KESKUSTELU

Eli voisiko joku havainnollistaa mahdollisimman pelkistetyllä esimerkillä, miten derivaatta, integraali ja differentiaali lasketaan?

Kyllä, varmasti sellainen ihminen täältä löytyy.

Eipä taida löytyä. Pyyntö on samaa luokkaa, kuin kertoisitteko minulle muutamalla rivillä, kuinka ihmisen ruoansulatus, verenkierto ja hermosto toimivat.

Ruokaa menee sisään yhdestä päästä ja toisesta tulee ulos paskaa. Verenkierto siirtää mm. ruoasta saatuja ravinteita kehon eri osiin. Hermosto noin yleisesti ottaen ohjaa organismiä - ainakin joitain toimintoja.

Derivaatan voit laskea yleensä aika helposti tunnettujen funktioiden derivaattojen avulla ja derivaatan eri sääntöjen avulla.

Pari yleistä funktioa:
d/dx a = 0 (a on x:stä riippumaton vakio)
d/dx x^n = n*x^(n-1) (ei päde, kun x = 0)
d/dx sin(x) = cos(x)
d/dx cos(x) = -sin(x)
d/dx exp(x) = exp(x)

Hyödyllisä sääntöjä:
1. lineaarisuus: d/dx (a f(x) + b g(x)) = a d/dx f(x) + b d/dx g(x) (a ja b vakioita)
2. tulon derivatta: d/dx (f(x)*g(x)) = (d/dx f)(x) g(x) + f(x) (d/dx g)(x)
3. sisäfunktiot: d/dx f(g(x)) = (d/dx f)(g(x)) * (d/dx g)(x)

Korjatkaapa kirjoitusvirheet.

Harjoitus: Laske funktion f(x) = exp(x*sin(x)) + x^2 derivaatta x:n suhteen. Laske tuo, niin jatkevaan integraaleihin. =)

derivaattaa jo ansiokkaasti esiteltiin, ihmisen anatomiasta puhumattakaan, joten pari sanaa integraalista. Integrointi on "käänteinen" toimenpide derivoinnille, Eli integroitaessa f(x):sää pitää miettiä minkä funktion g(x) derivaatta se on. Integrointi sekä derivointi alkaa sillä että mietitään voidaanko em toimenpiteitä edes tehdä.

Lisäksi derivaatta voidaan ajatella olevan derivoitavan funktion kulmakerroin. Näin ollen tärkein sääntö funktion derivoituvuudelle on se että funktiolla on yksikäsitteiset kulmakertoimet. Lukiossa monesti haetaan opiskelijoita sudenkuoppaan paloittain määriteltyjen funktioiden kanssa tai joissakin kohdin määrittelemättömien funktioiden kanssa.

Derivaatan ja määrätyn integraalin yhteyden idea tulee esiin jo porrasfunktion ja vastaavan murtoviivan avulla. Esimerkkinä piirretään porrasfunktio f, jonka portaiden korkeudet ovat 3 välillä (0,1), 1 välillä (1,2) ja -1 välillä (2,4). Piirretään sitten (vaikkapa y-akselin kohdasta 5 alkaen; alkuarvolla ei muuten ole väliä..) murtoviiva F, jonka kaltevuus on 3 välillä (0,1), 1 välillä (1,2) ja -1 välillä (2,4).

Nyt porrasfunktio f on murtoviivan F derivaattafunktio. Murtoviiva F puolestaan on porrasfunktion f integraalifunktio. Asian ydin on näiden funktioiden yhteys, jonka keskeiset aspektit ovat seuraavat:

1. Derivaattafunktion f arvo joka kohdassa ilmoittaa integraalifunktion F derivaatta-arvon eli kaltevuuden vastaavassa kohdassa.

2 Merkitään integraalifunktion F arvoja eri x:n arvoilla F(x). Huomataan, että esimerkiksi välillä (0,4) F(4)-F(0) = 7-5 = 2. Vastaavasti derivaattakäyrän f alle jäävä ala välillä (0,4) on 2 (ottaen huomioon, että x-akselin alle jäävä ala otetaan negatiivisena). Sama tärkeä relaatio funktioiden F ja f välillä pätee kaikilla väleillä (a,b), mitä kannattaa kokeilla.

Havaittua yhteyttä voidaan pitää "Stokesin lauseena 1. dimensiossa". Havaittu yhteys voidaan väliarvolauseen avulla yleistää sileästi kaartuville käyrille.

Kyllä tuohon derivaattakysymykseen nyt pystyy vastaamaan ymmärrettävästi melko helpostikkin.

Oletetaan, että Bushmaster muistaa kansakoulusta, että millainen on toisen asteen yhtälö.

Funktio y = x^2 ja muuttujana on x, joka saa mitä tahansa lukuarvoja.

Kun muuttujaan x annetaan differentiaalinen lisäys dx, niin y muuttuu vastaavasti arvon dy. Tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti:

y + dy = (x + dx)^2 = x^2 + 2x*dx + (dx)^2

Edeltävään lisätään funktion lauseke y = x^2 ja asetetaan arvo (dx)^2 = 0, sillä se on merkityksettömän pieni luku. Siispä saadaan:

x^2 + dy = x^2 + 2x*dx + 0 --> dy = 2x*dx

Nyt voidaankin jo laskea "funktion y derivaatta muuttujan x suhteen"; dy/dx

dy/dx = 2x.
----------------------------------

Vastaava menetelmä pätee kaikille polynomifunktioille.

Se vaan että milloin tuo derivointi pitää tehdä ja mistä sen tietää että milloin.

Jos esim. wappuna kaljat loppuu kesken ja varpusparvi vilahtaa housuihin...

derivointia tarvitaan monesti esim optimointi tehtävissä. myöskin jotkut "mikä piste funktiosta g(x) on lähinnä funktiota f(x)" vaativat jossain kohdin derivointia. sitten tietysti tehtävät joissa perustelee reaalisten 0-kohtien lukumäärää, näissä joskus pitää derivoida useampaan kertaan. sitten ihan differentiaali ja integraali yhtälöt, joita napsuu vastaan esim L4:n kurssilla Otaniemessä (ei ollut tehtävää ettei jotain dx:ää pitänyt veivata)... ymym onhan näitä.

Mutta mitä noi tarkoittaa? Siinä on kato se.

Peruskouluesimerkkinä voit johtaa kiihtyvyyden derivaatan avulla. Derivaatta kuvaa muutosnopeutta, voidaan graafisesti esittää funktion käyrälle piirretynä tangettina.

Ensin derivoidaan matkan yhtälö, jolloin saadaan nopeus v. Sitten derivoidaan nopeuden yhtälö, jolloin saadaan johdettua kiihtyvyyden yhtälö (ja vastaavat yksiköt). Katso vaikka wikipediasta, tuo perusesimerkki ainakin simppelisti suomenkielisessä.

Kun ymmärrät derivaatan ymmärrät myös paremmin sen käänteisoperaation eli integraalin. Määrätyllä integraalilla voidaan esim. ihan AMK-tason sähkötekniikassa määrittää jonkun funktion/aaltomuodon (vaikka 230V siniaallon) keskiarvo, tehollisarvo jne.

Differentiaaliyhtälöillä taas voidaan kuvata vaikka RLC-piirin suureita, konkan latautumisnopeutta jne. Tai sillä voidaan määrittää mitoitusvirheitä vaikkapa geometrisista muodoista.

Jos nyt ei parin vuoden takaisten kurssien muistelu ihan mönkään mennyt, mutta tässä vähän maallikoesimerkkejä. Fiksummat voi korjata ja/tai selittää paremmin.

Sinänsä hyvä tiivistys, mutta en tiedä olisiko aloittaja ollut vielä esimerkkienkin perässä. Joten:

1. d/dx a = 0 ja d/dx x^n = n*x^(n-1)

a = mikä tahansa kokonaisluku yhtälössä / funktiossa.

Esimerkiksi: y = x + 2 -> derivoituna d(y) = 1 + 0

d/dx x^n = n*x^(n-1) -> x:n potenssi pienenee yhdellä -> x^0 = 1;

d/dx a = 0 -> kokonaisluku 2 menee nollaksi.

Esimerkki 2: y = 3x^3 + 2x + 8
d(y) = 3 * 3x^(3-1) + 2 * 1 + 0 = 9x^2 +2

Sinit ja cosinit tuolla olikin jo taulukoitu sun muita apukeinoja.

En mene vannomaan kirjoitusasun täsmällisyydestä, omista opiskeluista jo aikaa.

Aiheeseen littyen varsin olennainen tehtäväluokka on ns. alkuarvotehtävä, joka on muotoa

y'(t) = f(t,y(t))
y(t0) = y0.

Esimerkiksi ideaaliseen, vaimentamattomaan jouseen kiinnitetyn kappaleen liikeradan ratkaisua varten voidaan muodostaa alkuarvotehtävä

x'(t) = v(t)
m*v'(t) = -k*x(t)
x(0) = x0
v(0) = v0,

jossa on kaksi tilamuuttujaa [x1(t), x2(t)] = [x(t), v(t)] eli paikka ja nopeus hetkellä t ja molemmat oletetaan tunnetuiksi hetkellä 0. Ratkaisu on peruskoulusta tuttu harmoninen värähtelyliike, mutta voisi vielä lyhyesti käydä läpi, miten ongelma voidaan ratkaistaan numeerisesti.

Käytännössä ensiksi kannattaa diskretoida aika N:ään osaan olettaen loppuajaksi tf, jolloin

t(k) = (k-1)/N*tf, k=1,...,N

Tällöin aika-askeleen pituus on dt=tf/N.

Samoin diskretoidaan tilamuuttujat:

x(k) = x(t(k))
v(k) = v(t(k))

Sitten voidaan muodostaa tilavektori

x = [x(1), v(1), x(2), v(2), ..., x(N-1), v(N-1), x(N), v(N)]'

Jos sitten valitaan käytettäväksi menetelmäksi vaikkapa kaikista helpoin finite difference -approksimaatio, niin derivaattoja voidaan approksimoida kaavoilla

x'(k) = (x(k+1)-x(k))/dt
v'(k) = (v(k+1)-v(k))/dt

Nyt ylempänä esitetyt tilayhtälöt voidaan esittää approksimatiivisesti muodossa

x(1) = x0
v(1) = v0
x(2)-x(1)-dt*v(1) = 0
v(2)-v(1)+(dt*k/m)*x(1) = 0
...
x(k+1)-x(k)-dt*v(k) = 0
v(k+1)-v(k)+(dt*k/m)*x(k) = 0
...
x(N)-x(N-1)-dt*v(N-1) = 0
v(N)-v(N-1)+(dt*k/m)*x(N-1) = 0

Nyt meillä on siis normaali lineaarinen yhtälöryhmä, joka voidaan esittää muodossa

A*x = b,

missä A on 2N x 2N -kokoinen matriisi



ja q = (dt*k/m).

Vektori b puolestaan on pituudeltaan 2N ja muodoltaan

b = [x0, v0, 0, 0, 0, ..., 0, 0, 0]'

Tilavektori x saadaan ratkaistua A:n käänteismatriisin ja b:n tulona:

x = A^(-1)*b.

Ja kappaleen paikka ajanhetkillä t0, t1, ..., tN saadaan siis ulostettua ottamalla parittomat alkiot x:stä ja nopeus puolestaan ottamalla parilliset alkiot x:stä.

Toivottavasti nyt ei hirveästi typoja tullut...