Ongelmallinen summa

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Miten selitätte seuraavan ongelman?

Otetaan summa 1-1+1-1+1-1+1-1+... Tästähän näyttäisi tulevan vastaukseksi 0, mutta jos järjestellään temit uudelleen 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+..., niin saadaan summaksi 1. Eli tällä perusteella 0=1.

Veikkaan, että ongelman ratkaisu liittyy jotenkin suppenevuuteen (tuo summa ei suppene), mutta miten?

Kommentit (8)

de Selby
Seuraa 
Viestejä1231
Liittynyt16.3.2005

No höh! Toisessa kaavassahan ykkösestä heti alkuunsa vähennetään jotakin ja toisessa siihen lisätään.

Jos ensimmäistä ykköstä merkitään ykkösellä ja kaikkea loppua ännällä niin yksinkertaistetusti toinen laskusi on muotoa 1+n ja toinen 1-n.

Ts. termien järjestely on tehty väärin, kyseessä ei ole saman laskutoimituksen kaksi erilaista esittämistapaa, eikä yhtäsuuruusmerkkiä voida vetää esimerkkeinä olleiden laskutoimituksien välille.

Gravity sucks.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä23104
Liittynyt16.3.2005
Kristian
Miten selitätte seuraavan ongelman?

Veikkaan, että ongelman ratkaisu liittyy jotenkin suppenevuuteen (tuo summa ei suppene), mutta miten?

Joku muu tietänee paremmin, mutta muistelen matematiikan kursseilla mainitun juuri tuollaiset sarjat, joilla ei ole yksikäsitteistä summaa. Esimerkiksi alternoiva harmoninen sarja (1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...) on mielenkiintoinen, sillä sen arvoksi voidaan saada mikä tahansa reaaliluku valitsemalla laskujärjestys sopivasti.

Harmoninen sarjahan hajaantuu kohti ääretöntä. Nyt voidaan valita alternoivan harmonisen sarjan summaksi mikä tahansa luku ja laskea positiivisia termejä, kunnes päästään valitun luvun yli. Sitten lasketaan negatiivisia, kunnes ollaan valitun luvun alapuolella. Koska ei-alternoiva sarja hajaantuu, valitsemalla riittävästi oikeanmerkkisiä termejä päästään aina valitun luvun ohi. Kun hommaa jatketaan äärettömästi, kaikki luvut tulevat läpikäytyä ja summa on se mitä halutaan.

Vierailija
Kristian
Miten selitätte seuraavan ongelman?

Otetaan summa 1-1+1-1+1-1+1-1+... Tästähän näyttäisi tulevan vastaukseksi 0, mutta jos järjestellään temit uudelleen 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+..., niin saadaan summaksi 1. Eli tällä perusteella 0=1.

Veikkaan, että ongelman ratkaisu liittyy jotenkin suppenevuuteen (tuo summa ei suppene), mutta miten?

Summaan ei itseasiassa liity minkäänlaista ongelmaa, sillä esittelemäsi summasta ei saada alunperinkään minkäänlaista vastausta. Äärettömille summille ei yleisesti päde vaihdantalaki (ehdollisia tapauksiakin on, joissa pätee).

Koska positiivisia ja negatiivisia ykkösiä summassa on todellakin ääretön määrä, ja ääretön ei ole luku, niin tästä jo suoraan seuraa, ettei summa ole määritelty. Tulosta haluavan on päätettävä, onko ykkösiä/nollia 2n vai 2n+1 kombinaatioilla, näistä kumpikaan ei määritelmällisesti ole ääretön.

Muistaakseni tämän toteen näyttäminen matemaattisella formalismilla liittyi jotenkin osasummien jonoon, joissa toinen osasumma konvergoi nollaan ja toinen ykköseen -> ristiriita, joka tuhoaa koko summan.

Vierailija

Sarja (-1)^k, k = 0, ... , ääretön ei suppene. Sarjahan suppenee joss sen osasummien jono suppenee. Tässä osasummat ovat s(n) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k = 1 tai 0 riippuen n:n parillisuudesta, eivätkä ne siis suppene minnekään. Raja-arvon määritelmän kertaaminen jätettäköön harjoitustehtäväksi.

Ja vastaukseksi alkuperäisen kysyjän huomioon siitä, että termien ryhmittely vaikuttaa sarjan arvoon: Sarjan termien järjestyksen saa vaihtaa ainoastaan jos sarja suppenee itseisesti ts. jos sarjan termien itseisarvojen summa suppenee. Vaikka sarja itsessään suppenisi kuten esim. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ..., termien järjestely voi muuttaa summan arvoa (sillä tässä 1 + 1/2 + 1/3 + ... EI suppene). Tämä johtuu siitä että sarjassa on äärettömästi sekä positiivista että negatiivista summattavaa, ja nämä kumoavat toisiaan eri tavoin jos järjestys vaihtuu.

Vierailija
Kristian
Miten selitätte seuraavan ongelman?

Otetaan summa 1-1+1-1+1-1+1-1+... Tästähän näyttäisi tulevan vastaukseksi 0, mutta jos järjestellään temit uudelleen 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+..., niin saadaan summaksi 1. Eli tällä perusteella 0=1.

Ensimmäisessä on yksi termi extraa eli -1 (joka ei siis voi katsoa kuuluvaksi itse sarjaan tai sitten siihen lisättävä vielä yksi) tuohon jälkimmäiseen verrattuna.

Vierailija

Itseasiassa 1-1+1-1+... on ihan mitä tahansa, vaikkapa 3:

Koska siis on osoitettu, että

1-1+1-1+...=1,

niin korvaamalla ykköset kolmella kolmasosalla saadaan

1/3 + 1/3 + 1/3 - 1/3 - 1/3 - 1/3 + ... = 1,

ja edelleen ryhmittelemällä

1/3 - 1/3 + 1/3 - 1/3 + 1/3 - 1/3 + ... = 1,

ja kertomalla puolittain kolmella saadaan

1-1+1-1+1-1+... = 3.

Vierailija
Kristian
Miten selitätte seuraavan ongelman?

Otetaan summa 1-1+1-1+1-1+1-1+... Tästähän näyttäisi tulevan vastaukseksi 0, mutta jos järjestellään temit uudelleen 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+..., niin saadaan summaksi 1. Eli tällä perusteella 0=1.


Btw. +/- laskuissa sulut eivät merkkaa mitään.

Uusimmat

Suosituimmat