Euklidinen geometria oli pitkään maailmankaikkeuden kulmakivi, absoluuttinen totuus. Ei ihme, että uudet geometriat ravistelivat ajattelua. Kaiken lisäksi keksittiin, että universumikin on epäeuklidinen.



Julkaistu Tiede -lehdessä 11/2009

Antiikin Kreikassa syntyi matematiikan ala, joka alun perin palveli maanmit¬tauksen tarkoitusperiä. Tunnemme sen nimellä geometria.

Eukleides Aleksandrialainen kokosi geometrian perusteet Alkeet-nimiseksi oppikirjaksi. Eukleideen geometria perustui viidelle yksinkertaiselle lauseelle, jotka tuntuivat niin itsestään selviltä, että ne saattoi vaaratta olettaa tosiksi. Näitä viittä lausetta sanotaan aksioomiksi.

Aksioomista tunnetuin on paralleeli- eli yhdensuuntaisuusaksiooma: mikäli on annettu suora sekä piste, joka ei ole tällä suoralla, pisteen kautta voidaan piirtää yksi - ja ainoastaan yksi - suora, joka ei leikkaa annettua suoraa eli on sen kanssa yhdensuuntainen.


Aukottoman varmaa tietoa

Aksioomat olivat siis geometrian lähtökohta. Sen kaikki muut lainalaisuudet, kuten vaikkapa se, että kolmion kulmien summa on 180 astetta niin kuin meille on koulussa opetettu, osoitettiin tosiksi johtamalla ne aksioomista loogisesti päätellen.

1800-luvulle asti Eukleideen geometrian tuloksia pidettiin aukottoman varmoina; niiden paikkansapitävyys oli suorastaan inhimillisen ajattelun kulmakivi. Lisäksi ajalteltiin, että euklidinen geometria kuvastaa todellisuutta, jossa elämme, ja että sitä voi sellaisenaan soveltaa fysikaaliseen maailmaan.

Rationalistiseen koulukuntaan kuuluneet filosofit, etunenässä saksalainen Immanuel Kant (1724-1804), käyttivät geometriaa esimerkkinä ulkomaailmaa koskevasta tiedosta, joka on saavutettavissa puhtaasti ajattelun avulla. Tällä esimerkillä he halusivat kumota vastapuolen eli empirististen filosofien väitteet, joiden mukaan kaikki ulkomaailmaa koskeva tietomme pohjautuu aistihavaintoihin tai kokeisiin.


Todistelut epäonnistuivat

Nopeasti ajateltuna paralleeliaksiooma tuntuu ilman muuta paikkansapitävältä. Mutta se on sisällöltään itse asiassa paljon monimutkaisempi kuin Eukleideen neljä muuta perusaksioomaa.

Matematiikan luonteelle on tyypillistä, että vain kaikkein yksinkertaisimmat väitteet hyväksytään aksioomiksi ja kaikki muut - vaikka niitä pidettäisiin kuinka itsestään selvinä - on todistettava niiden pohjalta. Niinpä antiikin ajoista aina 1800-luvulle asti matemaatikot pyrkivät osoittamaan paralleeliaksiooman todeksi neljän yksinkertaisemman aksiooman perusteella. Jos tässä olisi onnistuttu, euklidisesta geometriasta olisi tullut entistä elegantimpi järjestelmä.

Todistusyritykset osoittautuivat turhauttaviksi. Esimerkiksi 1800-luvulla elänyt unkarilainen matematiikan opettaja Farkas Bólyai käytti suuren osan elämästään yrittäen todistaa paralleeliaksioomaa. Hänen poikaansa Jānos Bólyaita kiinnosti sama ongelma, mutta isä neuvoi luopumaan yrityksestä: "Vältä sitä kuin lihallista himoa, sillä sekin voi viedä kaiken aikasi, terveytesi, mielenrauhasi ja elämäsi onnen."


Syntyi uusia geometrioita

Epäonnistumisten syynä oli, että paralleeliaksioomaa ei tosiasiassa ole mahdollista todistaa paikkansapitäväksi euklidisen geometrian muiden aksioomien pohjalta. Voidaan nimittäin rakentaa sellaisia geometrian järjestelmiä, joissa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Näitä geometrioita sanotaan epäeuklidisiksi.

Jānos Bólyai jatkoi tutkimuksiaan isänsä varoituksista huolimatta ja onnistui lopulta rakentamaan epäeuklidisen järjestelmän. Venäläinen matemaatikko Nikolai Lobatševski päätyi itsenäisesti samaan tulokseen samoihin aikoihin. Myös kuuluisa saksalainen matemaatikko Carl Gauss oli jo aikaisemmin kehittänyt epäeuklidisia geometrioita, mutta ei ollut julkaissut tuloksiaan.

Koska näihin uusiin geometrioihin ei sisältynyt loogisia ristiriitoja, niitä voitiin pitää matemaattisessa mielessä tosina. Näin euklidinen geometria oli menettänyt absoluuttisuutensa. Se ei ollut väärä eikä virheellinen, mutta se ei myöskään ollut ainoa oikea vaihtoehto.


Pannaan pinta kaarelle

On kaksi vaihtoehtoa, joilla paralleeliaksiooma voidaan korvata epäeuklidisissa geometrioissa: joko suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää useita suoria, jotka eivät leikkaa ensimmäistä suoraa, tai sitten kaikki suorat leikkaavat toisensa.

Eukleideen geometria pitää paikkansa niin kauan kun geometriset kuviot ajatellaan piirretyksi tasopinnalle, mutta mikä tahansa kupera tai kovera pinta tarjoaa käytännön esimerkin epäeuklidisesta geometriasta.

Esimerkiksi kaikki pallopinnalle piirretyt suorat leikkaavat toisensa. "Suorina" pidetään tässä tapauksessa pallon pinnalle piirrettyjä isoympyröitä eli sellaisia ympyröitä, joiden keskipisteenä on pallon keskipiste ja säteenä pallon säde. Tällöin ympyrän kehä on suurin mahdollinen - sama kuin koko pallon - mistä nimi isoympyrä; pienempiä ympyröitä nimitetään pikkuympyröiksi.

Maapallon pituuspiirit ovat isoympyröitä, mutta leveyspiireistä ainoastaan päiväntasaaja muodostaa isoympyrän. Voi myös ajatella, että maapallolla isoympyröitä ovat kaikki sellaiset suorat reitit, joita pitkin on mahdollista tehdä maailmanympärimatka. Mitä tahansa pituuspiiriä pitkin matkaava turisti tulee kulkeneeksi maapallon ympäri, mutta Helsingistä 60. leveyspiiriä pitkin takaisin Helsinkiin kulkevan matkaajan taival jää vajaksi.

Pallogeometriaa nimitetään elliptiseksi geometriaksi. Satulaa muistuttava kovera pinta puolestaan muodostaa hyperbolisen geometrian. Siinä suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää ääretön määrä suoria, jotka eivät leikkaa ensimmäistä suoraa. Elliptisessä geometriassa kolmion kul¬mien summa on aina yli 180 astetta ja hyperbolisessa geometriassa aina alle 180 astetta.


Maailmakuva mureni

Kun epäeuklidiset geometriat kehitettiin, tuli matemaattisesti osoitetuksi, että paralleeliaksiooma ei ollutkaan ehdoton totuus.

Absoluuttisena ja erehtymättömänä pidetty euklidinen geometria ei siis ollutkaan ainutlaatuinen, jumalallinen kuvaus maailmasta vaan vain yksittäistapaus monien mahdollisuuksien joukossa. Tämä oli paha isku Kantin ja hänen seuraajiensa filosofialle ja vaikutti osaltaan siihen, että filosofit alkoivat 1800-luvun lopulla kyseenalaistaa tosina pidettyjä uskomuksia myös matematiikan ulkopuolella.

Epäeuklidisia geometrioita pidettiin pitkään jonkinlaisina loogisesti mahdollisina "paperimaailmoina", joita ei todellisuudessa ollut olemassa. Euklidisen geometrian katsottiin olevan erityisasemassa, sillä fysikaalisen todellisuuden ajateltiin olevan euklidinen.

Avaruudessa liikkuvien kappaleiden paikat laskettiin euklidiseen geometriaan pohjautuvilla kaavoilla. Taivaankappaleiden liikkeitä sääteli Newtonin painovoimateoria, jota pidettiin absoluuttisen totena. Tämä newtonilainen maailmankuva oli kuitenkin pakko hylätä.

Albert Einstein kehitti 1900-luvun alussa yleisen suhteellisuusteoriansa, joka korvasi Newtonin painovoimateorian ja mullisti fysikaalisen maailmankuvan. Suhteellisuusteoriassa fysikaalinen maailmankaikkeus on geometriselta rakenteeltaan epäeuklidinen, eli matematiikka oli luonut teorialle pohjan.


Matematiikasta tuli peli

Epäeuklidiset geometriat muuttivat käsityksiä matematiikasta niin radikaalisti, että niiden löytymistä voidaan pitää yhtenä matematiikan historian suurimmista kriiseistä.

Aikaisemmin matematiikkaa oli pidetty fyysiseen todellisuuteen pohjaavana vedenpitävänä järjestelmänä, joka tuotti oikeita tuloksia aukottoman logiikan avulla. Kun geometrian suhteellisuus hyväksyttiin, matematiikka muistutti pikemminkin peliä, jossa lähtökohdat - aksioomat - saatettiin valita vapaasti fyysisestä todellisuudesta piittaamatta.

Aksioomista voitiin loogisella päättelyllä edetä väitteisiin, jotka pitäisivät paikkansa, kunhan valitut aksioomat olisivat tosia. Matematiikassa voitiin näin ollen rakentaa lukemattomia vaihtoehtoisia, erilaisiin aksioomajoukkoihin pohjautuvia maailmoja.

Muitakin ennen tosina pidettyjä uskomuksia alettiin kyseenalaistaa, ja kulttuurirelativismi sai jalansijaa filosofisena suuntauksena. Termiä "epäeuklidinen" alettiin käyttää esimerkiksi politiikassa, etiikassa ja sosiologiassa kuvaamaan perinteitä rikkovaa ja radikaalia ajattelua.


Kaisa Kangas on matematiikan jatko-opiskelija, FM ja humanististen tieteiden kandidaatti.

Hyvä harrastus – ja helppo. Lukemista löytyy aina. Kuva: Shutterstock

Kieli rikastuu, ajattelu syvenee ja sosiaalinen taju kehittyy.

Tietokirjan järki on selvä: saa tietoa, jolla jäsentää maailmaa ja vaientaa mutuilijat. Riittävästi tietoa hankkimalla tulee asiantuntijaksi, ja sillä on selvä hyötyarvo.

Entä missä on fiktion lukijan tulosvastuu? Mitä itua on kuluttaa aikaansa tuntitolkulla hatusta vedettyjen ihmisten hatusta vedettyihin edesottamuksiin? Paljonkin: romaani tai novelli opettaa toimimaan muiden ihmisten kanssa.

Fiktio simuloi sosiaalista maailmaa, esittää asiaa tutkinut Toronton yliopiston psykologian professori Keith Oatley. Niin kuin lentosimulaattori opettaa lentotaitoja, sosiaalisten tilanteiden simulaattori – romaani – opettaa sosiaalisia taitoja.

Kokeet vahvistavat, että fiktiota lukeneet tajuavat paremmin so­siaalisia kuvioita kuin tietotekstiä lukeneet. 

Suvaitsevaisuus kasvaa

Kuvitteellisesta tarinasta on sekin ilo, että pääsee väliaikaisesti jonkun toisen nahkoihin. Samastuminen tarinan henkilöön voi muuttaa lukijan käyttäytymistä ja pistää asenteet uusiksi, ovat kokeillaan osoittaneet Ohion yliopiston tutkijat.

Samastumisella on vaaransa. Romaanin aiheuttama itsemurha-aalto koettiin 1700-luvun lopulla, kun nuoret onnettomat miehet matkivat Johan Wolfgang von Goethen päähenkilön tekoa Nuoren Wertherin kärsimyksissä.

Ohiolaistutkimuksessa vaikutus oli rakentavampi: kun nuoret aikuiset olivat lukeneet tarinan miehestä, joka meni äänestämään, he menivät hanakammin vaaliuurnille vielä viikon kuluttua lukemisesta. He olivat saaneet kansalaishyvetartunnan.

Valkoihoisten suvaitsevaisuutta taas kasvattivat tarinat, joissa päähenkilö osoittautui homoseksuaaliksi tai afroamerikkalaiseksi. Lukijoilta karisi myös stereotypioita. Tämä kuitenkin edellytti, että päähenkilön ”erilaisuus” paljastui vasta tarinan myöhemmässä vaiheessa ja lukijat olivat ehtineet asettua hänen nahkoihinsa.

Stressi väistyy

Kun uppoutuu lukemaan, maailman meteli jää kauas ja paineet hellittävät. Tuttu tunne, josta on myös tieteelliset näytöt: lukeminen poistaa stressiä.

Terveystieteen opiskelijat saivat Yhdysvalloissa tehdyssä tutkimuksessa lukeakseen netistä ja aikakauslehdestä poimittuja artikkeleita, jotka käsittelivät historiallisia tapauksia ja tulevaisuuden innovaatioita. Aihepiirit olivat siis kaukana tenttikirjojen pakkolukemistosta.

Puolentunnin lukutuokio riitti laskemaan verenpainetta, sykettä ja stressin tuntua. Huojennus on yhtä suuri kuin samanpituisella joogahetkellä tai televisiohuumorin katselulla. Mikä parasta, apu löytyy helposti, lukemista kun on aina saatavilla.

Sanasto karttuu

Kirjoitettu kieli on ylivoimaisesti suurempi uusien sanojen lähde kuin puhuttu. Erot lasten sanavaraston runsaudessa voi johtaa suoraan siihen, miten paljon he altistuvat erilaisille teksteille, vakuuttavat lukemisen tutkijat Anne Cunningham ja Keith Stanovich.

Tiuhimmin uutta sanastoa kohtaa tieteellisten julkaisujen tiivistelmissä: tuhatta sanaa kohti harvinaisia on peräti 128. Sanoma- ja aikakauslehdissä harvinaisten sanojen tiheys nousee yli 65:n ja aikuisten kirjoissa yli 50:n.

Lastenkirjakin voittaa sanaston monipuolisuudessa televisio-ohjelman mennen tullen. Lapsilukija kohtaa kirjassa yli 30 harvinaista sanaa tuhatta kohti, kun aikuisten telkkariviihdettä katsoessa niitä tulee vastaan 23 ja lastenohjelmissa 20.

Juttelukaan ei pahemmin kartuta sanavarastoa. Aikuispuhe sisältää vain 17 epätavallista sanaa tuhatta kohti.

Syntyy omia ajatuksia

Ihmisen aivoja ei ole ohjelmoitu lukemaan. Kun taito kehittyi 5 500 vuotta sitten, näkemiseen, kuulemiseen, puhumiseen ja ajatteluun rakentuneet alueet alkoivat tehdä uudenlaista yhteistyötä.

Nyt olemme jälleen uudenlaisen lukukulttuurin alussa. Verkkolukeminen on tullut jäädäkseen, ja jotkut pelkäävät, että tyhmistymme, kun totutamme aivomme ärsyketulvaan ja pikaselailuun netissä. Tiedonvälitys on lisääntynyt räjähdysmäisesti mutta niin myös häly.

Syventyvän lukemisen kohtalosta kantaa huolta professori Maryanne Wolf Tufts-yliopistosta. Tapaa näet kannattaisi vaalia. Aivokuvaukset paljastavat, että paneutuva lukija käyttää laajasti molempia aivopuoliskojaan. Hän ei vain vastaanota kirjoittajan sanomaa vaan vertaa sitä aiemmin hankkimaansa tietoon, erittelee sitä ja rakentaa omaa ajatteluaan. Pintalukijalla ei tähän ole aikaa.

Mikko Puttonen on Tiede-lehden toimittaja.

Julkaistu Tiede-lehdessä 12/2012 

Täysin raittiiden suomalaisnuorten osuus on moninkertaistunut vuosituhannen alusta.

Nuoruus raitistuu, kertoo Helsingin Sanomat jutussaan.

Nuorten alkoholin käyttö kasvoi vuoteen 1999, joka oli myös kaikkein kostein vuosi. Silloin vain joka kymmenes yhdeksäsluokkalainen ilmoitti, ettei ollut koskaan käyttänyt alkoholia.

Sittemmin täysin raittiiden osuus on moninkertaistunut, ilmenee vuoteen 2015 ulottuneesta eurooppalaisesta, nuorten päihteidenkäyttöä käsittelevästä Espad-tutkimuksesta.

Jopa muut eurooppalaiset jäävät jälkeen. Suomessa täysin raittiita 15–16-vuotiaista nuorista on joka neljäs, kun Euroopassa heitä on keskimäärin joka viides.

Terveyden ja hyvinvoinnin laitoksen THL:n erikoistutkija Kirsimarja Raitasalo kollegoineen on ­koettanut tunnistaa niitä nuoruuden muutoksia, jotka voisivat selittää humalan hiipumista.

Ratkaisevaa näyttää olleen ainakin se, että alaikäisten on yhä vaikeampi saada alkoholia. Nykynuoret kokevat sen selvästi hankalammaksi kuin aiemmat ikäpolvet.

Kauppojen omavalvonta on osaltaan tehonnut. Kassoilla kysytään kaikilta alle 30-vuotiaan näköisiltä papereita.

Vanhemmat ja muutkin aikuiset ovat tiukentaneet asenteitaan nuorten juomiseen.

”Tietoisuus alkoholin haitoista on ehkä lisääntynyt. On tullut paljon tutkimustietoa esimerkiksi siitä, miten alkoholi vaikuttaa nuorten aivojen kehitykseen”, Raitasalo pohtii.

Nuorten omakin maailma on muuttunut toisenlaiseksi. Älylaitteet, pelit ja sosiaalinen media kyllästävät arkea. Pussikaljoittelu joutuu kilpailemaan monen muun kiinnostavan ajanvietteen kanssa ja on ehkä osittain hävinnyt niille.

Juovuksissa olemisesta on ehkä tullut myös tyylirikko. Nuoret eivät enää näytä arvostavan kännissä örveltämistä.

Kysely

Mikä mielestäsi raitistaa nuoria?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä25796
Liittynyt16.3.2005

Viikon gallup: Mikä mielestäsi raitistaa nuoria?

Käyttäjä4809 kirjoitti: Eiköhän syy ole -90 luvulla alkaneen laman menetetyt työpaikat ja samalla supistettu koulutus, minkä seurauksena vuodestä -99 alkaen vanhemmilla ei enää ole ollut niin paljon rahaa annettavaksi nuorisolle. Sekä myös nuorisolle soveltuvien työpaikkojen vähentyminen ja samaan aikaan tapahtunut kohtuuton vuokrien nousu, vasinkin pääkaupunkiseudulla. En tiedä, mutta en usko rahaan. Esimerkiksi kilju, 10 % juoma joka maksaa joitain senttejä litralta, tuntuu olevan...
Lue kommentti
molaine
Seuraa 
Viestejä1189
Liittynyt3.8.2011

Viikon gallup: Mikä mielestäsi raitistaa nuoria?

En kyllä usko, että rahalla on iso merkitys ja veikkaan, että käytettävissä olevat rahat on vain kasvaneet, jos verrataan vaikka omaan nuoruuteen. Ei viina suomessa ole niin kallista, etteikö köyhälläkin olisi varaa dokailla. Oma junnu ei läträä lainkaan viinan kanssa. Iso osa kavereistakaan ei, vaikka osa ilmeisesti jonkin verran lipittelee. Kyllä nuorten asenteet on mielestäni muuttuneet ihan selkeästi. Ehkä alkoholipolitiikka on toiminut? Kotoa ei meillä kyllä tällaista ole opittu...
Lue kommentti

Panterarosa: On selvää, että "Partitava kisaa kurupati-kuvaa" ei oikein aukene kehitysmaalaisille N1c- kalmukinperseille.