Pituuden lämpölaajeneminen

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Pituuden lämpölaajeneminenhan esitetään esim. L=L0(1+αΔT). Eli siis L0+ΔL=L0(1+αΔT). Siis ΔL=L0αΔT. Miten tämä riippuvuus muka on lineaarinen? Jos lähdetään muokkaamaan yhtälöä

dL=L0αdT

ja separoidaan ja integroidaan (määrättynä, rajat 0 ja T) ja logaritmin määritelmää hyväksi käyttäen päästään muotoon

L=L0*e^(αT).

Tietysti tämä on pienellä lämpötilavaihteluvälillä likipitäen lineaarinen, koska α on niin pieni, mutta eikö pituuden lämpölaajeneminen kuitenkin pitäisi esittää mieluummin eksponentiaalisena muutoksena?

Sivut

Kommentit (33)

o_turunen
Seuraa 
Viestejä8006
Liittynyt16.3.2005

L = L0(1+aT).

dL = L0adT.

Merkitään L0a = k, alkuehtojen mukaan luonnonvakio.

dL/dT = k.

Mihin tässä tarvitaan logaritmeja tai e:tä?

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi.

Vierailija
o_turunen
L = L0(1+aT).

dL = L0adT.

Merkitään L0a = k, alkuehtojen mukaan luonnonvakio.

dL/dT = k.

Mihin tässä tarvitaan logaritmeja tai e:tä?

Hiton hyvä kysymys! Kävipä nyt niin että L0 on mulla näköjään kahdessa merkityksessä. Alussa se tarkoittaa pituutta jossakin lämpötilassa T, josta lämpötilanmuutos alkaa. Lopussa se taas on pituus lämpotilassa 0K.

Nyt pitää ottaa aikalisä...

Vierailija

No nyt!

dL = LαdT

L = pituus lämpötilassa T.

dL/L = αdT

Lämpötilassa 0K pituus on L0. Lämpötilassa T pituus on L. Joten kun integroidaan vasen puoli, niin rajat ovat L0 ja L. Oikealla puolella ne taas ovat 0 ja T. Saadaan

lnL - lnL0 = αT
ln(L/L0) = αT

Luonnollisen logaritmin määritelmän mukaan

L/L0 = e^(αT)

eli

L = L0*e^(αT)

Ja pallo teille...

Vierailija
jokiris
LO on vakio (alkupituus), ei muuttuja....

Mitähän L0:ta tarkoitat? Jos ensimmäisessä viestissä olevaa, niin lue ketjua pari viestiä alemmas. Siellä L0 on oikeasti vakio. Nimittäin pituus lämpötilassa 0K. Ensimmäisen viestin merkinnät ovat sekaisin, joten älä sitä tuijota.

Ja jos luulet ettei alkupituus muutu sen mukaan, mistä lämpötilasta lähsetään, niin olet väärässä. Alkupituus MUUTTUU sen mukaan, mistä lämpötilasta lähdetään, joten sekin oikeasti on muuttuja.

Vierailija

Yhtälö dL=LOadT kuvaa lämpölaajenemista jossa alkupituus LO on vakio, siis lämpölaajenemista missä alkupituus tunnetaan. Jos LO olisi muuttuja(jota se ei ole), kuten kale ehdottaa, niin ratkaisuksi todellakin tulisi eksponenttiyhtälö. Ongelma on vain siinä, ettei yhtälöllä dL=LadT ole mitään tekemistä lämpölaajenemisen kanssa.

Vierailija
jokiris
Yhtälö dL=LOadT kuvaa lämpölaajenemista jossa alkupituus LO on vakio, siis lämpölaajenemista missä alkupituus tunnetaan. Jos LO olisi muuttuja(jota se ei ole), kuten kale ehdottaa, niin ratkaisuksi todellakin tulisi eksponenttiyhtälö.



L0 on vakio vain vakiolämpötilassa. Jossakin toisessa lämpötilassa kappaleen pituus ei enää ole L0 vaan L0+ΔL, missä ΔL on pituuden muutos. Selvästikin alkupituus riippuu lämpötilasta, missä kappale lähtöhetkellä on. Kappaleen pituus L on ilmiselvästi siis

L = L(T).

jokiris
Ongelma on vain siinä, ettei yhtälöllä dL=LadT ole mitään tekemistä lämpölaajenemisen kanssa.

Mietipä uudelleen...

Otetaanpa esimerkiksi koe, jossa pitää määrittää kappaleen pituuden lämpölaajenemiskerroin α. Kappaleen pituus mitataan tietyissä lämpötiloissa. Näin saadaan mittaustuloksista parit (L1,T1), (L2,T2), ... , (Ln,Tn). Nämä pisteet sijoitetaan TL-koordinaatistoon ja sovitetaan (vaikka PNS-menetelmällä) pistejoukkoon suora. Tämän suoran kulmakerroin on nyt ΔL/ΔT. Seuraavaksi ratkaistaan yhtälö ΔL=L0αΔT α:n suhteen. Saadaan

α=1/L0*ΔL/ΔT

Kysymys kuuluu:

MIKÄ HELKKARI ON L0! Onko se ensimmäiseksi mitattu pituus L1, viimeiseksi mitattu pituus Ln vai pituus jossakin ennalta määrätyssä lämpötilassa, esim 0°C tai 20°C ? Se minkä pituuksista valitset vaikuttaa pituuden lämpölaajenemiskertoimen arvoon α, vaikka sen pitäisi olla vakio.

Yrität väittää, että L0 on vakio. Minä taas väitän, että se riippuu lämpötilasta. Näin ollen se ei voi olla lämpötilan suhteen vakio.

Jos α on lämpötilasta riippumaton vakio, niin matematiikassani ei ole mitään vikaa. Lämpölaajeneminen olisi näin ollen paremminkin eksponentiaalista kuin lineaarista.

Vai ei muka yhtälölläni ole mitään tekemistä lämpölaajenemisen kanssa...

Vierailija

Kyllä kai se pituus pitäisi oikeasti lähestyä ääretöntä eksponentiaaliseti. Tuo likiarvokaava on vain käytännöllisempi, voi olla että kaikilla laskimilla (tai laskutikulla) saisi laskettua tulosta tarvittaessa.

Vierailija
james
Kyllä kai se pituus pitäisi oikeasti lähestyä ääretöntä eksponentiaaliseti. Tuo likiarvokaava on vain käytännöllisempi, voi olla että kaikilla laskimilla (tai laskutikulla) saisi laskettua tulosta tarvittaessa.

Olen samaa mieltä. Jos lämpötilanvaihtelut ovat vain muutamia kymmeniä asteita, niin tällä lineaarisuusoletuksella ei tehdä suuriakaan virheitä. Joskus näkee kyllä käytettävän kaavaa useiden satojen lämpötilanvaihteluiden yhteydessä, missä mielestäni tehdään jo merkittäviä virheitä.

Vierailija

Toivoin asiasta enemmänkin kommentteja fysiikkaa ymmärtäviltä tyypeiltä. Pitääkö tämä nyt tulkita siten, että ajatelmani on saanut hiljaisen hyväksynnän, eikä asiasta ole sen enempää huomauttamista?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä23104
Liittynyt16.3.2005

Yksinkertainen lineaarinen lämpölaajenemiskeroin on vain approksimaatio todellisuudesta. Sellainen pätee vain jollakin alueella referenssilämpötilan ympärillä.

Helposti voisi ajatella, että integroimalla saisi paremmin tilannetta laajemmalla alueella koskevan tuloksen. Välttämättä näin ei kuitenkaan ole, sillä oletus siitä, että lämpötilan suhteellinen muutos olisi laajalla lämpötila-alueella vakio, ei pidä paikkaansa. Jos vaaditaan parempaa mallia, pitää mitata kyseisen aineen lämpölaajeneminen ja sovittaa siihen jokin sopiva funktio. Perstuntumalta vaikuttaisi aika epäuskottavalta, että aine laajenisi eksponentiaalisesti - joskin toisinaan luonto käyttäytyy perstuntumalta epäuskottavasti.

Vierailija
Neutroni
Yksinkertainen lineaarinen lämpölaajenemiskeroin on vain approksimaatio todellisuudesta. Sellainen pätee vain jollakin alueella referenssilämpötilan ympärillä.

Helposti voisi ajatella, että integroimalla saisi paremmin tilannetta laajemmalla alueella koskevan tuloksen. Välttämättä näin ei kuitenkaan ole, sillä oletus siitä, että lämpötilan suhteellinen muutos olisi laajalla lämpötila-alueella vakio, ei pidä paikkaansa. Jos vaaditaan parempaa mallia, pitää mitata kyseisen aineen lämpölaajeneminen ja sovittaa siihen jokin sopiva funktio. Perstuntumalta vaikuttaisi aika epäuskottavalta, että aine laajenisi eksponentiaalisesti - joskin toisinaan luonto käyttäytyy perstuntumalta epäuskottavasti.

Minuakin jäi arveluttamaan, josko α on sittenkään vakio. Voihan olla, että se on paremminkin α(T), joka on vakio "normaaleissa" lämpötiloissa. Toisaalta kirjallisuus kyllä antaa α:n arvoksi vakion melko monella merkitsevällä numerolla, joten se kyllä viittaa vakioon. Pakko kai sitä kuitenkin vakiona pitää, ellei pystytä todentamaan sen olevan riippuvainen lämpötilasta.

Vierailija

Jotain on täytynyt mennä vikaan, kun lämpötilalaajenemisen LINEAARISESTA MALLISTA on "johdettu" eksponentiaalinen malli...

Todellinen laajeneminen ei ole sen enempää lineaarista, kuin eksponentiaalistakaan, mutta kyllä se taitaa lähempänä lineaarista olla.

Kale
No nyt!

dL = LαdT

L = pituus lämpötilassa T.

Eikös tuon pitäisi olla

dL = L0αdT

dL = L0 - L1
dT = T0 - T1
L0 = pituus lämpötilassa T0

elikkä L0 riippuu T0:sta samaan tahtiin kuin dL/dT=(L0 - L1)/(T0 - T1) riippuu T0:sta, jolloin lopputulos on lineaarinen.

Vierailija
Tollukka
Jotain on täytynyt mennä vikaan, kun lämpötilalaajenemisen LINEAARISESTA MALLISTA on "johdettu" eksponentiaalinen malli...

Todellinen laajeneminen ei ole sen enempää lineaarista, kuin eksponentiaalistakaan, mutta kyllä se taitaa lähempänä lineaarista olla.

Kale
No nyt!

dL = LαdT

L = pituus lämpötilassa T.




Eikös tuon pitäisi olla

dL = L0αdT




Sehän on sama asia. Minä käytin lämpötilassa T pituudelle merkintää L ja sinä L0.

Tollukka
dL = L0 - L1
dT = T0 - T1
L0 = pituus lämpötilassa T0



Itse asiassa sinun merkintöjä käyttäen pitäisi erotusten olla toisinpäin, koska käytät merkintöjä L0 ja T0 alkutilanteeseen kytkettynä, mutta eipä sillä isosti ole jatkon kannalta merkitystä. Tosin dL ja dT pitää korvata merkinnöillä ΔL ja ΔT.

Tollukka
elikkä L0 riippuu T0:sta samaan tahtiin kuin dL/dT=(L0 - L1)/(T0 - T1) riippuu T0:sta, jolloin lopputulos on lineaarinen.

Tuota ei voi päätellä tuosta. Päättelet muutoksen olevan lineaarista koska se on lineaarista. Ei se ole mikään todistus. Jos ihan irrallaan tästä otetaan funktio L(T) = T². Tällöin

[L(3)-L(1)]/(3-1) = (3²-1²)/2 = 4, mutta

[L(2)-L(1)]/(2-1) = (2²-1²)/1 = 3.

Jotta osoittaja ja nimittäjä muuttuisivat "samaan tahtiin" (eli murtolausekkeen arvo pysyisi samana) niin täytyy alun perin olla tieto, että L on lineaarinen.

Tässä on kyse differentiaali- ja integraalilaskennasta. dT ≠ ΔT ja dL ≠ ΔL. dT ja dL ovat differentiaaleja (eli infinitesimaalisen pieniä muutoksia) ja ΔT on lämpötilan muutos kahden tiedetyn lämpötilan välillä ja ΔL on pituuden muutos kahden tiedetyn pituuden välillä. Ellet osaa differentiaali- ja integraalilaskentaa, niin sinun on mahdoton kommentoida ajatukseni oikeellisuutta.

Lyhyesti sanottakoon, että

ΔL/ΔT → dL/dT, kun ΔT → 0. dL/dT on siis pituuden derivaatta lämpötilan suhteen.

Vierailija

Tämä viesti on tarkoitettu niille, jotka eivät näe lineaarisessa mallissa mitään ongelmia. Tämän jälkeen näette.

Olkoon kaledium sellainen kuvitteellinen kiinteä aine, jonka pituuden lämpölaajenemiskerroin α on tolkuttoman suuri. Olkoon α = 0,010 1/°C. Aloitetaan 1,000 m mittaisen kalediumtangon lämmittäminen 0°C:sta 100°C:een. Uusi pituus L olisi lineaarisen mallin mukaan

L = L0(1+αΔT) = 1,000m*(1+0,01 1/°C*100°C) = 2,00m.

Entäpä jos tarkasteluväli jaetaan kahteen 50°C väliin? Tarkastellaan muutosta välillä [0°C, 50°C].

L = L0(1+αΔT) = 1,000m*(1+0,01 1/°C*50°C) = 1,50m.

Tämä 1,50m on nyt uuden tarkastelun L0. Tarkastellaan väliä [50°C, 100°C]

L = L0(1+αΔT) = 1,50m*(1+0,01 1/°C*50°C) = 2,25m!

Eipä tullutkaan se 2,00m, vaan enemmän. Jos tuo 100°C jaettaisiin vielä pienempiin tarkasteluväleihin samalla periaatteella, niin tuo ero vain kasvaisi ja - uskokaa tai älkää - lähestyy juuri tuota johtamaani eksponentiaalista mallia.

Niin että se siitä lineaarisesta mallista...

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat