Vuonna 1950 brittiläinen matemaatikko William Hodge esitti otaksuman, jota juuri kukaan ei käsitä. Joka todistaa sen oikeaksi, saa miljoona dollaria.

Miljoonan dollarin ongelma -sarja

Teksti: Kaisa Kangas

Vuonna 1950 brittiläinen matemaatikko William Hodge esitti otaksuman, jota juuri kukaan ei käsitä. Joka todistaa sen oikeaksi, saa miljoona dollaria.

Julkaistu Tiede-lehdessä 2/2012

On mahdoton sanoa, mikä Millennium-ongelmista on vaikein ratkaista, mutta Hodgen konjektuuri on varmastikin vaikein ymmärtää. Sen mukaan tietyntyyppinen harmoninen differentiaalimuoto projektiivisella, ei-singulaarisella algebrallisella varistolla on algebrallisten syklien kohomologialuokkien rationaalinen lineaarikombinaatio.

Maallikon ei pidä säikähtää. Ammattimatemaatikkokaan ei nimittäin ymmärrä kaikkia väitteessä esiintyviä termejä, ellei satu olemaan erikoistunut juuri siihen matematiikan osa-alueeseen, johon ne liittyvät.

Brittimatemaatikko William Hodgen vuonna 1950 esittämä konjektuuri on esimerkki nykymatematiikan erikoistuneesta ja abstraktista luonteesta.

Sata vuotta sitten lähes minkä tahansa matemaattisen ongelman pystyi selittämään matematiikasta kiinnostuneelle maallikolle. Vielä aikaisempina aikoina maallikot saattoivat jopa ratkaista tieteellisesti merkittäviä matemaattisia ongelmia. 1600-luvulla elänyt monista matemaattisista saavutuksistaan tunnettu Pierre de Fermat oli ammatiltaan lakimies.

Nykyisin kaikkia ongelmia ei voi helposti selittää edes kaikkein pätevimmille matemaatikoille, sillä kukaan ei hallitse kaikkien erityiskysymysten termistöä.

Matematiikan edistys tapahtuu yleensä abstraktion kautta. Matemaatikot pikemmin yleistävät jo olemassa olevia käsitteitä kuin keksivät uusia. Abstraktioita rakennetaan toistensa päälle, ja jokainen askel prosessissa vie kauemmas arkikokemuksen maailmasta, johon meidän on viime kädessä pohjattava ymmärryksemme.

Hodgen konjektuuri koskee tilannetta, jossa differentiaalilaskennan operaatiot on yleistetty hyvin abstraktiin yhteyteen. Se liittyy myös algebralliseen geometriaan, alaan, jonka kehitys on hyvä esimerkki matematiikassa tapahtuvista abstraktioista.

Geometria ja algebra liitossa

Algebrallisen geometrian juuret ovat kaikille tutussa tasogeometriassa, jota tutkittiin jo antiikin aikoina. Tätä euklidista geometriaa opetettiin Euroopassa sellaisenaan vuosisatojen ajan. Siinä kaikesta voi piirtää kuvan, ja päättelyt pohjautuvat kuvioiden välisiin suhteisiin. 1600-luvulla ranskalainen filosofi René Descartes otti kuitenkin askelen, joka lopulta johti geometrian abstraktimpiin suuntiin.

Descartes tunnetaan pääasiassa lausahduksesta "Ajattelen, olen siis olemassa", mutta hänen mukaansa on myös nimetty niin sanotut karteesiset koordinaatit. Descartes nimittäin keksi, että kun geometriset kuviot piirrettiin koordinaatistoon, niiden tutkiminen palautui algebraan, yhtälöiden ratkaisemiseen.

Perusidea on, että jokaista geometrista kuviota kuvaa jokin yhtälö. Esimerkiksi ne pisteet, joiden koordinaatit toteuttavat yhtälön y=2x+3, muodostavat erään nousevan suoran, joka leikkaa y-akselin pisteessä (0,3). Ympyrää, jonka keskipiste on (2,1) ja säde 3 voidaan puolestaan kuvata yhtälöllä (x–2) pot 2+(y–1) pot 2=9.

Nyt kuvioita saatettiin tutkia geometristen päättelyiden sijasta yhtälöillä, mikä mahdollisti ongelmien tehokkaamman ratkaisemisen. Tällaista lähestymistapaa nimitetään analyyttiseksi geometriaksi, ja se tarjosi 1700-luvun matemaatikoille työvälineitä fysikaalisten ongelmien käsittelyyn. Kun niihin pureuduttiin Isaac Newtonin ja Gottfried Leibnizin kehittämän differentiaalilaskennan keinoin, toimi analyyttinen geometria oivana apuvälineenä.

Yhtälöistä tuli olioita

Descartesin lähestymistapa vietiin pidemmälle 1800-luvulla. Algebrallista yhtälönratkaisua oli pidetty geometrian apuvälineenä, mutta nyt se nostettiin keskiöön. Aiemmin oli ajateltu tietynlaisen yhtälön kuvaavan tietynlaista ympyrää, mutta nyt katsottiin, että yhtälö itsessään määritti ympyrän ja siitä piirretty kuva oli toissijainen.

Ympyröiden ja muiden tuttujen geometristen kuvioiden kohdalla tässä oli kyse vain uudenlaisesta näkökulmasta. Kaikki yhtälöt eivät kuitenkaan kuvaa geometrista oliota. Radikaali uusi askel olikin, että myös tällaisia yhtälöitä alettiin ajatella eräänlaisina abstrakteina geometrisina olioina. Kun geometriset operaatiot oli määritelty algebrallisten laskutoimitusten kautta, niitä saattoi soveltaa myös sellaisiin yhtälöihin, joista ei voinut piirtää kuvaa.

Hodgen teoria yhdistää

William Hodge omisti suurimman osan urastaan algebrallisen geometrian kehittämiseen, ja yksi sen osa-alueista tunnetaankin Hodgen teoriana. Se luo yhteyden algebrallisen geometrian ja differentiaalilaskentaan liittyvän differentiaaligeometrian välille. Hodgen teoria vaatii pitkällistä opiskelua, ja aihe on siihen perehtymättömille matemaatikoille lähes yhtä käsittämätön kuin maallikoille.

Hodge syntyi vuonna 1903 Edinburghissa Skotlannissa. Hän aloitti opintonsa synnyinkaupungissaan mutta siirtyi sittemmin Cambridgeen. Sieltä hän sai 33-vuotiaana oppituolin, jota piti hallussaan eläkkeelle vetäytymiseensä saakka. Hodge valittiin Royal Societyn jäseneksi 1938 ja palkittiin algebrallista geometriaa koskevasta työstään seuran myöntämällä Royal Medal -palkinnolla vuonna 1957. Kaksi vuotta myöhemmin hänet lyötiin ritariksi. Hän sai myös monia muita merkittäviä palkintoja ja tunnustuksia.

Vuonna 1950 Hodge esitteli konjektuurinsa Cambridgessa järjestetyssä kansainvälisessä matemaatikkokonferenssissa. Konjektuurissa mainitun projektiivisen, ei-singulaarisen algebrallisen variston voi karkeasti ottaen ajatella olevan eräänlainen sileä pinta vähän samaan tapaan kuin esimerkiksi pallopinta tai satulapinta on sileä. Kyse on kuitenkin paljon abstraktimmasta "pinnasta", jota on vaikea selittää ilman erikoistermejä.

Abstraktilla pinnalla

Differentiaalilaskennan operaatioita voi ajatella geometrisesti, kun funktioiden kuvaajat piirretään koordinaatistoon. Kun differentiaalilaskennan opiskelu aloitetaan, tämä koordinaatisto ajatellaan yleensä litteälle kaksiulotteiselle pinnalle – samanlaiselle, jolle antiikin kreikkalaiset piirsivät geometrisia kuvioitaan. Differentiaalilaskennan operaatiot voidaan kuitenkin määritellä myös esimerkiksi pallopinnalla. Itse asiassa ne on mahdollista määritellä jopa hyvin abstrakteilla pinnoilla, mutta tällaisen abstraktimman differentiaalilaskennan hallitseminen vaatii jo erityisasiantuntemusta. Hodgen konjektuuri liittyy differentiaalilaskentaan projektiivisella, ei-singulaarisella algebrallisella varistolla.

Harmoniset differentiaalimuodot, joista konjektuurissa puhutaan, nousevat esiin tällaisen abstraktin "pinnan" differentiaalilaskennassa. Ne ovat olioita, joita ei välttämättä voi kuvailla geometrisesti edes algebrallisen geometrian mielessä. Hodgen konjektuuri kuitenkin sanoo, että ne koostuvat eräänlaisista geometrisista rakennuspalikoista. Hodgen harmonisista differentiaalimuodoista ei voi piirtää kuvaa eikä niitä voi edes kuvailla algebrallisesti. Mikäli Hodgen konjektuuri pitää paikkansa, näillä abstrakteilla olioilla on kuitenkin edes heikko yhteys konkreettiseen maailmaan. Tähän yhteyteen asiantuntijat voisivat tukeutua niitä tutkiessaan.

Onko intuitio oikeassa?

Monesti matematiikassa etsitäänkin tapoja hyödyntää jonkin tietyn alan käsitteistöä jollakin toisella alalla. Näin teki esimerkiksi Descartes pyrkiessään tutkimaan geometrisia kuvioita algebrallisilla menetelmillä. Usein tällainen eri alueiden yhdisteleminen tuottaa varsin hedelmällisiä tuloksia.

Hodgen konjektuurin tiedetään pitävän paikkansa eräässä yksittäistapauksessa, jonka amerikkalainen matemaatikko Solomon Lefschetz todisti jo vuonna 1925. Myöhemmin sen tueksi on saatu myös joitakin muita tuloksia, mutta mitään merkittävää kehitystä kohti ongelman ratkaisua ei ole tapahtunut. Monet matemaatikot ovat kuitenkin yrittäneet todistaa konjektuuria tai tutkineet, mitä seuraa, jos konjektuuri pitää paikkansa.

Hodge itse selvästi oletti, että hänen hyvin abstrakteja matemaattisia olioita koskeva otaksumansa olisi totta. Kun ihminen tottuu ajattelemaan uusilla abstrakteilla käsitteillä ja käyttää pitkiä aikoja pohtien niihin liittyviä ongelmia, hänelle kehittyy niitä koskeva intuitio. Joskus tämän intuition varassa esitetyt arvaukset osoittautuvat oikeiksi. Hodge tunsi konjektuuriinsa liittyvän teorian perinpohjaisesti, olihan hän itse kehittänyt suuren osan siitä. Ei ole ihme, jos hänen otaksumansa osoittautuu todeksi.

Kaisa Kangas on matematiikan jatko-opiskelija, filosofian maisteri ja humanististen tieteiden kandidaatti.