Euklidinen geometria oli pitkään maailmankaikkeuden kulmakivi, absoluuttinen totuus. Ei ihme, että uudet geometriat ravistelivat ajattelua. Kaiken lisäksi keksittiin, että universumikin on epäeuklidinen.



Julkaistu Tiede -lehdessä 11/2009

Antiikin Kreikassa syntyi matematiikan ala, joka alun perin palveli maanmit¬tauksen tarkoitusperiä. Tunnemme sen nimellä geometria.

Eukleides Aleksandrialainen kokosi geometrian perusteet Alkeet-nimiseksi oppikirjaksi. Eukleideen geometria perustui viidelle yksinkertaiselle lauseelle, jotka tuntuivat niin itsestään selviltä, että ne saattoi vaaratta olettaa tosiksi. Näitä viittä lausetta sanotaan aksioomiksi.

Aksioomista tunnetuin on paralleeli- eli yhdensuuntaisuusaksiooma: mikäli on annettu suora sekä piste, joka ei ole tällä suoralla, pisteen kautta voidaan piirtää yksi - ja ainoastaan yksi - suora, joka ei leikkaa annettua suoraa eli on sen kanssa yhdensuuntainen.


Aukottoman varmaa tietoa

Aksioomat olivat siis geometrian lähtökohta. Sen kaikki muut lainalaisuudet, kuten vaikkapa se, että kolmion kulmien summa on 180 astetta niin kuin meille on koulussa opetettu, osoitettiin tosiksi johtamalla ne aksioomista loogisesti päätellen.

1800-luvulle asti Eukleideen geometrian tuloksia pidettiin aukottoman varmoina; niiden paikkansapitävyys oli suorastaan inhimillisen ajattelun kulmakivi. Lisäksi ajalteltiin, että euklidinen geometria kuvastaa todellisuutta, jossa elämme, ja että sitä voi sellaisenaan soveltaa fysikaaliseen maailmaan.

Rationalistiseen koulukuntaan kuuluneet filosofit, etunenässä saksalainen Immanuel Kant (1724-1804), käyttivät geometriaa esimerkkinä ulkomaailmaa koskevasta tiedosta, joka on saavutettavissa puhtaasti ajattelun avulla. Tällä esimerkillä he halusivat kumota vastapuolen eli empirististen filosofien väitteet, joiden mukaan kaikki ulkomaailmaa koskeva tietomme pohjautuu aistihavaintoihin tai kokeisiin.


Todistelut epäonnistuivat

Nopeasti ajateltuna paralleeliaksiooma tuntuu ilman muuta paikkansapitävältä. Mutta se on sisällöltään itse asiassa paljon monimutkaisempi kuin Eukleideen neljä muuta perusaksioomaa.

Matematiikan luonteelle on tyypillistä, että vain kaikkein yksinkertaisimmat väitteet hyväksytään aksioomiksi ja kaikki muut - vaikka niitä pidettäisiin kuinka itsestään selvinä - on todistettava niiden pohjalta. Niinpä antiikin ajoista aina 1800-luvulle asti matemaatikot pyrkivät osoittamaan paralleeliaksiooman todeksi neljän yksinkertaisemman aksiooman perusteella. Jos tässä olisi onnistuttu, euklidisesta geometriasta olisi tullut entistä elegantimpi järjestelmä.

Todistusyritykset osoittautuivat turhauttaviksi. Esimerkiksi 1800-luvulla elänyt unkarilainen matematiikan opettaja Farkas Bólyai käytti suuren osan elämästään yrittäen todistaa paralleeliaksioomaa. Hänen poikaansa Jānos Bólyaita kiinnosti sama ongelma, mutta isä neuvoi luopumaan yrityksestä: "Vältä sitä kuin lihallista himoa, sillä sekin voi viedä kaiken aikasi, terveytesi, mielenrauhasi ja elämäsi onnen."


Syntyi uusia geometrioita

Epäonnistumisten syynä oli, että paralleeliaksioomaa ei tosiasiassa ole mahdollista todistaa paikkansapitäväksi euklidisen geometrian muiden aksioomien pohjalta. Voidaan nimittäin rakentaa sellaisia geometrian järjestelmiä, joissa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Näitä geometrioita sanotaan epäeuklidisiksi.

Jānos Bólyai jatkoi tutkimuksiaan isänsä varoituksista huolimatta ja onnistui lopulta rakentamaan epäeuklidisen järjestelmän. Venäläinen matemaatikko Nikolai Lobatševski päätyi itsenäisesti samaan tulokseen samoihin aikoihin. Myös kuuluisa saksalainen matemaatikko Carl Gauss oli jo aikaisemmin kehittänyt epäeuklidisia geometrioita, mutta ei ollut julkaissut tuloksiaan.

Koska näihin uusiin geometrioihin ei sisältynyt loogisia ristiriitoja, niitä voitiin pitää matemaattisessa mielessä tosina. Näin euklidinen geometria oli menettänyt absoluuttisuutensa. Se ei ollut väärä eikä virheellinen, mutta se ei myöskään ollut ainoa oikea vaihtoehto.


Pannaan pinta kaarelle

On kaksi vaihtoehtoa, joilla paralleeliaksiooma voidaan korvata epäeuklidisissa geometrioissa: joko suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää useita suoria, jotka eivät leikkaa ensimmäistä suoraa, tai sitten kaikki suorat leikkaavat toisensa.

Eukleideen geometria pitää paikkansa niin kauan kun geometriset kuviot ajatellaan piirretyksi tasopinnalle, mutta mikä tahansa kupera tai kovera pinta tarjoaa käytännön esimerkin epäeuklidisesta geometriasta.

Esimerkiksi kaikki pallopinnalle piirretyt suorat leikkaavat toisensa. "Suorina" pidetään tässä tapauksessa pallon pinnalle piirrettyjä isoympyröitä eli sellaisia ympyröitä, joiden keskipisteenä on pallon keskipiste ja säteenä pallon säde. Tällöin ympyrän kehä on suurin mahdollinen - sama kuin koko pallon - mistä nimi isoympyrä; pienempiä ympyröitä nimitetään pikkuympyröiksi.

Maapallon pituuspiirit ovat isoympyröitä, mutta leveyspiireistä ainoastaan päiväntasaaja muodostaa isoympyrän. Voi myös ajatella, että maapallolla isoympyröitä ovat kaikki sellaiset suorat reitit, joita pitkin on mahdollista tehdä maailmanympärimatka. Mitä tahansa pituuspiiriä pitkin matkaava turisti tulee kulkeneeksi maapallon ympäri, mutta Helsingistä 60. leveyspiiriä pitkin takaisin Helsinkiin kulkevan matkaajan taival jää vajaksi.

Pallogeometriaa nimitetään elliptiseksi geometriaksi. Satulaa muistuttava kovera pinta puolestaan muodostaa hyperbolisen geometrian. Siinä suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää ääretön määrä suoria, jotka eivät leikkaa ensimmäistä suoraa. Elliptisessä geometriassa kolmion kul¬mien summa on aina yli 180 astetta ja hyperbolisessa geometriassa aina alle 180 astetta.


Maailmakuva mureni

Kun epäeuklidiset geometriat kehitettiin, tuli matemaattisesti osoitetuksi, että paralleeliaksiooma ei ollutkaan ehdoton totuus.

Absoluuttisena ja erehtymättömänä pidetty euklidinen geometria ei siis ollutkaan ainutlaatuinen, jumalallinen kuvaus maailmasta vaan vain yksittäistapaus monien mahdollisuuksien joukossa. Tämä oli paha isku Kantin ja hänen seuraajiensa filosofialle ja vaikutti osaltaan siihen, että filosofit alkoivat 1800-luvun lopulla kyseenalaistaa tosina pidettyjä uskomuksia myös matematiikan ulkopuolella.

Epäeuklidisia geometrioita pidettiin pitkään jonkinlaisina loogisesti mahdollisina "paperimaailmoina", joita ei todellisuudessa ollut olemassa. Euklidisen geometrian katsottiin olevan erityisasemassa, sillä fysikaalisen todellisuuden ajateltiin olevan euklidinen.

Avaruudessa liikkuvien kappaleiden paikat laskettiin euklidiseen geometriaan pohjautuvilla kaavoilla. Taivaankappaleiden liikkeitä sääteli Newtonin painovoimateoria, jota pidettiin absoluuttisen totena. Tämä newtonilainen maailmankuva oli kuitenkin pakko hylätä.

Albert Einstein kehitti 1900-luvun alussa yleisen suhteellisuusteoriansa, joka korvasi Newtonin painovoimateorian ja mullisti fysikaalisen maailmankuvan. Suhteellisuusteoriassa fysikaalinen maailmankaikkeus on geometriselta rakenteeltaan epäeuklidinen, eli matematiikka oli luonut teorialle pohjan.


Matematiikasta tuli peli

Epäeuklidiset geometriat muuttivat käsityksiä matematiikasta niin radikaalisti, että niiden löytymistä voidaan pitää yhtenä matematiikan historian suurimmista kriiseistä.

Aikaisemmin matematiikkaa oli pidetty fyysiseen todellisuuteen pohjaavana vedenpitävänä järjestelmänä, joka tuotti oikeita tuloksia aukottoman logiikan avulla. Kun geometrian suhteellisuus hyväksyttiin, matematiikka muistutti pikemminkin peliä, jossa lähtökohdat - aksioomat - saatettiin valita vapaasti fyysisestä todellisuudesta piittaamatta.

Aksioomista voitiin loogisella päättelyllä edetä väitteisiin, jotka pitäisivät paikkansa, kunhan valitut aksioomat olisivat tosia. Matematiikassa voitiin näin ollen rakentaa lukemattomia vaihtoehtoisia, erilaisiin aksioomajoukkoihin pohjautuvia maailmoja.

Muitakin ennen tosina pidettyjä uskomuksia alettiin kyseenalaistaa, ja kulttuurirelativismi sai jalansijaa filosofisena suuntauksena. Termiä "epäeuklidinen" alettiin käyttää esimerkiksi politiikassa, etiikassa ja sosiologiassa kuvaamaan perinteitä rikkovaa ja radikaalia ajattelua.


Kaisa Kangas on matematiikan jatko-opiskelija, FM ja humanististen tieteiden kandidaatti.

Kätevä sana on valunut moneen käyttöön.

Makea vesi kuuluu elämän perusedellytyksiin. Siksi tuntuu itsestään selvältä, että vesi-sana kuuluu suomen kielen vanhimpiin sanastokerroksiin.

Se ei kuitenkaan ole alun perin oma sana, vaan hyvin vanha laina indoeurooppalaisista kielistä, samaa juurta kuin saksan Wasser ja englannin water.

Suomensukuisissa kielissä on toinenkin vettä merkitsevä sana, jota edustaa esimerkiksi saamen čáhci, mutta sen vastine ei syystä tai toisesta ole säilynyt suomessa. Ehkäpä indoeurooppalainen tuontivesi on tuntunut muodikkaammalta ja käyttökelpoisemmalta.

Tarkemmin ajatellen vesi-sana on monimerkityksinen. Luonnon tavallisimman nesteen lisäksi se voi tarkoittaa muunkinlaisia nesteitä, kuten yhdyssanoissa hajuvesi, hiusvesi tai menovesi.

Vesiä voi erotella käsittelyn tai käyttötarkoituksen mukaan, vaikka Suomen oloissa juomavesi, kasteluvesi ja sammutusvesi ovatkin usein samaa tavaraa. Sade- ja sulamisvesistä tulee varsinkin asutuskeskuksissa viemäröitävää hulevettä. Murteissa hulevesi tarkoittaa tulvaa tai muuta väljää vettä, esimerkiksi sellaista, jota nousee sopivilla säillä jään päälle.

Luonnon osana vesi voi viitata erilaisiin vedenkokoumiin, etenkin järviin. Suomen peruskartasta löytyy satoja vesi-loppuisia paikannimiä, joista useimmat ovat vesistönnimiä, kuten Haukivesi, Hiidenvesi tai Puulavesi.

Useat vesien rannalla olevat asutuskeskukset ovat saaneet nimensä vesistön mukaan. Vesi-sana ei enää suoranaisesti viittaa veteen, kun puhutaan vaikkapa Petäjäveden kirkosta tai Ruoveden pappilasta.

Vesi-sanasta on aikojen kuluessa muodostettu valtava määrä johdoksia ja yhdyssanoja. Näistä suuri osa on vanhoja kansanomaisia murresanoja, kuten vetelä, vetinen, vetistää ja vettyä.

Vesikosta on muistona enää nimi, sillä tämä vesien äärellä ja vedessä viihtyvä näätäeläin on hävinnyt Suomesta 1900-luvun kuluessa. Myyttisiä veden asukkaita ovat olleet vetehinen ja vesu eli vesikyy, jotka mainitaan myös Kalevalassa.

Antiikista 1700-luvun loppupuolelle asti uskottiin veden olevan yksi maailman alkuaineista. Sitten selvisi, että se onkin vedyn ja hapen yhdiste. Oppitekoinen uudissana vety tuli suomen kielessä tarpeelliseksi kuitenkin vasta 1800-luvun puolimaissa, kun luonnontieteistä alettiin puhua ja kirjoittaa suomeksi.

Kaisa Häkkinen on suomen kielen emeritaprofessori Turun yliopistossa.

Julkaistu Tiede-lehden numerossa 11/2018

Hirmun anatomia on selvinnyt sääsatelliittien mikroaaltoluotaimilla. Ne näkevät pilvien läpi myrskyn ytimeen ja paljastavat ukkospatsaat, joista myrsky saa vauhtinsa. Kuva: Nasa/Trimm

Pyörivät tuulet imevät energiansa veden lämmöstä.

Trooppiset rajuilmat tappoivat vuosina 1995–2016 lähes 244 000 ihmistä, koettelivat muuten 750 miljoonaa ihmistä ja tuhosivat omaisuutta runsaan 1 000 miljardin dollarin arvosta, enemmän kuin mitkään muut mullistukset, esimerkiksi tulvat tai maanjäristykset.

Näin arvioi maailman luonnonkatastrofeja tilastoiva belgialainen Cred-tutkimuslaitos raporteissaan, joissa se laskee katastrofien pitkän aikavälin inhimillistä hintaa.

Myrskytuhot ovat panneet myrskytutkijat ahtaalle. Kaikki tahtovat tietää, mistä näitä rajuilmoja tulee. Lietsooko niitä ilmastonmuutos?

Lämpö alkaa tuntua

Näihin asti tutkijapiireissä on ollut vallalla käsitys, jonka mukaan hirmuista ei voi syyttää ilmastonmuutosta vielä kotvaan. Se alkaa voimistaa myrskyjä vasta pitkällä aikajänteellä.

Nyt hurjimpia myrskyjä on kuitenkin alettu kytkeä ilmaston lämpenemiseen. Esimerkiksi alkusyksystä 2017 Maailman ilmatieteen järjestö WMO arvioi, että lämpeneminen todennäköisesti rankensi elokuussa Houstonin hukuttaneen Harvey-myrskyn sateita.

Jotkut tutkijat ovat puhuneet kytköksistä jo vuosia.

Esimerkiksi Kerry Emanuel, Massachusettsin teknisen yliopiston myrskyspesialisti, laski 2005, Katrinan runnottua New Orleansia, että Atlantin ja Tyynenmeren myrskyt ovat nykyään 60 prosenttia voimakkaampia kuin 1970-luvulla.

Keväällä 2013 Nils Bohr -instituutin Aslak Grinsted raportoi, että lämpenemiskehitys vaikuttaa myrskyissä syntyviin tulva-aaltoihin.

Kun maapallon keskilämpötila nousee 0,4 astetta, myrskytulvien määrä tuplaantuu. Tämä rajapyykki on jo ohitettu. Kun lämpötila nousee kaksi astetta, tulvat kymmenkertaistuvat. Silloin superrajuja myrskyjä hyökyy Atlantilta joka toinen vuosi. Tähän asti niitä on nähty kerran 20 vuodessa.

Meri lämpenee otollisesti

Tärkein myrskyjä ruokkiva muutosvoima löytyy sieltä, mistä myrskyt ammentavat energiansa ja mihin ilmastonmuutoksen nähdään vaikuttavan: meriveden lämpötilasta. Se kehittyy myrskyille otolliseen suuntaan.

Esimerkiksi Meksikonlahdella, hurrikaanien voimanpesässä, on mitattu jopa pari astetta tavallista korkeampia meriveden lämpötiloja.

Kun Haiyan, yksi kaikkien aikojen kovimmista taifuuneista, marraskuussa 2013 jätti kaksi miljoonaa filippiiniläistä kodittomiksi, meri oli myrskyn syntyalueella vielä sadan metrin syvyydessä kolme astetta normaalia lämpimämpi.

Meressä tapahtuu muutakin epäedullista: pinta nousee. Se kasvattaa myrskyjen nostattamia tulva-aaltoja, jotka usein saavat aikaan pahinta tuhoa.

 

Näin hirmumyrsky kehittyy

Hirmun syntymekanismi on sama kaikkialla, vaikka nimitykset vaihtelevat. Atlantilla ja Amerikan puoleisella Tyynellämerellä puhutaan hurrikaaneista, Aasian puolella taifuuneista ja Intian valtamerellä ja Oseaniassa sykloneista. Grafiikka: Mikko Väyrynen

 

Trooppisia hirmumyrskyjä syntyy päiväntasaajan molemmin puolin 5. ja 25. leveyspiirin välillä. Päiväntasaajalla niitä ei muodostu, sillä sieltä puuttuu coriolisvoima, jota myrsky tarvitsee pyörimiseensä

Kehittyäkseen myrsky vaatii tietynlaiset olot. Suursäätilan pitää olla laajalla alueella epävakaa ja ukkossateinen ja meriveden vähintään 26 asteista 50 metrin syvyydeltä. Lisäksi tuulien pitää puhaltaa heikosti 12 kilometrin korkeuteen asti. Voimakkaissa virtauksissa myrskynpoikanen hajoaa.

1. Merestä nousee lämmintä, kosteaa ilmaa. Se kohoaa nopeas­ti ja tiivistyy ukkospilviksi, jotka kohoavat 10–15 kilometrin korkeuteen. Samalla vapautuu lämpöä, mikä ruokkii matalapainetta.

2. Fysiikan säilymislakien mukaan ylös kohoavan ilman tilalle virtaa ympäriltä korvausilmaa, jolloin ilmanpaine alueella laskee.

3. Lämpöä kohoaa ylös yhä laajemmalti, ukkospilvien jono venyy, ja ilman virtausliikkeet voimistuvat. Ilmanpaine laskee lisää, ja alueelle syntyy liikkuva matalapaineen keskus.

4. Paine-ero tuottaa voiman, joka alkaa pyörittää tuulia kiihtyvää vauhtia. Maan pyörimisliikkeestä aiheutuva coriolisvoima kiertää niitä spiraalin lailla vastapäivään kohti matalan keskusta. Kun tuulen sekuntinopeus nousee yli 33 metrin, on syntynyt trooppinen hirmumyrsky.

Hurjimmissa myrskyissä tuulen nopeus nousee 70–90 metriin sekunnissa. Pyörteen halkaisija vaihtelee puolestaan 400 kilometristä 1 000 kilometriin.

5. Myrskyn voimistuessa sen ylle muodostuu korkeapaine, joka pyörii tuulia vastaan. Laskeva ilmavirtaus kuivattaa ja lämmittää keskusta, ja se seestyy myrskynsilmäksi.

6. Silmää kiertävät tuulet sekoittavat tehokkaasti meren pintaa 50–100 metrin syvyydeltä. Kun lämmintä vettä painuu syvyyksiin ja viileää kohoaa pintaan, ”lämpövoimala” jäähtyy ja hitaasti liikkuva myrsky voi heikentyä. Nopeaan myrskyyn jarru ei ehdi vaikuttaa, ja silloin kumpuava vesi voi loppumatkasta muuttua vaaralliseksi.

7. Kun ranta lähestyy ja meri madaltuu, tuulet pakkaavat vettä myrskyn tielle tulva-aalloksi, joka syöksyy myrskyn mukana maalle tuhoisin seurauksin.

Maalle saavuttuaan myrsky laantuu, kun se ei enää saa käyttövoimaa meren lämmöstä.

 

Tuula Kinnarinen on Tiede-lehden toimitussihteeri.

Julkaistu Tiede-lehdessä 1/2014. Päivitetty 12.9.2018.