KESKUSTELU

jos x,y ovat reaalilukuja ja epsilon>0 mielivaltainen ja tiedetään, että abs(x-y)<epsilon, niin miten osoittaa, että tällöin on väistämättä x=y?

Vastaoletus x<>y. Tällöin epsilon = abs(x-y)>0, mutta ei ole abs(x-y)<epsilon.

miten tarkalleen osoittaa, että abs(x-y)<epsilon ei pidä paikkaansa? Siis tuossa vastaoletuksen tapauksessa tietysti..

Kaksi vaihtoehtoa: joko x-y on 0 tai ei ole 0. Jälkimmäisestä tapauksesta seuraa se, että abs(x-y) on positiivinen reaaliluku. Merkitään sitä A:lla. Tällöin valitsemalla vaikkapa epsilon=A/2 (se on laillinen valinta, koska epäyhtälön piti päteä kaikkilla positiivisilla reaaliluvuilla) johtaa tilanteeseen A=abs(x-y)<A/2. Tämä ei voi olla mahdollista. Siispä x-y on oltava 0.

Asian ymmärtäminen on lähtökohtana korkeamman matematiikan tajuamiseen.
Kannattaa miettiä esimerkiksi tätä aluksi. Luku x on joku kiinteä reaaliluku.
n on posit. kokonaisluku. Tiedetään, että x< 1/n kaikille n:n arvoille. Mikä x on?
Vastaus emme voi sanoa. Esim. -30 kelpaa.
Jos sitten sanotaan, että x ei saa olla negatiivinen, tilanne muuttuu. "aloitteleva" matemaatikko sanoo, että x on joku oikein pieni luku, tai äärettömän pieni luku.
Nyt pitäisi tajuta, että x on kiinteä luku. Se ei ole milloin mitäkin, koska n:ää kasvattamalla sen pitää olla mitä tahansa positiivista rajaa pienempi. Ainoa tällainen kiinteä luku on 0.
Tätä kannattaa funtsia, kunnes se tuntuu itsestäänselvältä. Sitten voi ajatella 1/n:n paikalle sen epsilonin.

Etsi kaksi eri suurta lukua x, y, joiden abs(x,y) < epsilon.
Esimerkiksi x = 1/4 * epsilon ja y = ½ * epsilon.

koska Epsilon on vain juuri ja juuri suurempi kuin nolla,
ainoa ei-negatiivinen luku joka on pienempi kuin Epsilon, on 0.
Siis abs(x -y) = 0. Yhtälö toteutuu vain jos x=y.

Ehh... Jos epsion =abs(x-y), niin abs(x-y)<epsilon ei pidä paikkaansa, sillä
abs(x-y) < abs(x-y) ei pidä paikkaansa.

Muuten: tuo edeltävä kurremuksen "todistus" ei itse asiassa ole todistus, siinä vain väite toistetaan eri sanoin.

Usein kai reaalilukujen aksiomatisoinneissa trikotomian laki on yksi aksioomista:

Kahdelle realliluvulle x ja y pätee täsmälleen yksi vaihtoehdoista x < y, x = y tai y < x

Koska epsilon = abs(x - y) ei voi olla epsilon < abs(x - y).

En kyllä tiedä onko järkeä vastata tällaisiin kysymyksiin ellei käytetty aksioomajärjestelmä ole tiedossa...

Tekisin todistuksen tähän tapaan vastaoletuksella:

Oletetaan että x ei y ja abs(x-y)<epsilon, kaikilla epsilon>0.

Nyt, koska x ei y, on abs(x-y)=a, missä a jokin reaaliluku. Koska a posit. Voidaan valita epsilon=a/2, jollon abs(x-y)<epsilon ei päde. Tämä on ristiriita. Täytyy siis olla x=y.

Mandod: Todistuksesi on virheellinen. Epsilonin tulee olla mielivaltainen luku, ei kiinteä a/2. Minä tekisin muuttujanvaihdon z=x-y, jolloin todistuksessa ei tarvitse pyörittää kuin yhtä muuttujaa.

abs(x-y) < e <=> e > x-y > -e => y+e > x > y-e => x = y

Todistus on ihan pätevä. Jos epäyhtälö pätee kaikilla epsilon>0, niin päteehän se myös arvolla a/2, joka on positiivinen.

Miksi selvä toteamus pitäisi todistaa. Jos a > b on selvää, että b < a.
Jos e > 0 niin 0 < e, jos abs(x-y) < e niin abs(x-y) = 0 eli x = y kun e mikä tahansa reaaliluku > 0

Todistus on tosiaan pätevä. Epsilon voi hyvinkin olla kiinnitetty sillä oletushan sanoo "kaikilla epsilon>0...". Todistus siis osoittaa, että mille tahansa luvuille x ja y löytyy ainakin tuo kyseinen epsilon. Äärettömästi epsiloneja saa helposti: a/n, missä n>1.

Viestiketjun aloittaja kirjoitti "mielivaltainen epsilon>0..." joka kuitenkin tarkoittaa samaa kuin "kaikilla epsilon>0..."