KESKUSTELU

Aika helppo tehtävä, mutta laitetaas vaikeampi:

Mulla on kolme metriä pitkä lieriömäinen säiliö, jonka ympärysmitta on tasan metrin. Säiliön seinämät ovat senttimetrin paksuiset. Lasken säiliöön paineilmaa siten että sinne syntyy ylipaine 1MPa. Paljonko ympärysmitta kasvaa keskeltä säiliötä mitattuna? Säiliöni on ruostumatonta terästä, kimmomoduuli on 200GPa ja poissonin luku 0,25.

Äh, nyt jone ja David vähän hämäännyitte. Keskustelu ajautui mielenkiintoisemmalle sivuraiteelle siksi, että Shriek ei maininnut aloituksessa kysymyksen koskevan ympyrää. Ei tässä mitään mystiikkaa tai algebraa olla harrastettu.

Minua kiinnostaisi edelleen tietää, onko ympärysmitalle olemassa yleisempää määritelmää kuten halkaisijalle.

Piiri eli ympärysmitta tarkoittaa tasokuvion reunaviivan pituutta. ... Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org/wiki/Piiri_(geometria). Jos haluaa määritellä toisin niin kai se on sitten selitettävä erikseen.

Juu. Tuo on toki selvä.

Reunakäyrän pituudessa on se ongelma, että se ei anna mitään kuvaa kuvion koosta. En siis hae piirin yleistystä vaan sellaista ympärysmittaa, joka vastaisi jotenkin sitä mittanauhalla mittaamista. Yhtenäisille joukoille ympärysmitta voisi kai olla jopa ulkomitta, mitä piiri ei missään tapauksessa ole, sillä edes monotonisuus ei täyty.

Hakusanoilla "convex perimeter" tulee joitakin osumia, mutta mitään pääsuonta ei vielä löytynyt.

Hei,



Tuota, ulkomitta ja mitta eroaa lähinnä siinä että edellinen on määritelty kaikissa tarkastelujoukon X osajoukoissa P(X), kun taas mitta on määritelty vain X:n sigma-algebrassa S(X). Tämän hintana on sitten se että ulkomitta ei ole additiivinen, kun mitta taas on, toki voi olla jossain yksinkertaisessa (äärellisessä ) tilanteessa S(X)=P(X). Ulkomitta on kai lähinnä apukäsite, jonka avulla voidaan osoittaa tietynlaisen mitan olemassaolo annetussa joukossa.


Tämä kuulostaa jo isoperimetriseltä probleemalta eli löydä suurin pinta-ala annetulla kehän pituudella. Tasokuviolle, jolle on annettu piirin pituus L pätee aina isoperimetrinen epäyhtälö 4 pi A<L^2, missä A on kuvion pinta-ala, yhtäsuuruus voimassa vain ympyrälle. Epäyhtälöllä on myös vastineensa muissa dimensioissa ja muissa yleistyksissä:--->Isoperimetric inequality

Kuinka määritellä piirin pituus yleisesti? Tietysti jos kuviolla on reuna, joka koostuu tasokäyristä, voidaan piiri laskea integroimalla, mutta haet varmasti jotain yleisempää?

Kysymys on hieman ongelmallinen, koska täytyisi määritellä ensiksi tarkasti kuvion X reuna R. Kun on löydetty hyvä reunan määritelmä voidaan etsiä seuraavaksi hyvä mitan (mittaamisen) käsite reunalle. Topologisen avaruuden reunan määritelmä on usein turhan yleinen, josta seuraa se että useimmat mitat tälläisellä reunalla ovat triviaaleja( =0 ym.) tai soveltamiskelvottomia.

Eräs kaukaa haettu lähestymistapa voisi olla Hausdorffin mitan käyttö reunan pituuden mittaamiseen/määrittelemiseen(Olettaen että reuna R on määritelty jollain tavalla). Tämä vaikuttaa turhan "järeältä" menetelmältä tasokuvion reunan pittuden so. mitan määräämiseen, mutta se on menetelmä joka yleistyy metriseen avaruuteen - ja mikä parasta tämän keskusteluketjun kannalta - se käyttää metrisen avaruuden joukkojen halkaisijoita apunaan ja vain niitä. Mitään muuta struktuuria ei oleteta.

Idea Hausdorffin mitalle on ylimalkaisesti kuvailtuna seuraava: Oletetaan metrinen avaruuus Y ja tarkastellaan Y:n osajoukkoa X. Peitetään X joukoilla {U_i} (i numeroituva indeksi), joille halkaisija diam(U_i)<e, summataan luvut diam(U_i)^d yhteen. Tuloksena peitteestä ja {U_i} ja luvuista e ja d riippuva luku H({U},e,d). Otetaan
inf H{(U},e,d) yli kaikkien peitteiden jolloin saadaan luku H(d,e). Hausdorffin ulkomitta X:lle on lopulta:

Hd(X)=lim_{e_->0}H(e,d)

Tällä ulkomitalla on sopiva rajoittuma, joka on mitta - Hausdorffin mitta, ja luku d on Hausdorffin dimensio. Sitten vaan lasketaan mitta reunalle= Hd(R).

Tälläisiä ajatuksia minulla oli.

Ihan kelpo alustava hahmotelma minusta. Tosin ongelmia tulisi jos Hausdorfin dimensio ei olisi fiksattu. Hausdorfin mittahan on oikeastaan kokoelma mittoja , joten saattaisi käydä reunalle A niin, että "ylemmässä dimensiossa" mitta olisi jotain a >0, mutta "alemmassa dimensiossa" A:n osajoukon mitta olisi jotain b > a > 0.
Mutta on minusta selvää, että jos kaksiulotteisen kappaleen topologisen reunan hausdorfin 1-dimensionaalinen (normeerattuna niin, että se antaa janalla (0,1) mitan 1) * mitta on ääreellistä, niin ainakin tämä on juuri sen kappaleen piiri. Äärellisyys on tässä aika kova vaatimus, kun ajatellaan esimerkiksi jatkuvien funktioiden niiden osajoukon, jotka eivät ole rajoitetusti heilahtelevia, kuvaajia,niin ne eivät ole ääreellisen pituisia ääreellisellä välillä. Ja abstraktissa mielessä lähes kaikki jatkuvat funktiot ovat tälläisiä.
Täällä http://en.wikipedia.org/wiki/Caccioppoli_set on tähän liittyvä asiaa. Nämä joukot joille piiri määritellään ovat sellaisia, että niiden indikaattorifunktio on rajoitetusti heilahteleva.

(*) huomautus lisätty jälkikäteen

Juuri näin. Tavallaan, jos on määritelty kappaleelle reuna R, täytyisi sitten tarkastaa tämän reunan Hausdorffin-dimensio d, ja käyttää sitten dimension arvoa d vastaavaa Hausdorffin mittaa. Nyt voi, kuten viittasitkin tulla ongelmia pituuden kanssa, koska yleensä (mainitsemassasi merkityksessä) reunat eivät ole äärellisiä.


Hausdorffin mitalle Hd pätee että, jos annetulle kappaleelle X lasketaan mittaa Hd(X), se on aina ääretön, kun mitan Hd luku d on pienempi kuin kappaleen Hausdorffin dimensio ja ja 0 kun d>kappaleen Hausdorffin dimensio, joten reunalla on yksikäsitteinen Hausdorffin dimensio ja siten vain kyseistä dimensiota vastaava Hausdorffin mitta Hd on käyttökelpoinen.

Nyt voi vielä käydä niin että reunan R Hausdorffin dimensio dim(R) on luvusta yksi poikkeava, (esimerkiksi Kochin lumihiutale ym) jolloin olisi piirin pituus laskettava käyttäen Hausdorffin mittaa dimensiolla dim(R).


Tutustun tähän ja kommentoin sitten myöhemmin. Kiitos linkistä!

Näin yleisenä kommenttina voisin sanoa että piirin käsite ei olekkaan aivan yksinkertainen, jos halutaan tehdä määrittely tarkasti. Mutta sellaista matematiikka on.

Niin, en nimenomaan ajanut takaa sitä reunan pituutta. Jos kysytään mikä on järven ympärysmitta, niin ryhdytäänkö sitä arvioimaan hiekanjyvätasolla, vai olisiko käytännössä kiinnostavampi tieto kuitenkin se, kuinka pitkä matka on kiertää järven ympäri?


Hmm... miksi oltaisiin kiinnostuneita muusta kuin siitä 1-ulotteisesta mitasta? Pituuttahan tuossa kai ollaan mittaamassa. Röpelöisen tasokuvion reuna voi tietenkin olla äärettömän pitkä.


Juu, ei toki, jos määritelmästä halutaan kovinkin yleinen.

Vaan se "kireän mittanauhan ympärysmitta", jota haen ("convex perimeter" kenties) voisi olla paljon piiriä (reunan pituus tms.) yksinkertaisempi. Konveksin joukon reunan mittaamisen ei kai pitäisi olla hankalaa, eihän?

Aivan mutta olisi outoa, että "piiri" olisi aidosti suurempi aidolla osajoukolle. Abskissa on oikeassa siinä, että piirillä yleensä tarkoitetaan pituutta. Tämä yllä oleva "piirin käsite" on enemmänkin yleistetyn pinnan mitta.

Öh, minulle käy kyllä jonkinlainen yleistetty pinta. Ihmettelin vain sitä, että miksi tasokuvion reunaa mitattaisiin muulla kuin 1-ulotteisella mitalla (vaikka kyseessä olisi fraktaalimainen kuvio). Muutenkaan en näe tässä mitään tarvetta niille ei-kokonaisulotteisille Hausdorff-mitoille.

Vaan jos halutaan vaikka mitata, kuinka paljon paperia tarvitaan kappaleen käärimiseen, niin eihän silloin olla kiinnostuneita kappaleen pinta-alasta.

Ok, ymmärsin väärin, siksi kirjoitin siinä yleisessä muodossa.

Tuo konveksi joukon reuna on tuossa kireän mittanauhan mielessä oikein hyvä, minun mielestäni. Eikös tuon piirin silloin voisi määritellä siten että valitaan mikä tahansa kappaleen K peittävä monikulmio M, ja lasketaann sen piirin pituus ja sitten otetaan infimum kaikista peittävistä monikulmioista? Tämä pituus on sama kun konveksin verhon reunan pituus eli kireä mittanauha?



Joo, ymmärsin väärin mitä haettiin takaa.

No, jos se pinta-ala on nolla, silloin käy mielivaltaisen vähän paperia. Mitä muuten tarkoitat kappaleella, onko se yhtenäinen? Jos on niin millä tavalla? Mikä on sen dimensio?
Esimerkiksi pisteet tasoyksikköneliön kulmissa pystyt ympäröimään neljällä mielivaltaisen pienellä mittanauhalla, mutta jos käytät yhtä mittanauhaa niin sen pituus >= 4.

Mikä ihme lainaus tämä on?
Cantorin joukko on tietenkin topologisesti ekvivalentti vain toisen Cantorin joukon kanssa, mutta tällä toisella Cantorin joukolla voi olla positiivinen mitta R:ssä.