Päättymätön pii

Seuraa 
Viestejä149
Liittynyt29.4.2005

Mistä voidaan tietää onko pii päättymätön luku?

Sivut

Kommentit (76)

Vierailija
MakeeK
Mistä voidaan tietää onko pii päättymätön luku?

Todistus, että pii on päättymätön on triviaali mutta tarkoitat varmaankin mistä voidaan tietää, että pii on irrationaaliluku (siis päättymätön ja jaksoton). No, sekin voidaan todistaa mutta todistus ei enää olekaan ihan triviaali. Asia todistettiin aukottomasti vasta niinkin myöhään kuin 1800 luvun alkupuolella. Tässä linkki melko selvään ja yksinkertaiseen todistukseen piin irrationalisuudesta:

http://solmu.math.helsinki.fi/2001/2/lehtinen/

Vierailija
Landau
MakeeK
Mistä voidaan tietää onko pii päättymätön luku?



Todistus, että pii on päättymätön on triviaali mutta tarkoitat varmaankin mistä voidaan tietää, että pii on irrationaaliluku (siis päättymätön ja jaksoton). No, sekin voidaan todistaa mutta todistus ei enää olekaan ihan triviaali. Asia todistettiin aukottomasti vasta niinkin myöhään kuin 1800 luvun alkupuolella. Tässä linkki melko selvään ja yksinkertaiseen todistukseen piin irrationalisuudesta:

http://solmu.math.helsinki.fi/2001/2/lehtinen/




Mielenkiintoista juttua tuolla linkin takana.

Mutta ongelmia vielä jääkin

Irrationaaliluvutkin jakautuvat kahteen luokkaan. Algebralliset luvut ovat jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin nollakohtia. Muut irrationaaliluvut ovat transkendenttilukuja. Esimerkiksi on algebrallinen, koska se on polynomin x2-2 nollakohta. Osoittautuu, että algebrallisiakin irrationaalilukuja on ''vain'' numeroituva määrä, joten ''melkein kaikki'' reaaliluvut ovat transkendenttilukuja. Mutta kysymys yksittäisen luvun transkendenttisuudesta on yleensä vaikea ratkaista. Luku todistettiin transkendenttiluvuksi vuonna 1882. Tämä ratkaisi yli 2000 vuotta pohditun ongelman ympyrän neliöinnistä, geometrisesta konstruktiosta, jolla voitaisiin (harppia ja viivoitinta käyttäen) löytää sellaisen neliön sivu, jonka ala on tunnetun, esimerkiksi yksikkösäteisen, ympyrän ala. Koska geometriset konstruktiot ovat suorien ja ympyröiden leikkauspisteiden etsimisiä ja näiden yhtälöt ovat ensimmäisen ja toisen asteen polynomeja, ei konstruktioilla päästä pisteistä, joiden koordinaatit ovat rationaalilukuja, pisteisiin, joiden koordinaatit ovat transkendenttilukuja. Luvun transkendenttisuus merkitsee, että ''ympyrän neliöintiongelma'' on ratkeamaton. Mutta siihen, miksi on transkendenttinen, emme nyt puutu.

Voisiko joku asiaan vihkiytynyt kuitenkin puuttua tuohon alleviivaamaani
asiaan. Kiinnostaisi tietää. Osaan etsiä googlestakin mutta jonkun
asiantuntijan henk.koht. lausunto voisi olla parempi.

Vierailija

Itse ole sitä mieltä, että pii on jossain oikeassa mittakaavassa tarkasteltuna täydellisen harmoninen ilmentymä, jolla sarjalla ei ole mitään tekemistä jonkin ennustamattomuuden saati satunnaisuuden kanssa.

Mutta kun on tämä ihminen, joka ei tajua, että ilmiöihin liittyy mittakaava. Esimerkiksi äänisignaali 2D-garykoodattuna on aivan jotain muuta selkeämpää ja harmonisempaa, mitä se on yksiulotteisena aika/näyte pötkönä. So what, elämä on.

Vierailija

Mitä hyötyä piin kaikista desimaaleista voi olla, vaikka ne joskus tiedettäisiinkin?

Tarkoitan käytännön hyötyä tieteen kannalta. Nyt se on vain höyrypäisten matematiikanrakastajien lelu.

Vierailija
taiteilijatyyppi
Mitä hyötyä piin kaikista desimaaleista voi olla, vaikka ne joskus tiedettäisiinkin?

Ei kysymys ollut desimaaleista, vaan rakenteesta. Siitä rakenteen harmoniasta, jonka pii mahdollisesti sisäänsä kätkee.

Vierailija
Mitä hyötyä piin kaikista desimaaleista voi olla, vaikka ne joskus tiedettäisiinkin?

Ei piin desimaaleista tietyn rajan jälkeen mitään hyötyä sinänsä olekaan. Piin tutkimus on kuitenkin vauhdittanut jossain määrin matematiikan kehitystä ja desimaaleja laskemalla voidaan esimerkiksi testata tietokoneen tehokkuuta. Pohjimmiltaan kysymys on varmaankin myös huvista. Kuka kehittää tehokkaimmat algoritmit jne.

Vierailija

Meillähän on olemassa varsin tuore kaava (BBP-kaava), jolla pii:n n´s desimaali voidaan laskea laskematta ensiksi ne n-1 desimaalia. Eli voimme käyttää piitä esim. kätevänä pseudosatunnaislukugeneraattorina, vaikka pii nyt ei vielä (todennäköisesti) ole todistettu normaaliksi.

pöhl
Seuraa 
Viestejä827
Liittynyt19.3.2005
Gödel
Voisiko joku asiaan vihkiytynyt kuitenkin puuttua tuohon alleviivaamaani
asiaan. Kiinnostaisi tietää. Osaan etsiä googlestakin mutta jonkun
asiantuntijan henk.koht. lausunto voisi olla parempi.

Piin transkendenttisuuden todistus löytyy vaikkapa kirjasta Hardy, Wright, An Introduction to the Theory of Numbers. Todistuksessa käytetään symmetrisiä kokonaislukukertoimisia polynomeja ja Eulerin kaavaa e^(i pii)=-1.
Snaut
Meillähän on olemassa varsin tuore kaava (BBP-kaava), jolla pii:n n´s desimaali voidaan laskea laskematta ensiksi ne n-1 desimaalia. Eli voimme käyttää piitä esim. kätevänä pseudosatunnaislukugeneraattorina, vaikka pii nyt ei vielä (todennäköisesti) ole todistettu normaaliksi.

Eikös BBP-kaava toimi vain, kun kantaluku on 2, vai onkohan piin laskemiseksi keksitty jokin uusi kaava, josta en ole kuullut?

Vierailija
Puuhikki
Todistuksessa käytetään symmetrisiä kokonaislukukertoimisia polynomeja ja Eulerin kaavaa e^(i pii)=-1.

Ei tuo todistus minun mielestä kovin vakuuttava ole. Omissa tutkimuksissani olen edelleen havainnut, että:
|e^(i pii + j fii + k khii + ...)| = 1
Se, että ylipäätään e potenssiin joku kompleksimössö on aina itseisarvoltaan yksi, liittyy enemmän sovellettuun matematiikkaan. Siis
|e^joku kompleksimössö| = 1
todistaa vain sen, että esimerkiksi DFT/IDFT on tosi.

Vierailija
Puuhikki
Gödel
Voisiko joku asiaan vihkiytynyt kuitenkin puuttua tuohon alleviivaamaani
asiaan. Kiinnostaisi tietää. Osaan etsiä googlestakin mutta jonkun
asiantuntijan henk.koht. lausunto voisi olla parempi.

Piin transkendenttisuuden todistus löytyy vaikkapa kirjasta Hardy, Wright, An Introduction to the Theory of Numbers. Todistuksessa käytetään symmetrisiä kokonaislukukertoimisia polynomeja ja Eulerin kaavaa e^(i pii)=-1.



Gödel

http://solmu.math.helsinki.fi/2001/2/lehtinen/

Mielenkiintoista juttua tuolla linkin takana.

Mutta siihen, miksi on transkendenttinen, emme nyt puutu.




Voisiko joku asiaan vihkiytynyt kuitenkin puuttua tuohon alleviivaamaani
asiaan. Kiinnostaisi tietää. Osaan etsiä googlestakin mutta jonkun
asiantuntijan henk.koht. lausunto voisi olla parempi.

Piin transendenttisuus todistuksen toki tunnen (Gelfandin teoreeman
avulla?) Mutta lähinnä kiinnostaa tuo kommentti, jonka mukaan transendenttisuudelle olisi joku erityinen syy, josta ei kuitenkaan vaivauduta kertomaan mitään lisää.

Vierailija
Gödel
...

Pakko puuttua vähän myös tuohon pyhimpääsi.

Ei algebralla ja uskonnolla ole mitään tekemistä toistensa kanssa. Algebran syvin olemus on kuvata luontoa, joka voidaan kynällä ja paperilla tai nykyaikana tietokoneella todeksi osoittaa.

Uskonto on oma lukunsa, mutta puhuminen samaan aikaan uskonnosta ja algebrasta saa karvani nousemaan pystyyn. Puhu uskonnosta ja modernista fysiikasta samassa lauseessa, mutta älä koskaan samassa lauseessa algebrasta ja uskonnosta.

Ja PS. Jos joku heinähattu noin on jossain matematiikan kirjassaan sanonut, osoittaa vain enemmän sitä, että ko. havukka-ahon ajattelijan olisi pitänyt käydä syventäviä algebran peruskursseja kansalaisopistossa.

Vierailija
Puuhikki

Snaut
Meillähän on olemassa varsin tuore kaava (BBP-kaava), jolla pii:n n´s desimaali voidaan laskea laskematta ensiksi ne n-1 desimaalia. Eli voimme käyttää piitä esim. kätevänä pseudosatunnaislukugeneraattorina, vaikka pii nyt ei vielä (todennäköisesti) ole todistettu normaaliksi.

Eikös BBP-kaava toimi vain, kun kantaluku on 2, vai onkohan piin laskemiseksi keksitty jokin uusi kaava, josta en ole kuullut?

Ei, vaan se vuonna 1995 kehitetty kaava toimii hexana eli kantaluvulla 16. Lisäksi kehitelmä suppenee nopeasti.

pöhl
Seuraa 
Viestejä827
Liittynyt19.3.2005
Snaut

Ei, vaan se vuonna 1995 kehitetty kaava toimii hexana eli kantaluvulla 16. Lisäksi kehitelmä suppenee nopeasti.

Kannasa 2 on hyvin nopea siirtyä kantaan 16 ja toisinpäin. Tätä tarkoitin.

Vierailija
Puuhikki
Snaut

Ei, vaan se vuonna 1995 kehitetty kaava toimii hexana eli kantaluvulla 16. Lisäksi kehitelmä suppenee nopeasti.

Kannasa 2 on hyvin nopea siirtyä kantaan 16 ja toisinpäin. Tätä tarkoitin.

Ja se kaavahan oli tämä:

Vierailija

Jos pii olisi päättyvä luku, universumi olisi pumpattava barbara... semmonen muovinen heila, kuka semmosta itselleen haluaisi, kenties joku rationaalinen hemmo kuvittelee sellaisen saaneensa, ostaneensa jopa, ehkä ihan oikeastikin

Kauan eläköön piin epätarkkuus, elämän mielettömyys...

Elämä kuin universumisi on kuin pii, ikuisesti muuttuen. Mitä tarkemmin katsot, sen kauemmaksi se karkaa... onneksi... muuten ei olisi elämää.

Niin kauan kuin olet olemassa voit varmasti sanoa pii ei koskaan pääty. Olemassa olo(tietoisuus), pii, elämä... irrationaalisuuden päättymätön riemukulkue...

T:pumpattava Ken

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat