolet.

+-x = i * sqrt (18 )

eli tarkkana lukuna ratkaisu yhtälölle on kaksi täysin imaginääristä lukua, plus ja miinus neliöjuuri 18:sta kertaa i. Ratkaisuilla ei ole lainkan reaaliosaa.

Yleisesti jos yhtälön diskriminantti on pienempi kuin nolla eli

b^2 - 4*ac < 0,

toisen asteen yhtälölle löytyy ratkaisut imaginäärilukujen joukosta kaavan

x = -b +- i*sqrt(-[b^2 - 4*ac]) / 2a mukaan.

...Jos nämä menevät vähän yli hilseen, niin voin lohduttaa että kasiluokalla näitä ei vielä vaadita, mutta kysyvälle pitää vastata.

Kasiluokalla riittää, kun vastaat tällaiseen tapaukseen, että "yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuja".

EDIT: Hymiö korjattu erilliseksi kahdeksikoksi ja sulkumerkiksi...

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Vierailija

Ei kyllä meillekään toisen asteen yhtälöä ennen lukiota opetettu. Yläasteella tuli kyllä laskuja esim. x^2=2, mutta ei esim. x^2+x=32. Ne tulivat vasta lukiossa.

Uusimmat

Suosituimmat