KESKUSTELU

Mikä on asiasta mitään ymmärtävien plus Davidin mielipide, miksi Jordanin käyrälause ei ole trivaali tulos?

"Jordanin käyrälauseen mukaan jokainen
Jordanin käyrä (itseään leikkaamaton suljettu käyrä), esim. ympyrä, jakaa tason täsmälleen kahteen osaan, käyrän rajaamaan rajoitettuun sisäosaan ja ulkopuollelle jäävään rajoittamattomaan osuuteen."
http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_curve_theorem

En tiedä asiasta oikeastaan yhtikäs mitään, joten turvaudun linkkiin http://math.stackexchange.com/questions/61849/why-is-the-jordan-curve-theorem-not-obvious.

Minusta taustalla on matematiikan täsmällisyys. Kaikki tulokset pitää pystyä palauttamaan aksioomiin. Kun ei ole keksitty helppoa tapaa saada tulos aksioomista, joudutaan kehittämään ensiksi tarvittava koneisto. Ks. http://mathoverflow.net/questions/8521/ ... ve-theorem

Täyty ottaa asiasta selvää ku alko kiinnostaan.

Annetaan Jordanin lauseesta ensin toinen aivan vastaava versio:

"itseään leikkaamaton (yksinkertainen) suljettu käyrä jakaa tason täsmälleen kahteen osaan: käyrän sisälleen rajaamaan sisäpisteiden joukkoon ja käyrän ulkopuollelle jäävään ulkopisteiden joukkoon."

Todistuksessa tulee ensin määritellä käsitteet sisäpiste ja ulkopiste. Yksinkertaisuuden vuoksi otetaan vain monikulmioita, esim. neliö, viisikulmio tai yleisemmin mikä tahansa yksinkertainen suljettu murtoviiva.

Valitaan jokin suunta tasossa ja piirretään puolisuora lähtien pisteestä p, jolloin puolisuora voi leikata yksinkertaisen suljetun käyrän P. Kyseinen puolisuora leikkaa käyrän P parillisen monta kertaa, jos p on ulkopiste, ja parittoman monta kertaa, jos p on sisäpiste. p ei saa olla käyrällä P, eikä puolisuora minkään käyrän P sivun suuntainen.

Edeltävä määritelmä on selkeä, sillä piste p voidaan yhdistää johonkin toiseen pisteeseen, joka on kaukana käyrästä P ja näin taatusti ulkopiste, jolloin sääntö voidaan päätellä. Sisäpisteiden joukkoa vastaa B ja ulkopisteiden joukkoa A.




Nyt kun alkuperäinen kysymys on kristallin kirkas, niin itse todistus vaatii seuraavat osat:
1. Valitaan puolisuoraa vastaava suunta tasosta.
2. Osoitetaan, että jos joukkoon A kuuluva piste yhdistetään murtoviivalla joukon B pisteeseen, niin murtoviivan tulee leikata käyrä P.
3. Osoitetaan, että joukkoon A (tai vastaavasti B) kuuluvat kaksi pistettä voidaan yhdistää murtoviivalla, joka ei leikkaa käyrää P.

Edeltävän osoittaminen menee jo käsiäheiluttamalla, mutta yleisempien käyrien tapauksessa koko lähestymistapa kosahtaa, kun käyrän reunan käsite ei olekaan enää yksinkertainen. Esimerkiksi fraktaalin tapauksessa ei mitään puolisuoria voida piirtää ja havaita äärellistä määrää leikkauspisteitä, jolloin on epäselvää onko jokin piste sisä- vaiko ulkopuolella, mutta Jordanin lauseen tulee intuitiivisesti pitää kuitenkin paikkansa. Silloin tulee ottaa itseään nenästä kiinni ja hypätä topologian paskaaltaaseen...



Koko ongelma siis liittyy sisä- ja ulkopuolen problematiikkaan patologisten käyrien tapauksessa. Yleensä ollaa kiinnostuneita vain jatkuvuudesta, jolloin todistus vaikkapa funktioiden väliarvolauseeseen on helppo.

Mutta puolisuora voi leikata topologin sinin tapaisen käyrän äärettömän monta kertaa, joten sisäpisteen määritelmä ei ole pätevä. Kannattaa pysyä ihan vaan perinteisessä topologian oppikirjojen määritelmissä, niin ei tule ongelmia.

No ainakaan mun oppikirjoissa topologin sinikäyrä ei ole Jordanin käyrä...


EDIT: Tietenkään en ny omasta päästä ala lateleen määritelmiä uusiks, vaikka jotkut sitä näissä tiede.fi-keskusteluissa harrastaakin. Tuo sisä- ja ulkopisteiden määritelmä taitaa olla ihan Camille Jordanin käsialaa kun hän alko pohtiin tätä ongelmaa.

Lähde todistukseen
The Jordan Curve Theorem for Polygons

Tarkoitin vain sen tapaista kuviota, jossa reuna on niin monimutkainen, että puolisuora leikkaa sen äärettömän monta kertaa. Koska ääretön ei ole parillinen eikä pariton, niin ei voitaisiin puhua sisä- tai ulkopisteistä.

Fraktaali on just sellainen kuvio ja leikkauspisteiden määrä kasvaa jokaisella iteraatiolla.

Kun reunasta ei voida sanoa juuta eikä jaata (muuta kuin jatkuvuus), niin yleisen tapauksen todistuksessa tarkastellaan polkuyhtenäisten joukkojen suhteita sekä niiden homeomorfismeja.

En ymmärrä asiasta mitään, mutta mutta.

Jos kuvio F on jana, sen pienennöksiä mahtuu suoralle 1 / γ kappaletta. Jana voidaan siis jakaa vaikkapa neljään osaan, jolloin n = 4 ja γ = 1 / 4, jolloin fraktaalidimensioksi D saadaan yksi, kuten tietysti pitääkin. Neliön taas voi jakaa vaikkapa yhdeksään pienempään neliöön mittakaavassa 1 / 3, jolloin vastaavasti D = 2. (Tällainen itsesimilaarinen jako ei päde esimerkiksi ympyrälle, sillä silmukatonta sulkeutuvaa käyrää ei voi jakaa samankaltaisiin pienempiin osiin.)

ts. Jordanin käyrä ei ole murtojoukko.

http://en.wikipedia.org/wiki/Polytope

..."p ei saa olla käyrällä P, eikä puolisuora minkään käyrän P sivun suuntainen."

Onko tuo lumihiutalefraktaali muka Jordanin käyrä?

Eikös noiden kulmien summa ole ja pysy 180 asteessa? (Eiku nollahan siitä tulee Neliö/ympyrä 360. Luupin kanssa 0 tai 720, riippuen onko luuppi luupin sisällä vai ulkona.)

Paitsi että eikös tossa P ole määrittelemätön? Tai sitten määritellä erikseen murtopisteitä sen mukaan missä vaiheessa ne päätyvät kuvion sisälle? Siten kolmion sisällä on sisäpisteet ja kolmion ulkopuolella ulkopisteet-"murtopisteet"

Ai sille on joku kaaospelikin.

E: Tarkoittaakohan toi mun höpöttely nyt sitten sitä, että Hausdorffin dimensio on luuppi. (Siis ei-kokonaisluvullinen D)

Sitten mä tajusinkin kovin triviaalin asian. Jos mä teen kolme silmukkaa (kiekkoa) jotka eivät leikkaa toisiaan kuin yhdestä pisteestä, niin se toimii kuin ohmin laki. Neljällä kuin sähkömagnetismi. (kahdella pyörimisakselilla)