Poincarén konjektuurin selätti vuonna 2002 omalaatuinen venäläinen nero Grigori Perelman.

Miljoonan dollarin ongelma -sarja

Teksti: Kaisa Kangas

Poincarén konjektuurin selätti vuonna 2002 omalaatuinen venäläinen nero Grigori Perelman.

Julkaistu Tiede-lehdessä 3/2012

Vuonna 1904 ranskalainen matemaatikko Henri Poincaré esitti kuuluisan matemaattisen väitteen, joka tunnetaan Poincarén konjektuurina. Kesti lähes vuosisadan, ennen kuin se onnistuttiin osoittamaan todeksi. Se liittyy topologiaksi kutsuttuun matematiikan haaraan, jota Poincaré kehitti merkittävästi.

Topologiassa on tavallaan kyse geometriasta ilman etäisyyksiä.

Asiaa voi valottaa metrokartalla. Siinä asemien välit eivät vastaa todellisia matkoja ja mutkittelevat metrolinjat on piirretty suoriksi. Silti kartta välittää matkustajalle olennaisen informaation eli asemien järjestyksen ja linjojen risteyskohdat. Vaikka metrokartta piirrettäisiin kumipinnalle, jota venytettäisiin niin, että etäisyydet ja suunnat muuttuisivat, informaatio pysyisi samana.

Vastaavasti topologiassa tutkitaan eräänlaista kumipintageometriaa: ominaisuuksia, jotka säilyvät venytettäessä, kutistettaessa ja väänneltäessä. Jos jokin kuvio saadaan noilla tempuilla aikaan toisesta kuviosta, nämä kuviot ovat topologisesti samanlaisia.

Topologille kahvikuppi on donitsi

Entä kolmiulotteiset kappaleet? Ajatellaan vaikkapa muovailuvahasta tehtyä palloa. Mikä tahansa kappale, joka pystytään muotoilemaan venyttämällä ja puristelemalla muovailuvahapalloa, on topologisesti samanlainen kuin pallo.

Reikien puhkominen muuttaa topologian, joten donitsin muotoinen rengas on erilainen kuin pallo. Donitsista voi kuitenkin muotoilla kahvikupin puhkomatta uusia reikiä. Vanhan matemaatikkovitsin mukaan topologi onkin henkilö, joka ei kutsuilla erota munkkirinkilää kahvikupista.

Matematiikassa käsitellään monesti yli kolmea ulottuvuutta. Vastaavasti kuin ympyrää voi ajatella kaksiulotteisena pallona pallon käsitteen voi yleistää neljään tai useampaan ulottuvuuteen. Kolmiulotteisen pallon pinta on kaksiulotteinen, ja vastaavasti neliulotteisella "pallolla" on kolmiulotteinen "pinta".

Lisäulottuvuudet eivät ole vain ajatusleikki, vaan niitä tarvitaan fysiikassa. Suhteellisuusteorian aika-avaruus on neliulotteinen, ja säieteoriassa, joka yhdistää hiukkasfysiikan gravitaatioteoriaan, on useampia ulottuvuuksia.

Ajatellaan nyt kolmiulotteisen pallon kaksiulotteista pintaa. Sille piirretyn ympyrän voi kutistaa, kunnes jäljellä on vain piste. Sama ei päde donitsiin. Jos sen pinnalle piirretään ympyrä joko donitsin renkaan tai leveimmän kohdan ympäri, donitsin reikä tulee kutistettaessa tielle niin, ettei ympyrä pienene pisteeksi. Tiedetäänkin, että suljettu kaksiulotteinen pinta on topologisesti samanlainen kuin pallopinta täsmälleen silloin, kun jokainen sille piirretty ympyrä saadaan kutistettua pisteeksi. Poincaré oletti, että kriteeri voitaisiin yleistää koskemaan myös kolmiulotteisia "pintoja".

Poincaré tajusi, ettei ollut selvää, että tämä oletus piti paikkansa, mutta hän arveli asian selviävän pian. Näin ei kuitenkaan käynyt.

Ratkaisu alkoi häämöttää

Ongelma oli auki vielä vuosituhannen vaihteessa. Tällöin Clay-instituutti eli CMI lupasi miljoonan dollarin palkinnon sille, joka todistaisi Poincarén konjektuurin oikeaksi.

Eteneminen alkoi vuonna 1960, kun amerikkalainen Stephen Smale todisti, että vastaava väite päti vähintään viisiulotteisiin "pintoihin". Vuonna 1981 maanmies Michael Freedman, vei Smalen työn pidemmälle ja osoitti, että sama päti myös neliulotteisiin "pintoihin". Molemmat saivat "matematiikan nobelina" tunnetun Fieldsin mitalin, mutta alkuperäinen ongelma oli yhä ratkaisematta. Kolmiulotteisista "pinnoista", joita Poincarén konjektuuri koski, ei osattu sanoa mitään.

Seuraava askel otettiin 1982, kun amerikkalainen Richard Hamilton esitti suunnitelman konjektuurin todistamiseksi. Yrittäessään noudattaa sitä hän kuitenkin törmäsi ongelmiin, joita ei osannut ratkaista.

Tarvittiin omaperäinen venäläisnero saattamaan suunnitelma loppuun. Grigori Perelman esitti ratkaisunsa kolmessa artikkelissavuosina 2002 ja 2003.

Perelman loisti jo lapsena

Grigori "GriŠa" Perelman syntyi Leningradissa vuonna 1966. Hän osallistui jo lapsena matematiikkavalmennukseen ja voitti 16-vuotiaana Neuvostoliiton laajuisen matematiikkakilpailun. Samana vuonna hän sai täydet pisteet jokaisesta tehtävästä Budapestin kansainvälisissä matematiikkaolympialaisissa.

Perelman opiskeli matematiikkaa Leningradin valtionyliopistossa. Hän väitteli tohtoriksi 1990 ja työskenteli sen jälkeen Yhdysvalloissa. Vuonna 1995 hän palasi Pietariin, Steklovin matematiikkainstituuttiin, jossa oli tehnyt väitöskirjansa. Hänelle oli tarjottu työpaikkoja arvostetuista amerikkalaisista yliopistoista, joissa palkka olisi ollut huomattavasti parempi, mutta hän oli kieltäytynyt todeten kelpuuttavansa vain pysyvän professuurin.

Luultavasti Perelman oli jo tuolloin alkanut työstää Poincarén konjektuuria, ja hän saattoi kaivata työrauhaa, jollaista yliopistot opetusvelvollisuuksineen eivät tarjonneet.

Pian paluunsa jälkeen Perelman lakkasi vastaamasta amerikkalaisten kollegoidensa sähköposteihin ja käytännössä eristäytyi. Hän oli haluton puhumaan matemaattisesta työstään kenellekään. Jotkut pelkäsivät hänen tarttuneen johonkin liian vaikeaan ongelmaan ja musertuneen mahdottoman tehtävän alle.

Julkaisi todistuksen netissä

Marraskuussa 2002 Perelman lähetti useille kollegoilleen sähköpostin, jossa kehotti näitä tutustumaan netissä julkaisemaansa artikkeliin. Kyseessä oli ensimmäinen osa kolmen artikkelin sarjasta, joka sisälsi Poincarén konjektuurin todistuksen. Perelman oli onnistunut saattamaan Hamiltonin suunnitelman loppuun ja ratkaisemaan ongelmat, jotka olivat pysäyttäneet tämän. Sen hän oli tehnyt yhdistelemällä matematiikan eri osa-alueita nerokkaalla ja omaperäisellä tavalla.

Sarjan kaksi muuta artikkelia ilmestyivät seuraavan vuoden aikana. Amerikkalaiset huippuyliopistot tarjosivat taas Perelmanille työpaikkoja – tällä kertaa pysyviä professuureja, joiden työehdot hän olisi saanut itse päättää. Hän kuitenkin kieltäytyi tarjouksista.

Joulukuussa 2005 Perelman erosi jopa työpaikastaan Steklovin matematiikkainstituutissa. Hän sanoi pettyneensä matematiikkaan ja halua­vansa kokeilla jotakin muuta. On arveltu, että häntä järkytti läpimurtoa seurannut kollegoiden kateellinen ja pyrkyrimäinen käytös.

Kieltäytyi palkinnoista

Perelmanin kolmella artikkelilla oli pituutta yhteensä 59 sivua. Niiden teksti oli hyvin vaikeaa asiantuntijoillekin, eikä ratkaisun oikeellisuudesta ollut heti varmuutta. Tarkistuksen katsotaan päättyneen vasta 2007, kun John Morgan ja Gang Tian julkaisivat 521-sivuisen kirjan, jossa Perelmanin todistus selitetään yksityiskohtaisesti.

Jo tätä ennen, kesällä 2006, Perelmanille kuitenkin myönnettiin Fieldsin mitali. Hän kieltäytyi ottamasta sitä vastaan. "Jos todistus on oikein, mitään muuta tunnustusta ei tarvita", hän sanoi.

CMI:n sääntöjen mukaan ainoastaan matemaattisissa lehdissä julkaistut ratkaisut voivat voittaa palkinnon. Sääntöjen laatijoille ei luultavasti tullut mieleenkään, että joku suuren läpimurron tehnyt matemaatikko voisi olla haluton lähettämään työnsä ammattijulkaisuun. Perelman oli kuitenkin julkaissut ratkaisunsa ainoastaan netissä eikä suostunut muuhun.

Asiaa pohdittuaan CMI päätti hyväksyä julkaisuksi Morganin ja Tianin kirjan ilmestymisen. Vuodesta 2007 alkoi siis sääntöjen mukainen kahden vuoden varoaika siltä varalta, että joku vielä löytäisi virheitä. Kun byrokratiakin vei oman aikansa, miljoona dollaria päästiin antamaan Perelmanille vasta kesällä 2010.

Perelman kieltäytyi jälleen ottamasta palkintoa vastaan. "Minulla on kaikki, mitä tarvitsen", hänen kerrotaan sanoneen. Uutistoimisto Interfaxin mukaan hän oli myös moittinut matemaattisen yhteisön päätöksiä epäoikeudenmukaisiksi ja todennut, että kunnia olisi kuulunut yhtä lailla Hamiltonille.

Syistä vain arvauksia

Jotkut ovat arvelleet Perelmanin vastustavan matemaattisesta työstä myönnettäviä rahapalkintoja ylipäänsä tai katsovan niistä päättävien komiteoiden olevan kykenemättömiä arvioimaan matematiikkaa. Toiset ovat jopa spekuloineet, että Perelmanilla saattaisi olla mielenhäiriö. Perelmanin omalaatuisesta käytöksestä onkin kirjoitettu paljon.

Kieltäytymällä palkinnoista Perelman on kiinnittänyt suuren yleisön huomion itseensä, oli se tarkoituksellista tai ei. Ainoana koskaan Fieldsin mitalista kieltäytyneenä matemaatikkona hänestä on tullut mitalistien tunnetuin.

Perelman asuu ikääntyvän äitinsä kanssa vaatimattomassa asunnossa Pietarissa. Hän välttää kontaktia ulkomaailmaan eikä ole aikoihin antanut haastatteluja kenellekään. Loppujen lopuksi tiedämme hänestä hyvin vähän, ja voimme vain arvailla, onko hän todella luopunut matematiikasta vai työskenteleekö hän parhaillaan jonkin uuden ongelman parissa.

Kaisa Kangas on matematiikan jatko-opiskelija, filosofian maisteri ja humanististen tieteiden kandidaatti. 

Jos rehkiminen ei huvita, syy voi olla geeneissä.

Monia liikunta palkitsee hyvän olon tunteella, mutta kaikille palkintoa ei tule, kertoo Helsingin Sanomat jutussaan. Olo saattaa olla hikilenkin jälkeen enemmän runneltu kuin rento.

”Osa suomalaisten liikkumattomuudesta saattaa selittyä negatiivisilla tuntemuksilla”, sanoo jutussa liikuntapsykologian professori Taru Lintunen Jyväskylän yliopistosta.

Ihmiseltä saattavat puuttua hyvät kokemukset ja liikunnallisen elämäntavan mallit.

Perimälläkin on sormensa pelissä. Naisilla jopa puolet liikuntanautinnon vaihtelusta selittyy geeneillä, miehillä kolmannes.

Näin osoittaa vuonna 2014 julkaistu suomalainen tutkimus, joka perkasi perintötekijöiden osuutta liikuntamotivaatioon.

Tarkkaa syytä eroihin ei tiedetä. Yksi ehdokkaista on aivojen dopamiinirata. Se palkitsee niin syömisestä, seksistä kuin liikunnasta.

Dopamiinikylpy tuottaa aivoissa huumaavan euforian. Tutkimusten mukaan järjestelmän häiriöt vähentävät koe-eläinten liikkumishaluja.

Viime kädessä geenit ohjaavat mielihyväkoneiston toimintaa. Dopamiinin valmistukseen tarvittavat geenit toimivat toisilla kenties vilkkaammin. Erityisesti naisilla on liikuntamielihyvän kokemisessa geneettistä vaihtelua.

Yksilöiden erot ulottuvat laajemmallekin. Kaikki eivät saa liikunnasta yhtä paljon hyötyä – ainakaan heti.

Sama harjoittelu saattaa vaikuttaa ihmisiin eri tavoin. Yhden kunto kasvaa kohisten, mutta toinen ei saa tuloksia, vaikka kuinka rehkisi. Tutkijat puhuvat yksilöllisestä vasteesta.

Kuitenkin vaikka oma elimistö tuntuisi olevan immuuni liikunnalle, se voi olla vain harhaa. Tutkimuksissa tuijotetaan usein suorituskykyyn ja lihasvoimaan. Ne eivät ehkä hetkahda pienestä rasituksesta, mutta veren rasva- ja sokeriarvot saattavat parantua merkittävästi. Siksi liikuntaa voi suositella kaikille.

Kysely

Onko liikunta tuskien tie?

Tutustu sisältöön ja lue uusi lehti digilehdet.fi:ssä.

 

Tieteessä 2/2018 

 

PÄÄKIRJOITUS

Kun viha vie

Vihapuhuja ratsastaa alkukantaisella reaktiolla.

 

PÄÄUUTISET

Unissa puhutaan rumia

Myöntisen päiväminän takaa kurkkii
kielteinen yöminä – hyvästä syystä.

Alienkivi on yksi miljoonista

Tähtienvälisiä asteroideja syöksyy
aurinkokunnan läpi jatkuvasti.

Nykyihminen seikkaili
ulos Afrikasta useita kertoja

Yhden ulostulon malli ei enää mitenkään
istu Aasian löytöihin.

Korallit kalpenevat kiihtyvää tahtia

Lämpenevät vedet riistävät
polyypilta elintärkeän kumppanin.

 

ARTIKKELIT

Migreeni vyöryy aivorungosta

Kun sähköt sekoavat hermokeskuksessa,
kipuviestit kiihdyttävät aivot hälytystilaan.

Esinisäkkäät
Maailman valtiaat ennen dinosauruksia

Kehitys kohti meitä käynnistyi jo silloin,
kun maapallon mantereet olivat vielä yhtä.

Siittiöt hukassa

Enää hälytyskellot eivät kilise van kumisevat.
Miesten siittiömäärät ovat romahtaneet.

James Bond
Harmaa agentti hurmasi maailman

Vastoin odotuksia huomaamaton vakooja sai
valtavan huomion. Kohu teki fiktiosta faktaa.

Liikenne jättää tiet

Visio on villi muttei utopiaa. Jokainen sopiva
maapala tarvitaan luonnolle ja ruoalle.

Ennen paras mies oli poikamies

Naiset ja seksi eivät ole aina olleet miehen mitta.
Elämän tärkeät asiat löytyivät pitkään toisaalta.

 

TIEDE VASTAA

Voiko pissa jäätyä kaarelle?

Haudataanko vainajat ilmansuuntien mukaan?

Mikä on puujalkavitsi?

Miksi kuusi kestää lumen painon?

Miten norppa löytää takaisin avannolle?

Voiko avaruusaseman palauttaa Maahan?

 

KIRJAT

Oma dna kantaa suvun historiaa

Marja Pirttivaara teki suomalaisille sukututkijoille uudenlaisen kätevän oppaan.

 

KUVA-ARVOITUS

Klassikkopalsta

kutsuu lukijoita tulkitsemaan kuvia lehden Facebook-sivustolle: facebook.com/tiede.fi

 

OMAT SANAT

Valoa kohti

Entisinä aikoina kantasana tarjosi myös lämpöä.

 

Jos olet Sanoman jonkin aikakauslehden tilaaja, voit lukea uusimman numeron jutut Sanoman Digilehdet-palvelussa.

Ellet vielä ole ottanut tilaukseesi kuuluvaa digiominaisuutta käyttöön, tee se osoitteessa https://oma.sanoma.fi/aktivoi/digilehdet. Aktivoinnin jälkeen pääset kirjautumaan suoraan digilehdet.fi-palveluun.