KESKUSTELU

Yhden toiston tuloksena voi olla x määrä tappiota tai x määrä voittoa, kumpikin todennäköisyydellä 0,5. Koe toistetaan n kertaa. Alussa on rahasumma 0. Miten lasketaan todennäköisyys, jolla rahasumma menee missään vaiheessa kokeen aikana yli 1000 tai alle -1000? x on suuruusluokkaa 10-100 ja n on suuruusluokkaa 100.

Mistä tuohon peliin ilmestyy rahaa ja kuinka paljon?

Pelin pelaaja valitsee arpoja, joiden kaikkien nimellisarvo on x, jonka voi voittaa tai hävitä. Valinnan tuloksena voi olla x määrä tappiota tai x määrä voittoa, kumpikin todennäköisyydellä 0,5. Tämä toistetaan n kertaa. Tarvitsen kysyttyä todennäköisyyttä, jotta voin määrittää sopivan x:n arvon, jolla pelaajan voitot tai tappiot eivät todennäköisesti kasva liian suuriksi pelin aikana.

" missään vaiheessa kokeen aikana" tekee tehtävästä ongelmallisen. Pittää mietiskellä ja toivoa ......

Pidempään pohtimatta saattaa todennäköisyys lähestyä rajatta 100%. Ehkä kannattaisi tutkia pelimäärän odotusarvoa tuolle rajalle pääsemiseen tietyllä todennäköisyydellä....

Luulen, että tämä tehtävä on ratkaistavissa 'Random walk'- tyyppisllä päättelyllä.
Määritellään funktio r(n) seuraavasti
r(0)=0
r(n+1)=r(n) +1 'voitto'
r(n+1)=r(n) -1 'tappio'
Täten r(n) ilmoittaa voittojen ja tappioiden erotuksen n:ssä toistossa.
Sovitaan että n=100 ja x=50. Tällöin ehdot ovat
50*v-50*(100-v)>1000 tai 50*v-50*(100-v)< -1000 eli
v>60 tai v<-60--->v-t>20 tai v-t<-20.
Tarkastellaan komplementtia -20<=r(100)<=20.
Kyseeseen tulevat r:n arvot ovat r(100)= -20,-18,.......-2,0.2...........18,20. jotka on tutkittava erikseen.
Kaikkien funktioiden r lukumäärä on 2^100. Lasketaan funktioiden r lukumäärä joille
r(100)=0--->v=50 ja t= 50.
Saadaan C(100,50). Vähennetään näistä ne, jotka saavat arvon 21 tai -21.
Näiden lukumäärä on C(100, 71) ( heijastusperiaate)
Samaan tapaan käydään läpi muutkin r:n arvot.
Pitkä ja puuduttava tehtävä mutta saattaa johtaa oikeaan ratkaisuun

Simuloinnilla sain tällaisia tuloksia.
N=100 ja simulointikierroksia 100000
tn on todennäköisyys sille, että voitto tai tappio ylittää 1000, jolloin kierros keskeytettiin

x tn
10 0.0
20 0.0
30 0.00129
40 0.02452
50 0.09117
60 0.17808
70 0.26634
80 0.38741
90 0.46397
100 0.63544

Tehtävä tässä muodossa ei ole herättänyt mielenkiintoa ja syyt ovat ilmeiset.
Yritän muotoilla tehtävän hieman inhimillsemmksi kuitenkaan tehtävän luonnetta pahemmin muuttamatta.
Peli käsittää 10 perättäistä rahan heittoa. Pelaaja voittaa euron, jos tulee kruunu. Pelaaja häviää euron, jos tulee klaava.Tehtävänä on laskea todennäköisyys sille, että pelaaja on jossakin vaiheessa peliä voitolla (vähintään) kolme euroa. Toisin sanoen pelaajan voittojen (v) ja tappioiden (t) erotus v-t=3 (>3) josskin pelin vaiheessa.
Jos tehtävä ei muuten selviä, se voidaan selvittää käymällä läpi kaikki kymmenen heiton sarjat. Niitähän on ainoastaan 1024 kappaletta. Simulointiikin tehtävä sopinee erinomaisesti. Tämä Korantille tiedoksi.

Olenhan toki intohimoinen simulointien vääntäjä mutta vielä painiskelen tuon kaljalasiongelman parissa. Aina välillä voi kumota lasillisen kurkkuseen.

Kävin läpi kaikki sarjat. Tai oikeastaan kirjoitin pascalin kolmiosta vinon version.Kymmenellä se kävi äkkiä ihan käsipelillä. Haettu todennäköisyys on 102/1024.Ei kun 352/1024
Alkuperäinen tehtävä ei viehättänyt epäselvyytensä vuoksi, siinä ei tarkasti sanottu mitä pitäisi laskea. Sellaiset suuruusluokkajutut voidaan valita liian monella tavalla. Ratkaisusta tulee liian moniosainen.
Tehtävä on yhtä helppo vaikka myös tappiot rajoitettaisiin 3 euroon.

Eli supistettuna 11/32. Samaan päädyin minäkin joten lienee oikein

Jos tappiotkin rajoitettaisiin 3 euroon, pitäisi kolmiota nakertaa toisestakin laidasta.
Jompikumpi voitot tai tappiot nousisivat jossain välissä 3 euroon 700 tapauksessa.
Joissain tapauksissa molemmat.

Kummalla laskuvirhe? Päädyin itse 702:een tapaukseen.

Laskelma on näkyvissä, virhettä en näe. En kylläkään tiedä, voiko näitä laskea tällä tavalla.
Kuinka päädyit tulokseesi?

Merkitään e=v-t. Tehtävä e=3 (>3) tai e=-3 (<-3) jossakin pelin vaiheessa
Komplementti -2<=e<=2 koko pelin ajan. e:n mahdolliset arvot ovat -2, 0, 2.
e=2 , eli v=6 ja t=4. Tällaisia pelejä on C(10,6) kpl.
Näistä peleistä sellaisia, joissa e saa arvon 3 on C(10,3) (heijastusperiaate random walk'issa)
Näistä peleistä sellaisia, joissa e saa arvon -3 on C(10,1)-->e ei saa arvoa 3 on
C(10,6) -C(10,3)-C(10,1) = 80.
Tapaus e = -2 on symmetrinen, eli lisätään 80
Tapaus e = 0 eli v=t=5. Tällaisia pelejä on C(10,5) kpl
Näistä peleistä sellaisia, joissa e saa arvon 3 on C(10,2)
Näistä peleistä sellaisia, joissa e saa arvon -3 on C(10,2)-->e ei saa arvoa 3 on
C(10,6) -C(10,2)-C(10,2) =162--->
e saa arvon 3 tai -3 lukumäärä on 2^10-(2*80+162)=702
.