KESKUSTELU

Entä postuloiko immanentti vajaakäyrä kontemplatiivisen epifenomifunktion? Jos, niin mikä on funktion derivaatta?

Entä postuloiko immanentti vajaakäyrä kontemplatiivisen epifenomifunktion? Jos, niin mikä on funktion derivaatta?

Aiheeseen littyen varsin olennainen tehtäväluokka on ns. alkuarvotehtävä, joka on muotoa

y'(t) = f(t,y(t))
y(t0) = y0.

Esimerkiksi ideaaliseen, vaimentamattomaan jouseen kiinnitetyn kappaleen liikeradan ratkaisua varten voidaan muodostaa alkuarvotehtävä

x'(t) = v(t)
m*v'(t) = -k*x(t)
x(0) = x0
v(0) = v0,

jossa on kaksi tilamuuttujaa [x1(t), x2(t)] = [x(t), v(t)] eli paikka ja nopeus hetkellä t ja molemmat oletetaan tunnetuiksi hetkellä 0. Ratkaisu on peruskoulusta tuttu harmoninen värähtelyliike, mutta voisi vielä lyhyesti käydä läpi, miten ongelma voidaan ratkaistaan numeerisesti.

Käytännössä ensiksi kannattaa diskretoida aika N:ään osaan olettaen loppuajaksi tf, jolloin

t(k) = (k-1)/N*tf, k=1,...,N

Tällöin aika-askeleen pituus on dt=tf/N.

Samoin diskretoidaan tilamuuttujat:

x(k) = x(t(k))
v(k) = v(t(k))

Sitten voidaan muodostaa tilavektori

x = [x(1), v(1), x(2), v(2), ..., x(N-1), v(N-1), x(N), v(N)]'

Jos sitten valitaan käytettäväksi menetelmäksi vaikkapa kaikista helpoin finite difference -approksimaatio, niin derivaattoja voidaan approksimoida kaavoilla

x'(k) = (x(k+1)-x(k))/dt
v'(k) = (v(k+1)-v(k))/dt

Nyt ylempänä esitetyt tilayhtälöt voidaan esittää approksimatiivisesti muodossa

x(1) = x0
v(1) = v0
x(2)-x(1)-dt*v(1) = 0
v(2)-v(1)+(dt*k/m)*x(1) = 0
...
x(k+1)-x(k)-dt*v(k) = 0
v(k+1)-v(k)+(dt*k/m)*x(k) = 0
...
x(N)-x(N-1)-dt*v(N-1) = 0
v(N)-v(N-1)+(dt*k/m)*x(N-1) = 0

Nyt meillä on siis normaali lineaarinen yhtälöryhmä, joka voidaan esittää muodossa

A*x = b,

missä A on 2N x 2N -kokoinen matriisi



ja q = (dt*k/m).

Vektori b puolestaan on pituudeltaan 2N ja muodoltaan

b = [x0, v0, 0, 0, 0, ..., 0, 0, 0]'

Tilavektori x saadaan ratkaistua A:n käänteismatriisin ja b:n tulona:

x = A^(-1)*b.

Ja kappaleen paikka ajanhetkillä t0, t1, ..., tN saadaan siis ulostettua ottamalla parittomat alkiot x:stä ja nopeus puolestaan ottamalla parilliset alkiot x:stä.

Toivottavasti nyt ei hirveästi typoja tullut...

Periaatteessa ihan oikein mutta suosittelen käyttämään jotain muuta kuin Eulerin menetelmää integroimiseen. Katsokaa esim. RK4 näin aluksi.

(Kupiainen 1992, 412.)
http://www.soc.utu.fi/laitokset/valtio- ... ahteet.htm