Kemia, fysiikka ja matematiikka: Todennäköisyyslaskenta: jatkuva tasajakauma?

Todennäköisyyslaskenta: jatkuva tasajakauma?

Terve

On tullut pohdittua tällaista tehtävää:

Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.

[quote author="Arska_L" time="06.06.2011 klo 18:32"]

Terve

On tullut pohdittua tällaista tehtävää:

Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.

[/quote]

Re: Todennäköisyyslaskenta: jatkuva tasajakauma?

Terve

On tullut pohdittua tällaista tehtävää:

Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.

Jaetaan jokainen vesilitra (n+1):een yhtä suureen osaan. Tällöin yhdessä osassa ei keskimäärin ole bakteeria. k:n litran näytteeseein tarvitaan tällaisia osia k*(n+1) kappaletta. Jokainen näistä osista on bakteeriton tn:llä 1/(n+1)^k*(n+1), joten k:n määrittämiseksi saadaan ehto 1-1/(n+1)^k*(n+1)>= 0,99

[quote author="PPo" time="07.06.2011 klo 04:43"]

[quote author="Arska_L"]Terve

On tullut pohdittua tällaista tehtävää:

Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.[/quote]
Jaetaan jokainen vesilitra (n+1):een yhtä suureen osaan. Tällöin yhdessä osassa ei keskimäärin ole bakteeria. k:n litran näytteeseein tarvitaan tällaisia osia k*(n+1) kappaletta. Jokainen näistä osista on bakteeriton tn:llä 1/(n+1)^k*(n+1), joten k:n määrittämiseksi saadaan ehto 1-1/(n+1)^k*(n+1)>= 0,99

[/quote]
Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö

Re: Todennäköisyyslaskenta: jatkuva tasajakauma?

Terve

On tullut pohdittua tällaista tehtävää:

Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.

Jaetaan jokainen vesilitra (n+1):een yhtä suureen osaan. Tällöin yhdessä osassa ei keskimäärin ole bakteeria. k:n litran näytteeseein tarvitaan tällaisia osia k*(n+1) kappaletta. Jokainen näistä osista on bakteeriton tn:llä 1/(n+1)^k*(n+1), joten k:n määrittämiseksi saadaan ehto 1-1/(n+1)^k*(n+1)>= 0,99

Otetaan nyt yhden litran näyte, siis k = 1. Kaavasi mukaan tn, että jokainen sen (n+1):stä osasta on bakteeriton, on 1/(n+1)^k * (n+1) = 1/(n+1) * (n+1) = 1.

Litrassa on kuitenkin keskimäärin n bakteeria!

Miettisitkö asioita vähän huolellisemmin tai kirjoittaisit huolellisemmin kun vastaat kysyjille?

Ohman

[quote author="Ohman" time="12.06.2011 klo 12:06"]

[quote author="PPo"][quote author="Arska_L"]Terve

On tullut pohdittua tällaista tehtävää:

Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.[/quote]
Jaetaan jokainen vesilitra (n+1):een yhtä suureen osaan. Tällöin yhdessä osassa ei keskimäärin ole bakteeria. k:n litran näytteeseein tarvitaan tällaisia osia k*(n+1) kappaletta. Jokainen näistä osista on bakteeriton tn:llä 1/(n+1)^k*(n+1), joten k:n määrittämiseksi saadaan ehto 1-1/(n+1)^k*(n+1)>= 0,99[/quote]
Otetaan nyt yhden litran näyte, siis k = 1. Kaavasi mukaan tn, että jokainen sen (n+1):stä osasta on bakteeriton, on 1/(n+1)^k * (n+1) = 1/(n+1) * (n+1) = 1.

Litrassa on kuitenkin keskimäärin n bakteeria!

Miettisitkö asioita vähän huolellisemmin tai kirjoittaisit huolellisemmin kun vastaat kysyjille?

Ohman

[/quote]
Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö

Re: Todennäköisyyslaskenta: jatkuva tasajakauma?

Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.

Täydellisesti sekoittunut lukumäärä jotain ei tarkoita tasajakaumaa (koska n ei ole ääretön), vaan sitä, että määrä missä tahansa näytteessä on Poisson-jakautunut. Yhdessä litrassa lukumäärän jakauma on tällöin Poisson(x|n) = n^x exp(-n) / x! ja k litrassa niitä on Poisson(x|nk). "Ainakin yksi" tarkoittaa, että "ei nolla", jolloin ratkaistavana on

1-Poisson(x=0|nk) >= 0.99

eli

1 - (nk)^0 exp(-nk) / 0! >= 0.99

josta saadaan

k >= -ln(0.01) / n

edit: merkkivirhe

[quote author="Stratonovich" time="12.06.2011 klo 13:29"]

[quote author="Arska_L"]Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.[/quote]
Täydellisesti sekoittunut lukumäärä jotain ei tarkoita tasajakaumaa (koska n ei ole ääretön), vaan sitä, että määrä missä tahansa näytteessä on Poisson-jakautunut. Yhdessä litrassa lukumäärän jakauma on tällöin Poisson(x|n) = n^x exp(-n) / x! ja k litrassa niitä on Poisson(x|nk). "Ainakin yksi" tarkoittaa, että "ei nolla", jolloin ratkaistavana on

1-Poisson(x=0|nk) >= 0.99

eli

1 - (nk)^0 exp(-nk) / 0! >= 0.99

josta saadaan

k >= -ln(0.01) / n

edit: merkkivirhe

[/quote]
Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö

Re: Todennäköisyyslaskenta: jatkuva tasajakauma?

Terve

On tullut pohdittua tällaista tehtävää:

Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.

Jaetaan jokainen vesilitra (n+1):een yhtä suureen osaan. Tällöin yhdessä osassa ei keskimäärin ole bakteeria. k:n litran näytteeseein tarvitaan tällaisia osia k*(n+1) kappaletta. Jokainen näistä osista on bakteeriton tn:llä 1/(n+1)^k*(n+1), joten k:n määrittämiseksi saadaan ehto 1-1/(n+1)^k*(n+1)>= 0,99

Otetaan nyt yhden litran näyte, siis k = 1. Kaavasi mukaan tn, että jokainen sen (n+1):stä osasta on bakteeriton, on 1/(n+1)^k * (n+1) = 1/(n+1) * (n+1) = 1.

Litrassa on kuitenkin keskimäärin n bakteeria!

Miettisitkö asioita vähän huolellisemmin tai kirjoittaisit huolellisemmin kun vastaat kysyjille?

Ohman

Anteeksi. Puuttui sulut. po 1-(1/(n+1))^k*(n+1) icon_redface.gif
Ehdoksi saadaan, että k >= -lg0,01/((n+1)*lg(n+1))

[quote author="PPo" time="12.06.2011 klo 14:45"]

[quote author="Ohman"][quote author="PPo"][quote author="Arska_L"]Terve

On tullut pohdittua tällaista tehtävää:

Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.[/quote]
Jaetaan jokainen vesilitra (n+1):een yhtä suureen osaan. Tällöin yhdessä osassa ei keskimäärin ole bakteeria. k:n litran näytteeseein tarvitaan tällaisia osia k*(n+1) kappaletta. Jokainen näistä osista on bakteeriton tn:llä 1/(n+1)^k*(n+1), joten k:n määrittämiseksi saadaan ehto 1-1/(n+1)^k*(n+1)>= 0,99[/quote]
Otetaan nyt yhden litran näyte, siis k = 1. Kaavasi mukaan tn, että jokainen sen (n+1):stä osasta on bakteeriton, on 1/(n+1)^k * (n+1) = 1/(n+1) * (n+1) = 1.

Litrassa on kuitenkin keskimäärin n bakteeria!

Miettisitkö asioita vähän huolellisemmin tai kirjoittaisit huolellisemmin kun vastaat kysyjille?

Ohman[/quote]
Anteeksi. Puuttui sulut. po 1-(1/(n+1))^k*(n+1) icon_redface.gif
Ehdoksi saadaan, että k >= -lg0,01/((n+1)*lg(n+1))

[/quote]
Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö

Re: Todennäköisyyslaskenta: jatkuva tasajakauma?

Jaetaan jokainen vesilitra (n+1):een yhtä suureen osaan. Tällöin yhdessä osassa ei keskimäärin ole bakteeria. k:n litran näytteeseein tarvitaan tällaisia osia k*(n+1) kappaletta. Jokainen näistä osista on bakteeriton tn:llä 1/(n+1)^k*(n+1), joten k:n määrittämiseksi saadaan ehto 1-1/(n+1)^k*(n+1)>= 0,99

Mitähän mahtaa tarkoittaa, että "yhdessä osassa ei keskimäärin ole bakteeria"? Ei tämän ihan väärin ole, mutta tuskin kokeessa saisi kovin paljon pisteitä (sulkujen korjauksen jälkeenkään).

[quote author="Stratonovich" time="12.06.2011 klo 15:27"]

[quote author="PPo"]Jaetaan jokainen vesilitra (n+1):een yhtä suureen osaan. Tällöin yhdessä osassa ei keskimäärin ole bakteeria. k:n litran näytteeseein tarvitaan tällaisia osia k*(n+1) kappaletta. Jokainen näistä osista on bakteeriton tn:llä 1/(n+1)^k*(n+1), joten k:n määrittämiseksi saadaan ehto 1-1/(n+1)^k*(n+1)>= 0,99[/quote]
Mitähän mahtaa tarkoittaa, että "yhdessä osassa ei keskimäärin ole bakteeria"? Ei tämän ihan väärin ole, mutta tuskin kokeessa saisi kovin paljon pisteitä (sulkujen korjauksen jälkeenkään).

[/quote]
Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö

Re: Todennäköisyyslaskenta: jatkuva tasajakauma?


Täydellisesti sekoittunut lukumäärä jotain ei tarkoita tasajakaumaa (koska n ei ole ääretön), vaan sitä, että määrä missä tahansa näytteessä on Poisson-jakautunut. Yhdessä litrassa lukumäärän jakauma on tällöin Poisson(x|n) = n^x exp(-n) / x! ja k litrassa niitä on Poisson(x|nk).

Johtopäätöksesi ei pitäne paikkaansa. Jos k= 0,1/n litraa , niin tarkastellaan tilavuutta, jossa bakterien lukumäärä on keskimäärin 0,1. Tähän Pissonin soveltaminen esittämälläsi tavalla johtanee harhateille.
Oma ratkaisuni lähti siitä, unohdetaan sana " keskimäärin" toviksi. Litrassa on n bakteeria tasaisesti jakaantuneena. Jos litra jaetaan (n+1):een yhtä suureen osaan, niin yhteen ei bakteereita riitä. . Kootaan k:n litran näyte toistokokeenna, jossa toistojen määrä on k*(n+1) ja tapauksen ( valittu tilavuus on bakteeriton) todennäköisyyten yksittäisessä kokeessa on 1/(n+1)
PS:
Uskoisin, että ratkaisuni kokeessa ( silloin olisin ollut tarkka ja sulkeet olisivat paikoillaan) olisi tuottanut enemmän pisteitä kuin sinun esittämäsi.

[quote author="PPo" time="12.06.2011 klo 20:34"]

[quote author="Stratonovich"]
Täydellisesti sekoittunut lukumäärä jotain ei tarkoita tasajakaumaa (koska n ei ole ääretön), vaan sitä, että määrä missä tahansa näytteessä on Poisson-jakautunut. Yhdessä litrassa lukumäärän jakauma on tällöin Poisson(x|n) = n^x exp(-n) / x! ja k litrassa niitä on Poisson(x|nk). [/quote]
Johtopäätöksesi ei pitäne paikkaansa. Jos k= 0,1/n litraa , niin tarkastellaan tilavuutta, jossa bakterien lukumäärä on keskimäärin 0,1. Tähän Pissonin soveltaminen esittämälläsi tavalla johtanee harhateille.
Oma ratkaisuni lähti siitä, unohdetaan sana " keskimäärin" toviksi. Litrassa on n bakteeria tasaisesti jakaantuneena. Jos litra jaetaan (n+1):een yhtä suureen osaan, niin yhteen ei bakteereita riitä. . Kootaan k:n litran näyte toistokokeenna, jossa toistojen määrä on k*(n+1) ja tapauksen ( valittu tilavuus on bakteeriton) todennäköisyyten yksittäisessä kokeessa on 1/(n+1)
PS:
Uskoisin, että ratkaisuni kokeessa ( silloin olisin ollut tarkka ja sulkeet olisivat paikoillaan) olisi tuottanut enemmän pisteitä kuin sinun esittämäsi.

[/quote]
Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö

Re: Todennäköisyyslaskenta: jatkuva tasajakauma?

Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.

Täydellisesti sekoittunut lukumäärä jotain ei tarkoita tasajakaumaa (koska n ei ole ääretön), vaan sitä, että määrä missä tahansa näytteessä on Poisson-jakautunut. Yhdessä litrassa lukumäärän jakauma on tällöin Poisson(x|n) = n^x exp(-n) / x! ja k litrassa niitä on Poisson(x|nk). "Ainakin yksi" tarkoittaa, että "ei nolla", jolloin ratkaistavana on

1-Poisson(x=0|nk) >= 0.99

eli

1 - (nk)^0 exp(-nk) / 0! >= 0.99

josta saadaan

k >= -ln(0.01) / n

edit: merkkivirhe

Sait tuloksen, että k >= -ln(0.01) / n

Olkoon meillä uima-allas,jonka mitat ovat 25m x 20m x 2m, se sisältää siis 10^6 l vettä. Olkoon vesi niin puhdasta,että tässä määrässä on vain 1 bakteeri, eli n = 10^ (-6). Kun - ln(0,01) = 4.6, saadaan tästä, että on otettava näytettä vähintään 4.6 x 10^6 l. Tämä ylittää uima-altaan veden määrän lähes viisinkertaisesti! Kuitenkin on varmaa, tn = 1, että jo miljoonan litran otos eli koko uima-altaan vesimäärä, sisältää tuon yhden bakteerin.

Ratkaisusi on niin sanottua humpuukia.

Ohman

[quote author="Ohman" time="13.06.2011 klo 11:27"]

[quote author="Stratonovich"][quote author="Arska_L"]Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.[/quote]
Täydellisesti sekoittunut lukumäärä jotain ei tarkoita tasajakaumaa (koska n ei ole ääretön), vaan sitä, että määrä missä tahansa näytteessä on Poisson-jakautunut. Yhdessä litrassa lukumäärän jakauma on tällöin Poisson(x|n) = n^x exp(-n) / x! ja k litrassa niitä on Poisson(x|nk). "Ainakin yksi" tarkoittaa, että "ei nolla", jolloin ratkaistavana on

1-Poisson(x=0|nk) >= 0.99

eli

1 - (nk)^0 exp(-nk) / 0! >= 0.99

josta saadaan

k >= -ln(0.01) / n

edit: merkkivirhe[/quote]
Sait tuloksen, että k >= -ln(0.01) / n

Olkoon meillä uima-allas,jonka mitat ovat 25m x 20m x 2m, se sisältää siis 10^6 l vettä. Olkoon vesi niin puhdasta,että tässä määrässä on vain 1 bakteeri, eli n = 10^ (-6). Kun - ln(0,01) = 4.6, saadaan tästä, että on otettava näytettä vähintään 4.6 x 10^6 l. Tämä ylittää uima-altaan veden määrän lähes viisinkertaisesti! Kuitenkin on varmaa, tn = 1, että jo miljoonan litran otos eli koko uima-altaan vesimäärä, sisältää tuon yhden bakteerin.

Ratkaisusi on niin sanottua humpuukia.

Ohman

[/quote]
Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö

Re: Todennäköisyyslaskenta: jatkuva tasajakauma?

Otetaan nyt yhden litran näyte, siis k = 1. Kaavasi mukaan tn, että jokainen sen (n+1):stä osasta on bakteeriton, on 1/(n+1)^k * (n+1) = 1/(n+1) * (n+1) = 1.

Litrassa on kuitenkin keskimäärin n bakteeria!

Miettisitkö asioita vähän huolellisemmin tai kirjoittaisit huolellisemmin kun vastaat kysyjille?

Ohman[/quote]
Anteeksi. Puuttui sulut. po 1-(1/(n+1))^k*(n+1) icon_redface.gif
Ehdoksi saadaan, että k >= -lg0,01/((n+1)*lg(n+1))[/quote]
Liekö sulkusi vieläkään kohdallaan? Entä ajatuksesi?

1 - (1/ (n+1))^k * (n+1) = 1 - (1/(n+1))^(k-1) eikä tästä seuraa antamasi uusi ehto.

Enpä taida viitsiä enää kommentoida seuraavaa kyhäystäsi!

Ohman

[quote author="Ohman" time="13.06.2011 klo 11:49"]

Otetaan nyt yhden litran näyte, siis k = 1. Kaavasi mukaan tn, että jokainen sen (n+1):stä osasta on bakteeriton, on 1/(n+1)^k * (n+1) = 1/(n+1) * (n+1) = 1.

Litrassa on kuitenkin keskimäärin n bakteeria!

Miettisitkö asioita vähän huolellisemmin tai kirjoittaisit huolellisemmin kun vastaat kysyjille?

Ohman[/quote]
Anteeksi. Puuttui sulut. po 1-(1/(n+1))^k*(n+1) icon_redface.gif
Ehdoksi saadaan, että k >= -lg0,01/((n+1)*lg(n+1))[/quote]
Liekö sulkusi vieläkään kohdallaan? Entä ajatuksesi?

1 - (1/ (n+1))^k * (n+1) = 1 - (1/(n+1))^(k-1) eikä tästä seuraa antamasi uusi ehto.

Enpä taida viitsiä enää kommentoida seuraavaa kyhäystäsi!

Ohman

[/quote]
Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö

Re: Todennäköisyyslaskenta: jatkuva tasajakauma?

Eikös tuo Poisson-jakauma ole kuitenkin tehtävänannon kannalta paras lähestymistapa, kun tehtävässä oletetaan suuri määrä bakteereita, kuten jo Stratonovich esitti.

Vaihtoehtoisista lähestymistavoista tulee mieleen lähinnä binomijakauman käyttö. Yhdelle bakteerille todennäköisyys p päätyä näytteeseen on näytteen tilavuuden v suhde altaan tilavuuteen V, siis p = v/V. Jos tunnetaisiin bakteerien kokonaislukumäärä N altaassa ja altaan tilavuus V, saataisiin tulos jonka mukaan näytteen bakteerien lukumäärä X noudattaa binomijakaumaa X - Bin(N,p), kun näytteen koko v on annettu.

Kuitenkaan ei tunneta bakteerien lukumäärää N eikä altaan tilavuutta V, eikä siis myöskään todennäköisyyttä p. Tehtävänannon perusteella tunnetaan kuitenkin pN = n, kun näytteen koko on 1 litra Nyt voidaan käyttää binomijakauman approksimaatiota B(N,p) - > Poisson(Np), kun N - > oo, kun Np = vakio = n. Siis saatu jakauma litran näytteelle olisi Poisson(n), kuten jo Stratonovich kirjoitti. Jos näytteen koko on k litraa noudattaa bakteerien lkm jakaumaa Poisson(nk).

[quote author="Spanish Inquisitor" time="13.06.2011 klo 13:13"]

Eikös tuo Poisson-jakauma ole kuitenkin tehtävänannon kannalta paras lähestymistapa, kun tehtävässä oletetaan suuri määrä bakteereita, kuten jo Stratonovich esitti.

Vaihtoehtoisista lähestymistavoista tulee mieleen lähinnä binomijakauman käyttö. Yhdelle bakteerille todennäköisyys p päätyä näytteeseen on näytteen tilavuuden v suhde altaan tilavuuteen V, siis p = v/V. Jos tunnetaisiin bakteerien kokonaislukumäärä N altaassa ja altaan tilavuus V, saataisiin tulos jonka mukaan näytteen bakteerien lukumäärä X noudattaa binomijakaumaa X - Bin(N,p), kun näytteen koko v on annettu.

Kuitenkaan ei tunneta bakteerien lukumäärää N eikä altaan tilavuutta V, eikä siis myöskään todennäköisyyttä p. Tehtävänannon perusteella tunnetaan kuitenkin pN = n, kun näytteen koko on 1 litra Nyt voidaan käyttää binomijakauman approksimaatiota B(N,p) - > Poisson(Np), kun N - > oo, kun Np = vakio = n. Siis saatu jakauma litran näytteelle olisi Poisson(n), kuten jo Stratonovich kirjoitti. Jos näytteen koko on k litraa noudattaa bakteerien lkm jakaumaa Poisson(nk).

[/quote]

Monty Python - Spanish Inquisition Part I (http://www.youtube.com/watch?v=3ZQI0Xm29To)

Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö

Re: Todennäköisyyslaskenta: jatkuva tasajakauma?


Täydellisesti sekoittunut lukumäärä jotain ei tarkoita tasajakaumaa (koska n ei ole ääretön), vaan sitä, että määrä missä tahansa näytteessä on Poisson-jakautunut. Yhdessä litrassa lukumäärän jakauma on tällöin Poisson(x|n) = n^x exp(-n) / x! ja k litrassa niitä on Poisson(x|nk).

Johtopäätöksesi ei pitäne paikkaansa. Jos k= 0,1/n litraa , niin tarkastellaan tilavuutta, jossa bakterien lukumäärä on keskimäärin 0,1. Tähän Pissonin soveltaminen esittämälläsi tavalla johtanee harhateille.
Oma ratkaisuni lähti siitä, unohdetaan sana " keskimäärin" toviksi. Litrassa on n bakteeria tasaisesti jakaantuneena. Jos litra jaetaan (n+1):een yhtä suureen osaan, niin yhteen ei bakteereita riitä. . Kootaan k:n litran näyte toistokokeenna, jossa toistojen määrä on k*(n+1) ja tapauksen ( valittu tilavuus on bakteeriton) todennäköisyyten yksittäisessä kokeessa on 1/(n+1)
PS:
Uskoisin, että ratkaisuni kokeessa ( silloin olisin ollut tarkka ja sulkeet olisivat paikoillaan) olisi tuottanut enemmän pisteitä kuin sinun esittämäsi.

Niin mutta kun esimerkiksi Wikipedian mukaan bakteereja on vedessä tyypillisesti joku miljoona millilitrassa. On kyllä totta, että tuo Poisson n -> Poisson kn toimii vain suurella n:llä. Omakaan ratkaisusi ei ole tarkka, vaan toimii vain jos n on pieni - joka on vastoin tehtävänantoa.

edit: tarkennusta

[quote author="Stratonovich" time="13.06.2011 klo 23:15"]

[quote author="PPo"][quote author="Stratonovich"]
Täydellisesti sekoittunut lukumäärä jotain ei tarkoita tasajakaumaa (koska n ei ole ääretön), vaan sitä, että määrä missä tahansa näytteessä on Poisson-jakautunut. Yhdessä litrassa lukumäärän jakauma on tällöin Poisson(x|n) = n^x exp(-n) / x! ja k litrassa niitä on Poisson(x|nk). [/quote]
Johtopäätöksesi ei pitäne paikkaansa. Jos k= 0,1/n litraa , niin tarkastellaan tilavuutta, jossa bakterien lukumäärä on keskimäärin 0,1. Tähän Pissonin soveltaminen esittämälläsi tavalla johtanee harhateille.
Oma ratkaisuni lähti siitä, unohdetaan sana " keskimäärin" toviksi. Litrassa on n bakteeria tasaisesti jakaantuneena. Jos litra jaetaan (n+1):een yhtä suureen osaan, niin yhteen ei bakteereita riitä. . Kootaan k:n litran näyte toistokokeenna, jossa toistojen määrä on k*(n+1) ja tapauksen ( valittu tilavuus on bakteeriton) todennäköisyyten yksittäisessä kokeessa on 1/(n+1)
PS:
Uskoisin, että ratkaisuni kokeessa ( silloin olisin ollut tarkka ja sulkeet olisivat paikoillaan) olisi tuottanut enemmän pisteitä kuin sinun esittämäsi.[/quote]
Niin mutta kun esimerkiksi Wikipedian mukaan bakteereja on vedessä tyypillisesti joku miljoona millilitrassa. On kyllä totta, että tuo Poisson n -> Poisson kn toimii vain suurella n:llä. Omakaan ratkaisusi ei ole tarkka, vaan toimii vain jos n on pieni - joka on vastoin tehtävänantoa.

edit: tarkennusta

[/quote]
Vastaa Lainaa Ilmoita asiaton sisältö
Keskusteluun osallistuminen vaatii kirjautumista.
Me Naiset