Paikka ja kiihtyvyys

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Ajatellaan tapausta, jossa auto kiihdyttää paikaltaan lähtien käyttäen suurinta mahdollista kiihtyvyyttä. Auto etenee täysin suoraviivaisesti tuulettomassa ilmassa. Ilmanvastus otetaan siis huomioon. Aluksi kun nopeus on pieni, käytetään sen verran pientä tehoa, että vetävien renkaiden ja tien välistä lepokitkavoimaa ei ylitetä, eli pyörät eivät luista. Samaten kun nopeus on pieni oletetaan, että ilmanvastusta ei ole. Nopeus kasvaa tiettyyn rajanopeuteen, jolloin käytettävä tehokin on kasvanut maksimiin. Tämän jälkeen oletetaan, että teho pysyy vakiona ja ilmanvastus vaikuttaa.

Tulevissa kaavoissa:
t = aika
P = maksimiteho vetäviltä pyöriltä
g = gravitaatiokiihtyvyys
μ = tien ja vetävän renkaan välinen lepokitkakerroin
m = auton massa
s = paikka
v = nopeus
a = kiihtyvyys
i = vakio suhdeluku(kuinka suuri osa auton massasta on vetävillä pyörillä alkukiihdytyksen aikana, esim. 0,75)
k = ilmanvastuskerroin (= ½·ρ·A·C ,jossa ρ on ilman tiheys, A on "otsapinta-ala" ja C on muotokerroin)

Laskeskelin että ajan

t° = P / (i²·μ²·g²·m)

kuluttua on kuljettu matka

s° = P² / (2·i³·μ³·g³·m²)

, jolloin nopeus on

v° = P / (i·μ·g·m)

sekä vakiokiihtyvyys on ollut

a° = i·μ·g

Tasan sillä hetkellä on saavutettu moottorin maksimiteho. Siitä eteenpäin moottorin teho ei enää riitä luistattamaan renkaita, ja kiihtyvyys on niin suuri kuin teho antaa myöten. Nyt vasta päästiin aiheeseen. Käytetään yksinkertaisia kaavoja:
P = F·v
∑F = m·a

ja kun merkitään ilmanvastusta I:llä:

∑F = F - I = m·a → F = m·a + I → F = m·a + k·v²

→ P = (m·a + k·v²)·v
→ m·a·v + k·v³ = P

Ja kun tiedetään että kiihtyvyys on paikan toinen aikaderivaatta ja nopeus ensimmäinen, on kyseessä differentiaaliyhtälö:

m·s''(t)·s'(t) + k·[s'(t)]³ = P , jossa ' tarkoittaa derivaattaa ajan suhteen

Tämä on aihe. Mikä on tuon diff.yhtälön ratkaisu s(t) , kun t = t°...t? Ja siten että yhtälö toteuttaa alussa mainitsemani reunaehdot s°(t°), s'°(t°) ja s''°(t°).
Silloin voisi esimerkiksi arvioida mikä olisi teoreettinen minimiaika esim. 0-400m kiihdytyksessä tai 0-100km/h, kun teho ja massa tiedetään.

Kommentit (12)

Vierailija

Huomasin muuten justiin että reunaehtoja on kolme vaikka diff.yht. on toista astetta. Yksi reunaehto ei siis toteudu.
Noh, sehän onkin selvä että kun ilmanvastus yhtäkkiä alkaa vaikuttaa on kiihtyvyydessä epäjatkuvuuskohta. Kiihtyvyysreunaehtoa ei siis tarvitse huomioida. Kuljettaja löytää yhtäkkiä välivapaan sillä hetkellä. Lisäksi jos auto ei ole kovin tehokas (mikä on myös oletuksena) niin nopeuden ei tarvitse olla kovin suuri jotta auto ei jaksa sutia. Tällöin ei ilmanvastuskaan ole vielä kovin suuri, eikä hyppäys kiihtyvyydessäkään ole liian suuri.

Ja ehkä nyt kyseessä on sähköauto tai erittäin monivaihteinen tavanomainen auto taitavalla kuljettajalla, kun teho oletetaan vakioksi luistoneston jälkeen.

Vierailija
boner

∑F = F - I = m·a → F = m·a + I → F = m·a + k·v²

...

m·s''(t)·s'(t) + k·[s'(t)]³ = P , jossa ' tarkoittaa derivaattaa ajan suhteen...

Aika monsteri on diffiksesi.

Mutta jos k on pieni, voiman yhtälö voidaan ratkaista häiriöteorialla ts. kehittämällä x Taylorin sarjaksi k: suhteen ja ratkaisemalla yhtälö kussakin kertaluvussa erikseen.

Kun voiman saat laskettua, teho onkin sitten helppo.

Approksimatiiviseen ratkaisuun on tässä tapauksessa tyydyttävä (mielipide).

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1511
Liittynyt12.4.2005

En nyt ymmärrä, miksi tilannetta pitää tarkastella tehon avulla. Jos tyydyttäisiin moottorin vääntömomenttiin kullakin nopeudella ja edelleen siitä laskettuun ajoalustaan kohdistuvaan voimaan, tuloksena olisi normaali epälineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, jolle voisi löytyä jopa analyyttinen ratkaisu.

Tuo esittämäsikin yhtälö ratkeaa numeerisilla menetelmillä. Tulosten hyödyntäminen on silloin tosin vaikeampaa, kun ei voi niin helposti tarkastella eri muuttujien vaikutusta tulokseen kuin analyyttisen ratkaisun tilanteessa.

Vanha jäärä

Vierailija

Nyt en mäkään oikein ymmärtänyt. Vääntömomentti tietyllä (kulma-)nopeudellahan on nimenomaan teho. P = F·v = M·ω ihan miten vaan. Ja ajattelen nyt tietysti vetävän pyörän vääntömomenttia, niin ei tarvitse välityssuhteita ottaa huomioon. Ajoalustaan kohdistuu siis renkaasta voima F = M·ω/v = M/r.

yhtälöstä F = M/r = m·a + k·v² tulisi vain:

M = m·r·a + k·r·v² ,eli toisen kertaluvun diff.yht.

...mutta M on nopeuden, eli myös paikan funktio aivan kuten voima F:kin on. Vaikeahan siitä on mitään ratkaista kun M(s(t)) ei ole selvillä; tai noh M(s'(t)) on selvillä mutta se on nimenomaan se tehon ja momentin välinen yhteys M = P·r/v, josta taas päädytään samaan yhtälöön jonka jo aloituksessa mainitsin. Mutta teho P on vakio (tai siis "tehtävänannossa" olin määritellyt sen vakioksi). Siinä taas ei olisi mitään mieltä jos vääntömomentin ajattelisi vakioksi.

Vai mitä tarkoitit(te)???

Vierailija

Heh. Sotketaanpa vielä vähäsen.

Jos siis moottorin teho on vakio, sen tekemä työhän ilman ilmanvastusta on helppo laskea (ainakin jos oletetaan että tehoa kuluu pelkästään liikkumiseen tai tehohäviöt ovat vakio).

Jos siis voima tiedetään, tehty työ tiedetään ja työn aikaderivaatta on teho.

Kun ilmanvastus otetaan huomioon, saman matkan kulkemiseen tarvitaan enemmän voimaa. Työ kasvaa ja jos teho on vakio, aikaa täytyy kulua enemmän.

Edelleenkin lähtisin ratkaisemaan tuota voiman yhtälöä.

Vierailija

Toki löysin muuten ratkaisun sille yksinkertaiselle tapaukselle kun ilmanvastusta ei oteta huomioon. Tällöin yhtälö on:

a·v = P/m

eli

s''(t) · s'(t) = P/m

jonka yleiseksi ratkaisuksi tulee

s(t) = ± 2·sqrt(2)·(m·P·t + m·P·C)^(3/2) / (3·m²·P) + D

jossa C ja D ovat alkuarvoista johtuvat vakiot.Eli C saadaan nopeuden alkuarvosta ja D paikan alkuarvosta. Yleensä s(0) = 0 ja s'(0) = v(0) = 0 jolloin:

s(t) = 2·sqrt(2)·(m·P·t)^(3/2) / (3·m²·P)

v(t) = sqrt(2)·sqrt(m·P·t) / m

a(t) = sqrt(2)·P / [2·sqrt(m·P·t)]

jolloin a(t)·v(t) on todellakin P/m

.
Seuraa 
Viestejä846
Liittynyt10.9.2005

Sähkömoottoreiden kanssa 10v kiihtyvyyksiä, nopeus ja paikka soveluksia tehneenä sekä jonkun verran autourheiluun sotkeutuneena (kiidytyskisan) sanon jotta momentti ratkaisee.
Mutta auton renkaisiin välittämä momentti on monen mekaanisen tekijän yhteisvaikutus ja esim. kiihdytysauton alku 30m on pelkkää mekaniikkaa, moottorin tehoilla ja väännöllä ei juuri ole vaikutusta.

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1511
Liittynyt12.4.2005
M = m·r·a + k·r·v² ,eli toisen kertaluvun diff.yht.

Olen joskus itse laskeskellut vapaan pudotuksen rajanopeuksia neliöllisen ilmanvastuksen vallitessa ja jarrutusta myös ilmanvastuksen vallitessa, jotka tuottavat samanmuotoisen yhtälön, jolloin viisain tapa on ollut ratkaista nimenomaan ensin nopeus:

m v'+ k v² = µ m g

Analyyttinen ratkaisu yhtälölle on löydettävissä. Yllättäen myös matkan saa sitten integroiduksi suljetussa muodossa. Ratkaisu riippuu tietysti alkuehdoista eli ollaanko kiihdyttämässä vai hidastamassa.

Vanha jäärä

Vierailija
.
Sähkömoottoreiden kanssa 10v kiihtyvyyksiä, nopeus ja paikka soveluksia tehneenä sekä jonkun verran autourheiluun sotkeutuneena (kiidytyskisan) sanon jotta momentti ratkaisee.
Mutta auton renkaisiin välittämä momentti on monen mekaanisen tekijän yhteisvaikutus ja esim. kiihdytysauton alku 30m on pelkkää mekaniikkaa, moottorin tehoilla ja väännöllä ei juuri ole vaikutusta.



Tässä olenkin laskenut että alkumatka käytetään vain sen suuruista tehoa(momenttia) että renkaat ovat luistamaisillaan. Renkaat eivät saa siis nyt luistaa kiihdytyksessä. Vasta sen jälkeen kun teho ei riitä tuottamaan luistamiseen tarvittavaa momenttia pätee yrittämäni diff.yhtälö.

Ja tässä tarkoitan teholla vetävältä pyörältä suoraan mitattua tehoa, eli mitään voimansiirrollisia häviöitä ei oteta huomioon. Ja tottakai momentti ratkaisee sillä sen avulla auto liikkuu. Momentti on kuitenkin teho jaettuna vetävän pyörän kulmanopeudella, eli ihan yhtälailla voi sanoa että teho ratkaisee kun nopeus tiedetään.

Vanha jäärä
Olen joskus itse laskeskellut vapaan pudotuksen rajanopeuksia neliöllisen ilmanvastuksen vallitessa ja jarrutusta myös ilmanvastuksen vallitessa, jotka tuottavat samanmuotoisen yhtälön, jolloin viisain tapa on ollut ratkaista nimenomaan ensin nopeus:

m v'+ k v² = µ m g

Mutta tuossahan nimenomaan on voima vakio (jos ei g:n muutosta oteta huomioon: samalla pitäis tietysti ottaa ilman tiheyden muutos huomioon).

Nyt voima ei ole vakio. Voima riippuu nopeudesta vaikka ilmanvastusta ei otettaiskaan huomioon. Tehoa ei oleteta olevan niin paljon että se riittäisi luistattamaan renkaita koko matkan. Jos tehoa olisi todella paljon niin, esim 0-100km/h laskentaan tuo kaava kyllä sopisi.

Tuo onkin itseasiassa osaratkaisu ongelmaan, sillä olin itse laiskuuttani laskenut alkumetrit siten että ilmanvastus ei vaikuta. Mutta sitten kun teho ei enää riitä tuottamaan µ·m·g:n suuruista "työntövoimaa" täytyy siirtyä siihen vaikeaan diff.yhtälöön.

Vierailija

olinpa höhlä. Sijoitin vain s'(t) = v(t) eli ratkaisin nopeuden. Kertaluku tietysti laski yhdellä. Noh ohjelma osas ratkaista jonkun tilannetta kuvaavan yhtälön, mutta yhtälöstä ei saa eroteltua v(t):tä, sillä se on niin pahojen lausekkeiden sisässä (arctangenttia ja luonnollista logaritmia).

Yhtälö (jonko kopioin suoraan ohjelmasta):

t+1/3*m*ln(v(t)-(P/k)^(1/3))/(k*(P/k)^(1/3))-1/6*m*ln(v(t)^2+v(t)*(P/k)^(1/3)+(P/k)^(2/3))/(k*(P/k)^(1/3))
+1/3*m*3^(1/2)*arctan((2/3*v(t)/(P/k)^(1/3)+1/3)*3^(1/2))/(k*(P/k)^(1/3))+_C1 = 0

kuvaa siis tapausta. Siitä kai pitäis iteroida v(t):n arvoja eri t:n arvoilla käyttäen haluttuja P:n, k:n ja m:n arvoja, ratkaista vakio C1 alkuarvon mukaan, ja sitten sijoittaa pistejoukkoa parhaiten kuvaava yhtälö kuvaajaan ja derivoida sitä jolloin s(t) on selvillä.

Vierailija

m v'+ k v² = µ m g



Samaa mieltä olen Jäärän kanssa.

g voidaan yhtähyvin valita a:ksi.

Siis optimaalinen kiihtyvyys on a (tai g) ja liikeyhtälön lisätermi tekee sen että esim. samassa ajassa kuljettu matka on eri. Tai jos kuljetaan sama matka samassa ajassa, voima on eri -> teho on eri.

(Toki olettaen että µ on vakio.)

Tässä olenkin laskenut että alkumatka käytetään vain sen suuruista tehoa(momenttia) että renkaat ovat luistamaisillaan. Renkaat eivät saa siis nyt luistaa kiihdytyksessä. Vasta sen jälkeen kun teho ei riitä tuottamaan luistamiseen tarvittavaa momenttia pätee yrittämäni diff.yhtälö.

Jos mitään luistoa ei tapahdu, edellinen yhtälö pätee. Se minkälainen teho missäkin kohdassa kiihdytystä tarvitaan onkin varmaan numeerista puuhaa.

Mutta jos renkaat eivät luista ja ilmanvastus on kokoajan verrannollinen nopeuden neliöön, Jäärän esittämä yhtälö toimii.

ps. Boner - sulla on aika massiivisia yhtälöitä.

t+1/3*m*ln(v(t)-(P/k)^(1/3))/(k*(P/k)^(1/3))-1/6*m*ln(v(t)^2+v(t)*(P/k)^(1/3)+(P/k)^(2/3))/(k*(P/k)^(1/3))
+1/3*m*3^(1/2)*arctan((2/3*v(t)/(P/k)^(1/3)+1/3)*3^(1/2))/(k*(P/k)^(1/3))+_C1 = 0

Nostan hattua että tällaisen olet saanut aikaiseksi. Ja veikkaan että löydät todellisuuteen perustuvan ratkaisun. Mutta koetas vähän yksinkertaistaa systeemiä. (Toki jos tuolla tavalla saat ratkaisun, yksinkertaistamiseen ei ole syytä.)

Vierailija

Ilmanvastuksen tekemä työ esim. välillä 0-100 on lähes vakio, riippuu vain hieman tehosta. Jos muodostat yhteyden tehon ja ilmanvastustyön välille, saat ilmanvastustyön vakioksi ja yhtälöiden pitäisi yksinkertaistua. Parin promillen voimalla järkeilty, joten saatan olla aivan väärässä.

Uusimmat

Suosituimmat