KESKUSTELU

Matematiikan yohon kertaillessa tuli seuraava tehtävä vastaan. Aika perus todennäköisyyslaskuhan tuo varmaankin on, mutta odotusarvoa ei (muistaakseni) käsitelty juurikaan kyseisellä kurssilla.

A, B, C ja D aikovat jakaa keskenään korillisen omenoita siten, että kukin vuorollaan ottaa aina yhden omenan. Korissa olevien omenoiden lukumäärää ei tiedetä. A ehdottaa vedonlyöntiä: jos jokaiselle tulee yhtä monta omenaa, A maksaa kolmelle muulle kullekin 50 euroa. Muussa tapauksessa kukin kolmesta maksaa A:lle 25 euroa. Laske A:n saaman rahamäärän odotusarvo.

Tattista avusta jo valmiiksi.

Eli todennäköisyys on 50%

A:lla on panoksena 150€

B,C ja D:llä on panoksena 75€

Toisin sanoen A lyö vetoa kertoimella 1,5

B,C, ja D kertoimella 3,0

A:n vedon oa: (50/100)*1,5=0,75

Eli todella huono veto A:n kannalta mutta erittäin hyvä muiden.

Edit. Möhlin todennäköisyys että ei tule kaikille samaa on 75% joten

A:n vedon oa: (75/100)*1,5=1,13

Eli hyvä veto A:n kannalta.

Todennäköisyys, että kaikille tulee sama määrä omenoita on vain 1/4.
Edit: Huomasit jo!

Laske neljä kierrosta, joista yksi on tasan.
Voiton (rahamäärän) odotusarvon saat laskemalla paljonko rahaa tulee keskimäärin kierrosta kohti.
(3*3*25-1*3*50)/4
Odotusarvo on tässä tapauksessa euroja, ei mikään suhdeluku.

Tehtävä on huono. "Korissa olevien omenoiden lukumäärää ei tiedetä" on epämääräinen lause. Lukumäärällä on satunnaismuuttujana jokin jakauma (joka ilmeisesti pitää olettaa tasaiseksi), ja sillä on myös arkijärjellä ajatellen oltava jokin yläraja; korin tilavuus on luultavasti äärellinen. Alarajan voisi kai muuten olettaa olevan yksi, mutta monikkomuoto voi johtaa ajattelemaan, että omenoita on oltava vähintään kaksi. Satunnaismuuttujan ylä- ja alaraja vaikuttavat tehtävän ratkaisuun.

Esimerkiksi: jos omenoita on tasaisella jakaumalla 2-6, niin jokaisen vaihtoehdon todennäköisyys on 20%. A:lle edullisia tapauksia ovat 2, 3, 5 ja 6 -- siis 4/5. Jos taas omenoita on tasaisella jakaumalla 2-5, niin jokaisen vaihtoehdon todennäköisyys on 25%. A:lle edullisia tapauksia ovat tällöin 2, 3 ja 5 -- siis 3/4.

Oikea vastaus on siis se, että tehtävä on huonosti muotoiltu.

Niin A saa jokaista sijoittamaansa euroa kohden keskimäärin 1,13 euroa takaisin jos tapahtuma toistettaisiin x kertaa.

Joka neljäs luku on neljällä jaollinen eli tappion odotusarvo on 0,25*150 = 37,5 euroa. Muissa tapauksissa A voittaa eli voiton odotusarvo on 0,75*75 = 56,25 euroa.

56,25-37,50 = 18,75 euroa.

Tehtävä ei kuitenkaan anna mitään perustetta olettaa, että X mod 4 jakautuu tasaisesti arvoille 0-3. Siksi sitä ei voi tuollaisenaan ratkaista.

Tuon kaltaiset epämääräisyydet matematiikan oppikirjoissa (sellaisesta tämäkin kai on peräisin) ovat omiaan sotkemaan opiskelijan ajatuksia. Ei ole ihme, että matematiikka on monille täyttä hepreaa.

Jos oltaisiin kiinnostuttu omenoiden lukumäärän eniten merkitsevästä numerosta, niin jakaumaa tuntematta voitaisiin (ehkä perustellustikin) soveltaa Benfordin lakia. Viimeisen numeron (base 4) jakauma on sen sijaan täysin pimennossa kun satunnaismuuttujan jakaumaa ei tarkasti tunneta.

Skipe

Tämä on se mitä käsittääkseni tehtävä haki. Minä laskin vedonlyöjänä vedon oa:n.

Menestystä kirjoituksiin!

Tällainen kritiikki on ymmärrettävää, sillä olemme tottuneet matematiikan tehtävissä eksaktiin ilmaisuun. En silti ole sitä mieltä, että tehtävä olisi huono. Yleensä pyydän vastaavassa tilanteessa oppilasta ajattelemaan, että kirjan tai kokeen sijasta epämääräisen tehtävän esittikin hänen opiskelijatoverinsa, jolla ei todella ole mitään lisätietoja asiasta. Tällöin on helpompi ymmärtää, että arkielämässä voi usein joutua pohtimaan vajain lähtötiedoin annettuja tehtäviä.

Tehtävän ratkaisemisessa joutuu sitten olettamaan tilanteesta jotain, mitä ei tehtävässä itsessään ole sanottu. Tässä tapauksessa luontevinta (lukiolaiselle) on varmaankin olettaa, että kaikki saavat yhtä monta omenaa vain todennäköisyydellä 0,25. Nämä oletukset pitää sitten kirjata ylös, ja ratkaista tehtävä siltä pohjin. Jos itse on tyytymätön saamaansa tulokseen, voi senkin perustellusti kirjoittaa näkyviin. Näin tehdään arkielämässäkin.



Varoittaisin ylioppilaskirjoituksiin harjoittelevia ajattelemasta näin. Monikkomuodosta ei saisi päätellä, että omenoita ei voi olla vain yksi. Monikkomuoto on valittu siksi, että tehtävänannon halutaan olevan mahdollisimman yksinkertainen. Sanamuoto mutkistuu aivan turhaan, jos tehtävään on pakko erikseen kirjata, että omenoita voi olla myös yksi.

Tämä omenatehtävä oli syksyn 2009 pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tehtävä 7. Muistakaahan kirjoituksiin treenaavat, että edellisten vuosien ylioppilaskokeet ratkaisutiivistelmineen löytyvät osoitteesta http://matta.hut.fi/yoteht/.

Voi hyvä sylvi! Toisen mielestä korillinen omenoita on ainakin kaksi omenaa, toisen ainakin yksi.
Kyllä teidän pitää huolellisesti miettiä myös tapausta, jossa koriin ei mahdu yhtään omenaa.

On tuhannen hiukan eri kokoista koria. Ne täytetään omenoilla (omenoita laskematta), joiden koko vaihtelee. Lisäksi täyttäjien käsityksissä täydestä korista on eroja.
Mitä syytä sinulla on epäillä, etteikö noin nelhäsosa koreista sisällä neljällä jaollisen määrän omenoita? Jos sitten yksi kori näistä otetaan erilleen, mitä syytä on epäillä neljällä jaollisen määrän poikkeamista 25 %:sta?

Ongelma on tuossa "noin" sanassa. Kyse on matematiikan tehtävästä. Jos omenoita on 1-2, niin määrä ei ole koskaan neljällä jaollinen. Satunnaismuuttujaa ei määritellä tehtävässä kunnolla.

Mutkistuuhan se sanamuoto, jos tehtävä pitää kirjata täsmällisesti. Onko se liikaa vaadittu matematiikan tehtävältä?

Ongelma tuossa tehtävässä on se, että satunnaismuuttuja ilmaistaan niin epätarkasti, että oikeaa ratkaisua ei voi antaa. Kun satunnaismuuttujan ylä- ja alarajaa ei anneta, ne pitäisi jostain itse määrätä. Tällöin noihin sanamuotoihin voi kiinnittää huomiota. Epätoivoistahan se on, mutta jos tehtävä on muotoilultaan jätetty puolitiehen, niin on kai pakko säveltää loput itse.

Minä suosittelisin yo-kirjoittaville jättämään väliin huonosti tehdyt tehtävät.

Voi ziisös! Kuka noita tehtäviä oikein tekee?