Pitkän matematiikan 1982 YO-kokeen tehtävästä

Siismitä · **Liittynyt:** Su Kesä 12, 2011 3:20 pm **Viestit:** 6

Elikkäs pitkän matematiikan syksyn 1982 YO-kokeen tehtävä 9 b:hen haluaisin kuulla ratkaisu menetelmän. Tehtävä:

Määritä lausekkeen sin(2x + π/6 ) tarkka arvo, kun tan x = 2.

Sain tehtävän perjaatteessa ratkaistua. Vastaus on funktion, a=sin(2x + π/6 ), f(x)=3a-4a^3+117/125, yksi nollakohta yksi, mutta veikkaan että tehtävään on helpompikin ratkaisu.

sakvaka · **Liittynyt:** To Elo 24, 2006 4:44 pm **Viestit:** 175

Veikkaan että tuo sinilauseke pitää avata sinin summakaavalla ja sitten muuntaa tangentti siniksi (ja kosiniksi) MAOL:istakin löytyvällä tangenttikaavalla. En ole tosin vielä kokeillut.

jjw · **Liittynyt:** Ma Syys 20, 2010 1:22 pm **Viestit:** 102

sakvaka kirjoitti:

Veikkaan että tuo sinilauseke pitää avata sinin summakaavalla ja sitten muuntaa tangentti siniksi (ja kosiniksi) MAOL:istakin löytyvällä tangenttikaavalla. En ole tosin vielä kokeillut.

sin(x) ja cos(x) saadaan pythagoralla: tan(x)=2 -> sin(x)=2/sqrt(5) ja cos(x)= 1/sqrt(5)
sinin summakaavalla saadaan sin(2x) = sin(x+x) = .....
ja edelleen alkuperäinen lauseke sinin summakaavalla.
pi/6 = 30 astetta, jonka sini ja cosini tunnetaan.
Sain vastaukseksi (4sqrt(3)-3)/10

PPo · **Liittynyt:** Ke Joulu 10, 2008 11:10 am **Viestit:** 821

jjw kirjoitti:

sakvaka kirjoitti:

Veikkaan että tuo sinilauseke pitää avata sinin summakaavalla ja sitten muuntaa tangentti siniksi (ja kosiniksi) MAOL:istakin löytyvällä tangenttikaavalla. En ole tosin vielä kokeillut.

sin(x) ja cos(x) saadaan pythagoralla: tan(x)=2 -> sin(x)=2/sqrt(5) ja cos(x)= 1/sqrt(5)
sinin summakaavalla saadaan sin(2x) = sin(x+x) = .....
ja edelleen alkuperäinen lauseke sinin summakaavalla.
pi/6 = 30 astetta, jonka sini ja cosini tunnetaan.
Sain vastaukseksi (4sqrt(3)-3)/10

Jos oikein tarkkoja ollaan, niin sin(x)= +-2/sqrt(5) ja cos(x)= +-1/sqrt(5).
Kysytyn lausekkeen arvoa laskettaessa joudutaan laskemaan sinin ja kosinin tulo, mikä pysyy samana, joten vastaus toki on oikein.

Siismitä · **Liittynyt:** Su Kesä 12, 2011 3:20 pm **Viestit:** 6

Kiitos paljon! Oon jotenkin ton summakaavan jättänyt kokonaan huomiotta. Onneksi tuli tuollainen käytännön esimerkki niin muistaapahan sitten jatkossa ainakin.

Lähdin yhtälöä ratkaisemaan vähän kiertäen: sin(2x+π/6)=sin(y), joten sin(6x+π/2)=sin(3y)=-cos(6x), ja sitten kaksinkertaisten ja kolminkertaisten kulmien avulla ratkaisin -cos(6x)=-117/125. Tästä saatiin että sin(3y)=3sin(y)-4sin(y)^3=-117/125.

jkiukko · **Lähetetty:** Ma Tammi 30, 2012 10:59 am

Tangetin kuvaaja on käyrien joukko, joista yksi
kulkee origon kautta ja lähestyy ääretöntä,
kun argumentti x lähestyy pii/2:sta. Tanx
saa arvon 2 tällä käyrän pätkällä ja uudestaan
aina x= n*pii:n välein.

EeTee · **Lähetetty:** Su Helmi 05, 2012 12:47 am

Ei tuossa ole pakko käyttää trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja. Ratkaiset vain x:n tangenttiyhtälöstä ja sijoitat sen arvon sinilausekkeeseen. x:lle tulee joku jaksollinen arvo, mutta nopeasti vilkaistuna näyttää siltä, että sinilauseke antaa silti vain yhden tai korkeintaan kourallisen erilaisia vastauksia.

PPo · **Liittynyt:** Ke Joulu 10, 2008 11:10 am **Viestit:** 821

EeTee kirjoitti:

Ei tuossa ole pakko käyttää trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja. Ratkaiset vain x:n tangenttiyhtälöstä ja sijoitat sen arvon sinilausekkeeseen. x:lle tulee joku jaksollinen arvo, mutta nopeasti vilkaistuna näyttää siltä, että sinilauseke antaa silti vain yhden tai korkeintaan kourallisen erilaisia vastauksia.

Tangenttiyhtälöstä saadaan x:lle ainoastaan liki-arvo, joten kysytylle sinilausekkeellekin saadaan liki-arvo. Veikkaan, että YTL:n sensorit ei moisesta suorituksesta pisteitä jakele.
Sinilausekkeelle tulee täsmälleen yksi arvo, kuten aiemmista viesteistä hyvin käy ilmi.

EeTee · **Lähetetty:** Su Helmi 05, 2012 6:20 pm

PPo kirjoitti:

Tangenttiyhtälöstä saadaan x:lle ainoastaan liki-arvo, joten kysytylle sinilausekkeellekin saadaan liki-arvo. Veikkaan, että YTL:n sensorit ei moisesta suorituksesta pisteitä jakele.
Sinilausekkeelle tulee täsmälleen yksi arvo, kuten aiemmista viesteistä hyvin käy ilmi.

Ah, MAOL:ista ei löydy tarkkaa arvoa arctan 2:lle... Ei toki ihmekään kun vastaus on noinkin monimutkainen. No sitten menee kaavanpyörittelyksi. Mutta noin voi ainakin tarkastaa tuloksen.

KESKUSTELU

Pitkän matematiikan 1982 YO-kokeen tehtävästä

Paikallaolijat