Akhilleus ei saa koskaan kilpikonnaa kiinni, väittää kuuluisa paradoksi, joka perustuu äärettömyyden väärin ymmärtämiseen. Kun intuitio pettää, pitää vain luottaa matematiikkaan.


joka perustuu äärettömyyden väärin ymmärtämiseen. Kun intuitio pettää,
pitää vain luottaa matematiikkaan.

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Sisältö jatkuu mainoksen alla


Kreikkalainen Zenon Elean kaupungista esitti 2 500 vuotta sitten ajatusleikin, joka on siitä pitäen ainakin hetken kiusannut jokaista matematiikasta, filosofiasta tai logiikasta kiinnostunutta.

Zenon pyysi meitä kuvittelemaan kilpajuoksun kuuluisan sankarin Akhilleuksen ja kilpikonnan kesken. Koska kilpikonna on hitaampi, sille pitää antaa etumatkaa. Oletetaan vaikka, että Akhilleus on kymmenen kertaa niin nopea kuin kilpikonna ja että annamme kilpikonnalle kymmenen metriä etumatkaa.

Kaikkihan tietävät, miten siinä käy: Akhilleus syöksyy matkaan, ohittaa heti kilpikonnan ja juoksee voittajana maaliin. Kreikkalaiset rakastivat väittelyä ja filosofisia ongelmia, ja Zenonilla oli varmasti hauskaa, kun hän kieli poskessa väänsi seuraavan paradoksin:

Kilpikonna ja Akhilleus lähtevät yhtä aikaa vaikkapa 20 metrin juoksuradalle. Muutamalla askeleella Akhilleus saavuttaa puolivälin (10 m), josta Kilpikonna lähti liikkeelle. Tällöin Kilpikonna on kiitänyt vasta metrin päähän siitä. No, Akhilleus ohittaa Kilpikonnan lähtöpisteen ja on miltei saman tien siinä missä Kilpikonna oli hetki sitten (11 m). Mutta Kilpikonna on taas edennyt hieman (11,1 m), ja kun Akhilleus kohta pääsee sinne asti, Kilpikonna on taas hieman kauempana (11,11 m). Aina kun Akhilleus saavuttaa kohdan, jossa Kilpikonna oli hetkeä aikaisemmin, konna on jo muualla.

Jotta Akhilleus voisi ohittaa Kilpikonnan, hänen pitäisi ensin päästä edes sen rinnalle. Tämä ei onnistu koskaan: aina kun Akhilleus tulee pisteeseen, jossa Kilpikonna oli hetki sitten, se on edennyt taas hieman ja Akhilleuksen on ensin otettava kiinni tuo väli. Sinä aikana Kilpikonna on taas edennyt pikkiriikkisen. Tajuttuaan tämän Akhilleus antautuu.

Tämän paradoksin logiikka on kutkuttava. Tosielämässä Akhilleus pinkoo kilpikonnan ohi parissa sekunnissa, mutta silti paradoksi tuntuu oikeasti osoittavan, että Akhilleus ei voi koskaan edes saavuttaa kilpikonnaa. Onhan Akhilleuksen päästäkseen ohi ensin päästävä samaan kohtaan kuin kilpikonna! Ja onhan niin, että Kilpikonna on silloin jo muualla!

Matemaatikot ovat tietysti jo kauan sitten osoittaneet, että tässä on kyse suppenevista sarjoista ja että Kilpikonna terävämpänä veti reipasta urheilijanuorukaista nenästä. Silti jokin tässä pistää ihmisparan aivot tiukalle.


Miten oluttuopin saa tyhjäksi?

Zenonin ajatusta voidaan itse asiassa soveltaa mihin tahansa mittalukuun. Sanotaan vaikka, että valomerkin lähestyessä minä yritän juoda tyhjäksi tuopillisen olutta saadakseni tilattua vielä toisen. Jotta saisin tuopin tyhjäksi, minun on ensin saatava juotua siitä puolet. Sanottu ja tehty. Sen jälkeen on vielä toinen puolikas juomatta. Jotta pääsisin pohjaan asti, on ensin hörpättävä jäljellä olevasta puolet ja sitten vielä lopuista puolet ja niin edelleen. Tätä tuopin halkomista voidaan jatkaa loputtomiin. Koska äärettömän monen pienenkin hörpyn ottamiseen menee äärettömästi aikaa, en koskaan saa tuoppia tyhjäksi. Silti minun tiedetään joskus saaneen ravintolassa toisenkin tuopin! Jokin tässä ei oikein täsmää.

Tuoppiversio paljastaa jo, mistä Zenonin sandaali puristaa. Kilpikonna lähti jakamaan kisan kahdettatoista metriä äärettömän moneen yhä pienenevään osaan. Edellä esitetyillä nopeuksilla se alkoi rakentaa päättymätöntä desimaalilukua 11,1111111111111... Yhtä kiripinkaisua vastasi aina yksi desimaali. Ja niitähän riittää, loputtomiin.

Muutaman sekunnin kuluttua lähdöstä Kilpikonna ja Akhilleus näyttävät siis seisovan paikallaan runsaan 11 metrin ja 11 sentin päässä lähtöpaikasta, ja aina kun Akhilleus saa lisättyä yhden desimaalin matkaan, Kilpikonnakin on lisännyt yhden ja Akhilleuksen on tehtävä samoin, ja niin edelleen. Kilpikonna pysyy aina yhden desimaalin edellä.

Niin nuo kaksi seisovat näköjään jähmettyneinä, pääsemättä koskaan edes 11,12 metrin kohdalle. He ovat ikään kuin uponneet lukusuoraan 11,11:n ja 11,12:n väliin ja vaipuvat aina vain syvemmälle, desimaali desimaalilta.


Pilkkominen ei pidennä aikaa

Kilpikonnan logiikka perustuu siihen, että äärettömän monen askeleen ottamiseen menee aina äärettömästi aikaa, vaikka askeleet olisivat kuinka pieniä tahansa.

Mutta jos Kilpikonnan käsitys äärettömästä olisi oikea, mitään pientäkään matkaa ei voisi taittaa, sillä lyhinkin matka koostuu aina äärettömän monesta osasta - tai ainakin se voidaan ajatuksissa jakaa äärettömän moneen osaan. (Onko näillä kahdella asialla jokin ero?)

Oikeastaan Kilpikonna ja Akhilleus eivät pääsisi edes liikkeelle, sillä jo matkan ensimmäinen sentti voidaan jakaa äärettömän moneen osaan. Niin koko maailma olisi aivan liikkumaton, uponneena oman matkansa ensimmäisen millin murto-osan matemaattisiin äärettömyyksiin. Kellot seisoisivat hiljaa käymättä ensimmäistäkään sekuntiaan.

Pystymme toki järkeilemään, että sekunnit kuluvat samaan tahtiin, vaikka ne pilkottaisiin äärettömän moneen osaan. Tämä ei kuitenkaan riitä hälventämään paradoksin tunnetta.

Miten me pystymme kiertämään tämän psykologisen ristiriidan? Onko meidän esimerkiksi oletettava, että todellisuudessa, toisin kuin ajatuksissa, aikaa ei voidakaan jakaa äärettömästi aina vain pienempiin osiin?
Onko niin, että lopulta jakaminen tuottaa sellaisen pienimmän mahdollisen ajan pirstaleen, jonka kuluessa Akhilleus ohittaa kilpikonnan kerralla tarvitsematta koskaan saada häntä kiinni ja siis olla koskaan hänen kanssaan samassa kohtaa? (Tunnustan, että olen aina tuntenut kiusausta ajatella näin. Se tuntuu psykologisesti helpottavalta.)


Yhtä vaikea on Einsteinin avaruus

Tässäkin paradoksissa on kyse siitä, että meidän apinamenneisyytemme hämää meitä.
Meidän matemaattinen intuitiomme on kehittynyt oloissa, joissa ei juuri tarvittu viittä banaania monimutkaisempia laskelmia. Äärettömyyden käsite ei hetkauttanut alkuihmisen elämää. Sillä ei ollut evoluution kamppailussa mitään arvoa.

Niinpä ääretön on jäänyt meidän intuitiokykymme ulkopuolelle. Kaikki pohdiskelu, johon tavalla tai toisella kuuluu jokin ääretön suure, on meille miinakenttä, johon on vaarallista astua ilman matematiikan miinaharavaa.

Vastaavasti meidän on intuitiivisesti vaikeaa tai mahdotonta hahmottaa neliulotteista avaruutta, vielä useammista ulottuvuuksista puhumattakaan. Kuitenkin yksi kauneimmista ja tarkimmin testatuista teorioista, Einsteinin suhteellisuusteoria, esittää maailman neliulotteisena. Ilmeisesti se on sellainen.

Me kysymme mielellämme, onko maailmankaikkeus ääretön vai ei. Ja jos on, niin mitä on äärettömyyden tuolla puolen? Nämä ovat samankaltaisia kysymyksiä kuin mitä oli ennen kuin aika ja avaruus syntyivät alkuräjähdyksessä tai mitä tulee maailman jälkeen.

Ne ovat upeita kysymyksiä ja saavat pienen ihmisen tuntemaan samaa ihanaa huimauksen tunnetta kuin logiikan paradoksit. Tällainen huimaus on kuitenkin ehkä samaa kuin mitä tietokone tuntee näytön pimetessä tai kun ruutuun ilmestyy virheilmoitus: Error. Data overflow. Do you want to debug? Y/N. Eli me emme ymmärrä. Meidän aivojemme rattaat pyörivät hetken tyhjää, ja se kutkuttaa.
On oikeastaan aika uskomatonta, että matematiikka voi ylittää tällaiset rajoitukset. Se on todellinen saavutus, jonka kautta ihminen ylittää itsensä. Siinä mielessä matematiikka on kaikkein kaunein tiede.



Erkki A. Kauhanen on valtiotieteen tohtori, tiedetoimittaja ja Tiede-lehden vakituinen avustaja. Parhaillaan hän työskentelee innovaatiojournalismin tutkijana Tampereen yliopistossa.

Sisältö jatkuu mainoksen alla