Vuonna 1950 brittiläinen matemaatikko William Hodge esitti otaksuman, jota juuri kukaan ei käsitä. Joka todistaa sen oikeaksi, saa miljoona dollaria.

Miljoonan dollarin ongelma -sarja

Teksti: Kaisa Kangas

Vuonna 1950 brittiläinen matemaatikko William Hodge esitti otaksuman, jota juuri kukaan ei käsitä. Joka todistaa sen oikeaksi, saa miljoona dollaria.

Julkaistu Tiede-lehdessä 2/2012

On mahdoton sanoa, mikä Millennium-ongelmista on vaikein ratkaista, mutta Hodgen konjektuuri on varmastikin vaikein ymmärtää. Sen mukaan tietyntyyppinen harmoninen differentiaalimuoto projektiivisella, ei-singulaarisella algebrallisella varistolla on algebrallisten syklien kohomologialuokkien rationaalinen lineaarikombinaatio.

Maallikon ei pidä säikähtää. Ammattimatemaatikkokaan ei nimittäin ymmärrä kaikkia väitteessä esiintyviä termejä, ellei satu olemaan erikoistunut juuri siihen matematiikan osa-alueeseen, johon ne liittyvät.

Brittimatemaatikko William Hodgen vuonna 1950 esittämä konjektuuri on esimerkki nykymatematiikan erikoistuneesta ja abstraktista luonteesta.

Sata vuotta sitten lähes minkä tahansa matemaattisen ongelman pystyi selittämään matematiikasta kiinnostuneelle maallikolle. Vielä aikaisempina aikoina maallikot saattoivat jopa ratkaista tieteellisesti merkittäviä matemaattisia ongelmia. 1600-luvulla elänyt monista matemaattisista saavutuksistaan tunnettu Pierre de Fermat oli ammatiltaan lakimies.

Nykyisin kaikkia ongelmia ei voi helposti selittää edes kaikkein pätevimmille matemaatikoille, sillä kukaan ei hallitse kaikkien erityiskysymysten termistöä.

Matematiikan edistys tapahtuu yleensä abstraktion kautta. Matemaatikot pikemmin yleistävät jo olemassa olevia käsitteitä kuin keksivät uusia. Abstraktioita rakennetaan toistensa päälle, ja jokainen askel prosessissa vie kauemmas arkikokemuksen maailmasta, johon meidän on viime kädessä pohjattava ymmärryksemme.

Hodgen konjektuuri koskee tilannetta, jossa differentiaalilaskennan operaatiot on yleistetty hyvin abstraktiin yhteyteen. Se liittyy myös algebralliseen geometriaan, alaan, jonka kehitys on hyvä esimerkki matematiikassa tapahtuvista abstraktioista.

Geometria ja algebra liitossa

Algebrallisen geometrian juuret ovat kaikille tutussa tasogeometriassa, jota tutkittiin jo antiikin aikoina. Tätä euklidista geometriaa opetettiin Euroopassa sellaisenaan vuosisatojen ajan. Siinä kaikesta voi piirtää kuvan, ja päättelyt pohjautuvat kuvioiden välisiin suhteisiin. 1600-luvulla ranskalainen filosofi René Descartes otti kuitenkin askelen, joka lopulta johti geometrian abstraktimpiin suuntiin.

Descartes tunnetaan pääasiassa lausahduksesta "Ajattelen, olen siis olemassa", mutta hänen mukaansa on myös nimetty niin sanotut karteesiset koordinaatit. Descartes nimittäin keksi, että kun geometriset kuviot piirrettiin koordinaatistoon, niiden tutkiminen palautui algebraan, yhtälöiden ratkaisemiseen.

Perusidea on, että jokaista geometrista kuviota kuvaa jokin yhtälö. Esimerkiksi ne pisteet, joiden koordinaatit toteuttavat yhtälön y=2x+3, muodostavat erään nousevan suoran, joka leikkaa y-akselin pisteessä (0,3). Ympyrää, jonka keskipiste on (2,1) ja säde 3 voidaan puolestaan kuvata yhtälöllä (x–2) pot 2+(y–1) pot 2=9.

Nyt kuvioita saatettiin tutkia geometristen päättelyiden sijasta yhtälöillä, mikä mahdollisti ongelmien tehokkaamman ratkaisemisen. Tällaista lähestymistapaa nimitetään analyyttiseksi geometriaksi, ja se tarjosi 1700-luvun matemaatikoille työvälineitä fysikaalisten ongelmien käsittelyyn. Kun niihin pureuduttiin Isaac Newtonin ja Gottfried Leibnizin kehittämän differentiaalilaskennan keinoin, toimi analyyttinen geometria oivana apuvälineenä.

Yhtälöistä tuli olioita

Descartesin lähestymistapa vietiin pidemmälle 1800-luvulla. Algebrallista yhtälönratkaisua oli pidetty geometrian apuvälineenä, mutta nyt se nostettiin keskiöön. Aiemmin oli ajateltu tietynlaisen yhtälön kuvaavan tietynlaista ympyrää, mutta nyt katsottiin, että yhtälö itsessään määritti ympyrän ja siitä piirretty kuva oli toissijainen.

Ympyröiden ja muiden tuttujen geometristen kuvioiden kohdalla tässä oli kyse vain uudenlaisesta näkökulmasta. Kaikki yhtälöt eivät kuitenkaan kuvaa geometrista oliota. Radikaali uusi askel olikin, että myös tällaisia yhtälöitä alettiin ajatella eräänlaisina abstrakteina geometrisina olioina. Kun geometriset operaatiot oli määritelty algebrallisten laskutoimitusten kautta, niitä saattoi soveltaa myös sellaisiin yhtälöihin, joista ei voinut piirtää kuvaa.

Hodgen teoria yhdistää

William Hodge omisti suurimman osan urastaan algebrallisen geometrian kehittämiseen, ja yksi sen osa-alueista tunnetaankin Hodgen teoriana. Se luo yhteyden algebrallisen geometrian ja differentiaalilaskentaan liittyvän differentiaaligeometrian välille. Hodgen teoria vaatii pitkällistä opiskelua, ja aihe on siihen perehtymättömille matemaatikoille lähes yhtä käsittämätön kuin maallikoille.

Hodge syntyi vuonna 1903 Edinburghissa Skotlannissa. Hän aloitti opintonsa synnyinkaupungissaan mutta siirtyi sittemmin Cambridgeen. Sieltä hän sai 33-vuotiaana oppituolin, jota piti hallussaan eläkkeelle vetäytymiseensä saakka. Hodge valittiin Royal Societyn jäseneksi 1938 ja palkittiin algebrallista geometriaa koskevasta työstään seuran myöntämällä Royal Medal -palkinnolla vuonna 1957. Kaksi vuotta myöhemmin hänet lyötiin ritariksi. Hän sai myös monia muita merkittäviä palkintoja ja tunnustuksia.

Vuonna 1950 Hodge esitteli konjektuurinsa Cambridgessa järjestetyssä kansainvälisessä matemaatikkokonferenssissa. Konjektuurissa mainitun projektiivisen, ei-singulaarisen algebrallisen variston voi karkeasti ottaen ajatella olevan eräänlainen sileä pinta vähän samaan tapaan kuin esimerkiksi pallopinta tai satulapinta on sileä. Kyse on kuitenkin paljon abstraktimmasta "pinnasta", jota on vaikea selittää ilman erikoistermejä.

Abstraktilla pinnalla

Differentiaalilaskennan operaatioita voi ajatella geometrisesti, kun funktioiden kuvaajat piirretään koordinaatistoon. Kun differentiaalilaskennan opiskelu aloitetaan, tämä koordinaatisto ajatellaan yleensä litteälle kaksiulotteiselle pinnalle – samanlaiselle, jolle antiikin kreikkalaiset piirsivät geometrisia kuvioitaan. Differentiaalilaskennan operaatiot voidaan kuitenkin määritellä myös esimerkiksi pallopinnalla. Itse asiassa ne on mahdollista määritellä jopa hyvin abstrakteilla pinnoilla, mutta tällaisen abstraktimman differentiaalilaskennan hallitseminen vaatii jo erityisasiantuntemusta. Hodgen konjektuuri liittyy differentiaalilaskentaan projektiivisella, ei-singulaarisella algebrallisella varistolla.

Harmoniset differentiaalimuodot, joista konjektuurissa puhutaan, nousevat esiin tällaisen abstraktin "pinnan" differentiaalilaskennassa. Ne ovat olioita, joita ei välttämättä voi kuvailla geometrisesti edes algebrallisen geometrian mielessä. Hodgen konjektuuri kuitenkin sanoo, että ne koostuvat eräänlaisista geometrisista rakennuspalikoista. Hodgen harmonisista differentiaalimuodoista ei voi piirtää kuvaa eikä niitä voi edes kuvailla algebrallisesti. Mikäli Hodgen konjektuuri pitää paikkansa, näillä abstrakteilla olioilla on kuitenkin edes heikko yhteys konkreettiseen maailmaan. Tähän yhteyteen asiantuntijat voisivat tukeutua niitä tutkiessaan.

Onko intuitio oikeassa?

Monesti matematiikassa etsitäänkin tapoja hyödyntää jonkin tietyn alan käsitteistöä jollakin toisella alalla. Näin teki esimerkiksi Descartes pyrkiessään tutkimaan geometrisia kuvioita algebrallisilla menetelmillä. Usein tällainen eri alueiden yhdisteleminen tuottaa varsin hedelmällisiä tuloksia.

Hodgen konjektuurin tiedetään pitävän paikkansa eräässä yksittäistapauksessa, jonka amerikkalainen matemaatikko Solomon Lefschetz todisti jo vuonna 1925. Myöhemmin sen tueksi on saatu myös joitakin muita tuloksia, mutta mitään merkittävää kehitystä kohti ongelman ratkaisua ei ole tapahtunut. Monet matemaatikot ovat kuitenkin yrittäneet todistaa konjektuuria tai tutkineet, mitä seuraa, jos konjektuuri pitää paikkansa.

Hodge itse selvästi oletti, että hänen hyvin abstrakteja matemaattisia olioita koskeva otaksumansa olisi totta. Kun ihminen tottuu ajattelemaan uusilla abstrakteilla käsitteillä ja käyttää pitkiä aikoja pohtien niihin liittyviä ongelmia, hänelle kehittyy niitä koskeva intuitio. Joskus tämän intuition varassa esitetyt arvaukset osoittautuvat oikeiksi. Hodge tunsi konjektuuriinsa liittyvän teorian perinpohjaisesti, olihan hän itse kehittänyt suuren osan siitä. Ei ole ihme, jos hänen otaksumansa osoittautuu todeksi.

Kaisa Kangas on matematiikan jatko-opiskelija, filosofian maisteri ja humanististen tieteiden kandidaatti. 

Hyvä harrastus – ja helppo. Lukemista löytyy aina. Kuva: Shutterstock

Kieli rikastuu, ajattelu syvenee ja sosiaalinen taju kehittyy.

Tietokirjan järki on selvä: saa tietoa, jolla jäsentää maailmaa ja vaientaa mutuilijat. Riittävästi tietoa hankkimalla tulee asiantuntijaksi, ja sillä on selvä hyötyarvo.

Entä missä on fiktion lukijan tulosvastuu? Mitä itua on kuluttaa aikaansa tuntitolkulla hatusta vedettyjen ihmisten hatusta vedettyihin edesottamuksiin? Paljonkin: romaani tai novelli opettaa toimimaan muiden ihmisten kanssa.

Fiktio simuloi sosiaalista maailmaa, esittää asiaa tutkinut Toronton yliopiston psykologian professori Keith Oatley. Niin kuin lentosimulaattori opettaa lentotaitoja, sosiaalisten tilanteiden simulaattori – romaani – opettaa sosiaalisia taitoja.

Kokeet vahvistavat, että fiktiota lukeneet tajuavat paremmin so­siaalisia kuvioita kuin tietotekstiä lukeneet. 

Suvaitsevaisuus kasvaa

Kuvitteellisesta tarinasta on sekin ilo, että pääsee väliaikaisesti jonkun toisen nahkoihin. Samastuminen tarinan henkilöön voi muuttaa lukijan käyttäytymistä ja pistää asenteet uusiksi, ovat kokeillaan osoittaneet Ohion yliopiston tutkijat.

Samastumisella on vaaransa. Romaanin aiheuttama itsemurha-aalto koettiin 1700-luvun lopulla, kun nuoret onnettomat miehet matkivat Johan Wolfgang von Goethen päähenkilön tekoa Nuoren Wertherin kärsimyksissä.

Ohiolaistutkimuksessa vaikutus oli rakentavampi: kun nuoret aikuiset olivat lukeneet tarinan miehestä, joka meni äänestämään, he menivät hanakammin vaaliuurnille vielä viikon kuluttua lukemisesta. He olivat saaneet kansalaishyvetartunnan.

Valkoihoisten suvaitsevaisuutta taas kasvattivat tarinat, joissa päähenkilö osoittautui homoseksuaaliksi tai afroamerikkalaiseksi. Lukijoilta karisi myös stereotypioita. Tämä kuitenkin edellytti, että päähenkilön ”erilaisuus” paljastui vasta tarinan myöhemmässä vaiheessa ja lukijat olivat ehtineet asettua hänen nahkoihinsa.

Stressi väistyy

Kun uppoutuu lukemaan, maailman meteli jää kauas ja paineet hellittävät. Tuttu tunne, josta on myös tieteelliset näytöt: lukeminen poistaa stressiä.

Terveystieteen opiskelijat saivat Yhdysvalloissa tehdyssä tutkimuksessa lukeakseen netistä ja aikakauslehdestä poimittuja artikkeleita, jotka käsittelivät historiallisia tapauksia ja tulevaisuuden innovaatioita. Aihepiirit olivat siis kaukana tenttikirjojen pakkolukemistosta.

Puolentunnin lukutuokio riitti laskemaan verenpainetta, sykettä ja stressin tuntua. Huojennus on yhtä suuri kuin samanpituisella joogahetkellä tai televisiohuumorin katselulla. Mikä parasta, apu löytyy helposti, lukemista kun on aina saatavilla.

Sanasto karttuu

Kirjoitettu kieli on ylivoimaisesti suurempi uusien sanojen lähde kuin puhuttu. Erot lasten sanavaraston runsaudessa voi johtaa suoraan siihen, miten paljon he altistuvat erilaisille teksteille, vakuuttavat lukemisen tutkijat Anne Cunningham ja Keith Stanovich.

Tiuhimmin uutta sanastoa kohtaa tieteellisten julkaisujen tiivistelmissä: tuhatta sanaa kohti harvinaisia on peräti 128. Sanoma- ja aikakauslehdissä harvinaisten sanojen tiheys nousee yli 65:n ja aikuisten kirjoissa yli 50:n.

Lastenkirjakin voittaa sanaston monipuolisuudessa televisio-ohjelman mennen tullen. Lapsilukija kohtaa kirjassa yli 30 harvinaista sanaa tuhatta kohti, kun aikuisten telkkariviihdettä katsoessa niitä tulee vastaan 23 ja lastenohjelmissa 20.

Juttelukaan ei pahemmin kartuta sanavarastoa. Aikuispuhe sisältää vain 17 epätavallista sanaa tuhatta kohti.

Syntyy omia ajatuksia

Ihmisen aivoja ei ole ohjelmoitu lukemaan. Kun taito kehittyi 5 500 vuotta sitten, näkemiseen, kuulemiseen, puhumiseen ja ajatteluun rakentuneet alueet alkoivat tehdä uudenlaista yhteistyötä.

Nyt olemme jälleen uudenlaisen lukukulttuurin alussa. Verkkolukeminen on tullut jäädäkseen, ja jotkut pelkäävät, että tyhmistymme, kun totutamme aivomme ärsyketulvaan ja pikaselailuun netissä. Tiedonvälitys on lisääntynyt räjähdysmäisesti mutta niin myös häly.

Syventyvän lukemisen kohtalosta kantaa huolta professori Maryanne Wolf Tufts-yliopistosta. Tapaa näet kannattaisi vaalia. Aivokuvaukset paljastavat, että paneutuva lukija käyttää laajasti molempia aivopuoliskojaan. Hän ei vain vastaanota kirjoittajan sanomaa vaan vertaa sitä aiemmin hankkimaansa tietoon, erittelee sitä ja rakentaa omaa ajatteluaan. Pintalukijalla ei tähän ole aikaa.

Mikko Puttonen on Tiede-lehden toimittaja.

Julkaistu Tiede-lehdessä 12/2012 

Täysin raittiiden suomalaisnuorten osuus on moninkertaistunut vuosituhannen alusta.

Nuoruus raitistuu, kertoo Helsingin Sanomat jutussaan.

Nuorten alkoholin käyttö kasvoi vuoteen 1999, joka oli myös kaikkein kostein vuosi. Silloin vain joka kymmenes yhdeksäsluokkalainen ilmoitti, ettei ollut koskaan käyttänyt alkoholia.

Sittemmin täysin raittiiden osuus on moninkertaistunut, ilmenee vuoteen 2015 ulottuneesta eurooppalaisesta, nuorten päihteidenkäyttöä käsittelevästä Espad-tutkimuksesta.

Jopa muut eurooppalaiset jäävät jälkeen. Suomessa täysin raittiita 15–16-vuotiaista nuorista on joka neljäs, kun Euroopassa heitä on keskimäärin joka viides.

Terveyden ja hyvinvoinnin laitoksen THL:n erikoistutkija Kirsimarja Raitasalo kollegoineen on ­koettanut tunnistaa niitä nuoruuden muutoksia, jotka voisivat selittää humalan hiipumista.

Ratkaisevaa näyttää olleen ainakin se, että alaikäisten on yhä vaikeampi saada alkoholia. Nykynuoret kokevat sen selvästi hankalammaksi kuin aiemmat ikäpolvet.

Kauppojen omavalvonta on osaltaan tehonnut. Kassoilla kysytään kaikilta alle 30-vuotiaan näköisiltä papereita.

Vanhemmat ja muutkin aikuiset ovat tiukentaneet asenteitaan nuorten juomiseen.

”Tietoisuus alkoholin haitoista on ehkä lisääntynyt. On tullut paljon tutkimustietoa esimerkiksi siitä, miten alkoholi vaikuttaa nuorten aivojen kehitykseen”, Raitasalo pohtii.

Nuorten omakin maailma on muuttunut toisenlaiseksi. Älylaitteet, pelit ja sosiaalinen media kyllästävät arkea. Pussikaljoittelu joutuu kilpailemaan monen muun kiinnostavan ajanvietteen kanssa ja on ehkä osittain hävinnyt niille.

Juovuksissa olemisesta on ehkä tullut myös tyylirikko. Nuoret eivät enää näytä arvostavan kännissä örveltämistä.

Kysely

Mikä mielestäsi raitistaa nuoria?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä25796
Liittynyt16.3.2005

Viikon gallup: Mikä mielestäsi raitistaa nuoria?

Käyttäjä4809 kirjoitti: Eiköhän syy ole -90 luvulla alkaneen laman menetetyt työpaikat ja samalla supistettu koulutus, minkä seurauksena vuodestä -99 alkaen vanhemmilla ei enää ole ollut niin paljon rahaa annettavaksi nuorisolle. Sekä myös nuorisolle soveltuvien työpaikkojen vähentyminen ja samaan aikaan tapahtunut kohtuuton vuokrien nousu, vasinkin pääkaupunkiseudulla. En tiedä, mutta en usko rahaan. Esimerkiksi kilju, 10 % juoma joka maksaa joitain senttejä litralta, tuntuu olevan...
Lue kommentti
molaine
Seuraa 
Viestejä1189
Liittynyt3.8.2011

Viikon gallup: Mikä mielestäsi raitistaa nuoria?

En kyllä usko, että rahalla on iso merkitys ja veikkaan, että käytettävissä olevat rahat on vain kasvaneet, jos verrataan vaikka omaan nuoruuteen. Ei viina suomessa ole niin kallista, etteikö köyhälläkin olisi varaa dokailla. Oma junnu ei läträä lainkaan viinan kanssa. Iso osa kavereistakaan ei, vaikka osa ilmeisesti jonkin verran lipittelee. Kyllä nuorten asenteet on mielestäni muuttuneet ihan selkeästi. Ehkä alkoholipolitiikka on toiminut? Kotoa ei meillä kyllä tällaista ole opittu...
Lue kommentti

Panterarosa: On selvää, että "Partitava kisaa kurupati-kuvaa" ei oikein aukene kehitysmaalaisille N1c- kalmukinperseille.