KESKUSTELU

Ratalaskuria olen aina silloin tällöin koodaillut, kielenä Python ja lähestymistapana ympyrät ja ellipsit. Kaikenlaista kivaa on matkan varrella päättynyt koodattuun muotoon, mutta jo hetken aikaa olen tuskaillut ellipsin tangentin kanssa.

Jos ratalaskurilla haluaa laskea ajotarpeita (delta-v) muillekin elliptisille siirtoradoille kuin Hohmannin puoliellipsille, niin pitäisi laskea ellipsin tangetti. Useimmat netistä löytämäni kaavat nojaavat analyyttiseen geometriaan (ellipsin ja tangenttisuoran esityksessä) eikä mun omat matemaattiset taidot riitä vääntämään niitä vektoreiksi.

Kysymys kuuluukin, että kuinka saadaan helposti laskettua ellipsin tangentin suuntavektori?

Tällä hetkellä ellipsit on esitetty periapsis-apoapsis -pareina (eli radan lähin ja kauimmainen etäisyys). Tästä voidaan tietysti ratkoa kaikenlaisia parametreja, esim. puoliakselit, keskipisteen sijainti ja niin edelleen. Valmiina on myös funktio, jolla saa laskettua paikan (x,y) ajan funktiona.

Tähän astisista löydöksistä paras on tämä (Java-koodia sivun jälkipuoliskolla):

http://content.gpwiki.org/index.php/Tan ... d_Ellipses

En vain ole vielä keksinyt, että mikä vektori esitetyllä funkkarille pitäisi syöttää: pitääkö sen olla paikkavektori ellipsin polttopisteestä kaarelle, keskipisteestä kaarelle vai mikä?

Ellipsin tangentti sivuaa ellipsiä
ellipsin kehän suuntaisesti eikä
tangentti ole kohtisuorassa
keskipisteen kanssa muutoin
kuin erikoistapauksessa "ympyrä"
ja siitä seuraa että polttopisteiden
kohtisuorat sivuajat muodostavat
ympyrät, jotka leikkaavat
ellipsiviivan.

Tottahan toki, mutta...



Juu, ja 0,90,180 ja 270 kulmilla, mutta...



...kuinka sillä tiedolla lasketaan tangenttivektori?

Parametrisoi ellipsi. Tai jos tuo paikan antava funktio on tarkka, laske numeerinen derivaatta. Eli paikka ajanhetkellä t+vähän - paikka ajanhetkellä t. Jos haluat nopeuden, jaat "vähällä", mutta tuo erotus on itsessäänkin radan tangentin suuntainen.

Ellipsiratojan dynamiikkaa on käsitelty perusteellisemmin Tähtietieteen perusteet -kirjassa.

Mitä se on? Myönnän suorilta, että mun matemaattisessa pohjassa on joitain ammottavia aukkoja...



Hyvä kun muistutit! Tätä olen tosiaankin silloin tällöin harkinnut - se voisi kyllä olla tähän hätään paras ratkaisu. Paikan antava algoritmi on kopsattu Tähtitieteen perusteet -kirjasta, ja muistelen, että iteroin sen loppuun saakka (eli flotarista loppuu tarkkuun), kun ei ole mitään syytä katkaista sitä kesken kaiken (tarpeeksi nopea sellaisenaan).



Joo, kyseinen kirja ja sen ratamekaniikkaosuus on kulunut käsissä.

Toteutin nyt tämän nopeusvektorin laskemisen tällä menetelmällä ja näyttää ihan hyvältä. Lasken paikat ajanhetkellä T, T+1 sec, T-1 sec, ja noista kolmesta paikkavektorista lasken nopeusvektorin, joka on miellyttävästi suoraan m/s. Kiitos Neutronille tuosta muistutuksesta, sitä huomaa nykyään unohtaneensa enemmän asioita kuin mitä muistaa.

Voi toki derivoida oikeastikin, sillä puoliakselien pituudet tiedettiin.

Ellipsi parametrimuodossa:
x = a cos t
y = b sin t

Differentiaalit:
dx = -a sin t dt
dy = b cos t dt

k = dy / dx = -b/a cot t

Tai jos ellipsi on ilmoitettu origokeskeisesti:
x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 (implisiittinen derivointi)
(bx)^2 + (ay)^2 = (ab)^2
2b^2 x + 2(ay)*a dy/dx = 0

k = dy / dx = -b^2 x / (a^2 y) = -(b/a)^2 * x/y

Tangenttivektori voidaan sitten esittää muodossa i + kj. Riippuu tietenkin tapauksesta, sopiiko tämä menetelmä mukaan.

Jep. Mutta jos tätä käyttää taivaanmekaanisissa laskuissa, joissa kappale kiertää toista painovoiman välityksellä, on syytä huomata kaksi oleellista asiaa.

1. Noiden yhtälöisen antaman ellipsin keskipiste on origo. Siinä koordinaatistossa se kierrettävä kappale on sivussa origosta.

2. Tuo t-parametri ei ole suoraan verrannollinen aikaan. Ratanopeus vaihtelee gravitaatiokentässä aivan eri tavalla.

Juu, noiden molempien asioiden kanssa on tullut tuuskattua, ja usein seottua ajatuksien ja laskelmien kanssa. Erityisesti ratanopeuden vaihtelu tekee kaikista aikaan pohjautuvista laskelmista monimutkaisia, ja siksi niiden kanssa on todella helppo kadottaa ajatus.