Euklidinen geometria oli pitkään maailmankaikkeuden kulmakivi, absoluuttinen totuus. Ei ihme, että uudet geometriat ravistelivat ajattelua. Kaiken lisäksi keksittiin, että universumikin on epäeuklidinen.



Sisältö jatkuu mainoksen alla

Julkaistu Tiede -lehdessä 11/2009

Antiikin Kreikassa syntyi matematiikan ala, joka alun perin palveli maanmit¬tauksen tarkoitusperiä. Tunnemme sen nimellä geometria.

Eukleides Aleksandrialainen kokosi geometrian perusteet Alkeet-nimiseksi oppikirjaksi. Eukleideen geometria perustui viidelle yksinkertaiselle lauseelle, jotka tuntuivat niin itsestään selviltä, että ne saattoi vaaratta olettaa tosiksi. Näitä viittä lausetta sanotaan aksioomiksi.

Aksioomista tunnetuin on paralleeli- eli yhdensuuntaisuusaksiooma: mikäli on annettu suora sekä piste, joka ei ole tällä suoralla, pisteen kautta voidaan piirtää yksi - ja ainoastaan yksi - suora, joka ei leikkaa annettua suoraa eli on sen kanssa yhdensuuntainen.

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Aukottoman varmaa tietoa

Aksioomat olivat siis geometrian lähtökohta. Sen kaikki muut lainalaisuudet, kuten vaikkapa se, että kolmion kulmien summa on 180 astetta niin kuin meille on koulussa opetettu, osoitettiin tosiksi johtamalla ne aksioomista loogisesti päätellen.

1800-luvulle asti Eukleideen geometrian tuloksia pidettiin aukottoman varmoina; niiden paikkansapitävyys oli suorastaan inhimillisen ajattelun kulmakivi. Lisäksi ajalteltiin, että euklidinen geometria kuvastaa todellisuutta, jossa elämme, ja että sitä voi sellaisenaan soveltaa fysikaaliseen maailmaan.

Rationalistiseen koulukuntaan kuuluneet filosofit, etunenässä saksalainen Immanuel Kant (1724-1804), käyttivät geometriaa esimerkkinä ulkomaailmaa koskevasta tiedosta, joka on saavutettavissa puhtaasti ajattelun avulla. Tällä esimerkillä he halusivat kumota vastapuolen eli empirististen filosofien väitteet, joiden mukaan kaikki ulkomaailmaa koskeva tietomme pohjautuu aistihavaintoihin tai kokeisiin.


Todistelut epäonnistuivat

Nopeasti ajateltuna paralleeliaksiooma tuntuu ilman muuta paikkansapitävältä. Mutta se on sisällöltään itse asiassa paljon monimutkaisempi kuin Eukleideen neljä muuta perusaksioomaa.

Matematiikan luonteelle on tyypillistä, että vain kaikkein yksinkertaisimmat väitteet hyväksytään aksioomiksi ja kaikki muut - vaikka niitä pidettäisiin kuinka itsestään selvinä - on todistettava niiden pohjalta. Niinpä antiikin ajoista aina 1800-luvulle asti matemaatikot pyrkivät osoittamaan paralleeliaksiooman todeksi neljän yksinkertaisemman aksiooman perusteella. Jos tässä olisi onnistuttu, euklidisesta geometriasta olisi tullut entistä elegantimpi järjestelmä.

Todistusyritykset osoittautuivat turhauttaviksi. Esimerkiksi 1800-luvulla elänyt unkarilainen matematiikan opettaja Farkas Bólyai käytti suuren osan elämästään yrittäen todistaa paralleeliaksioomaa. Hänen poikaansa Jānos Bólyaita kiinnosti sama ongelma, mutta isä neuvoi luopumaan yrityksestä: "Vältä sitä kuin lihallista himoa, sillä sekin voi viedä kaiken aikasi, terveytesi, mielenrauhasi ja elämäsi onnen."


Syntyi uusia geometrioita

Epäonnistumisten syynä oli, että paralleeliaksioomaa ei tosiasiassa ole mahdollista todistaa paikkansapitäväksi euklidisen geometrian muiden aksioomien pohjalta. Voidaan nimittäin rakentaa sellaisia geometrian järjestelmiä, joissa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Näitä geometrioita sanotaan epäeuklidisiksi.

Jānos Bólyai jatkoi tutkimuksiaan isänsä varoituksista huolimatta ja onnistui lopulta rakentamaan epäeuklidisen järjestelmän. Venäläinen matemaatikko Nikolai Lobatševski päätyi itsenäisesti samaan tulokseen samoihin aikoihin. Myös kuuluisa saksalainen matemaatikko Carl Gauss oli jo aikaisemmin kehittänyt epäeuklidisia geometrioita, mutta ei ollut julkaissut tuloksiaan.

Koska näihin uusiin geometrioihin ei sisältynyt loogisia ristiriitoja, niitä voitiin pitää matemaattisessa mielessä tosina. Näin euklidinen geometria oli menettänyt absoluuttisuutensa. Se ei ollut väärä eikä virheellinen, mutta se ei myöskään ollut ainoa oikea vaihtoehto.


Pannaan pinta kaarelle

On kaksi vaihtoehtoa, joilla paralleeliaksiooma voidaan korvata epäeuklidisissa geometrioissa: joko suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää useita suoria, jotka eivät leikkaa ensimmäistä suoraa, tai sitten kaikki suorat leikkaavat toisensa.

Eukleideen geometria pitää paikkansa niin kauan kun geometriset kuviot ajatellaan piirretyksi tasopinnalle, mutta mikä tahansa kupera tai kovera pinta tarjoaa käytännön esimerkin epäeuklidisesta geometriasta.

Esimerkiksi kaikki pallopinnalle piirretyt suorat leikkaavat toisensa. "Suorina" pidetään tässä tapauksessa pallon pinnalle piirrettyjä isoympyröitä eli sellaisia ympyröitä, joiden keskipisteenä on pallon keskipiste ja säteenä pallon säde. Tällöin ympyrän kehä on suurin mahdollinen - sama kuin koko pallon - mistä nimi isoympyrä; pienempiä ympyröitä nimitetään pikkuympyröiksi.

Maapallon pituuspiirit ovat isoympyröitä, mutta leveyspiireistä ainoastaan päiväntasaaja muodostaa isoympyrän. Voi myös ajatella, että maapallolla isoympyröitä ovat kaikki sellaiset suorat reitit, joita pitkin on mahdollista tehdä maailmanympärimatka. Mitä tahansa pituuspiiriä pitkin matkaava turisti tulee kulkeneeksi maapallon ympäri, mutta Helsingistä 60. leveyspiiriä pitkin takaisin Helsinkiin kulkevan matkaajan taival jää vajaksi.

Pallogeometriaa nimitetään elliptiseksi geometriaksi. Satulaa muistuttava kovera pinta puolestaan muodostaa hyperbolisen geometrian. Siinä suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää ääretön määrä suoria, jotka eivät leikkaa ensimmäistä suoraa. Elliptisessä geometriassa kolmion kul¬mien summa on aina yli 180 astetta ja hyperbolisessa geometriassa aina alle 180 astetta.


Maailmakuva mureni

Kun epäeuklidiset geometriat kehitettiin, tuli matemaattisesti osoitetuksi, että paralleeliaksiooma ei ollutkaan ehdoton totuus.

Absoluuttisena ja erehtymättömänä pidetty euklidinen geometria ei siis ollutkaan ainutlaatuinen, jumalallinen kuvaus maailmasta vaan vain yksittäistapaus monien mahdollisuuksien joukossa. Tämä oli paha isku Kantin ja hänen seuraajiensa filosofialle ja vaikutti osaltaan siihen, että filosofit alkoivat 1800-luvun lopulla kyseenalaistaa tosina pidettyjä uskomuksia myös matematiikan ulkopuolella.

Epäeuklidisia geometrioita pidettiin pitkään jonkinlaisina loogisesti mahdollisina "paperimaailmoina", joita ei todellisuudessa ollut olemassa. Euklidisen geometrian katsottiin olevan erityisasemassa, sillä fysikaalisen todellisuuden ajateltiin olevan euklidinen.

Avaruudessa liikkuvien kappaleiden paikat laskettiin euklidiseen geometriaan pohjautuvilla kaavoilla. Taivaankappaleiden liikkeitä sääteli Newtonin painovoimateoria, jota pidettiin absoluuttisen totena. Tämä newtonilainen maailmankuva oli kuitenkin pakko hylätä.

Albert Einstein kehitti 1900-luvun alussa yleisen suhteellisuusteoriansa, joka korvasi Newtonin painovoimateorian ja mullisti fysikaalisen maailmankuvan. Suhteellisuusteoriassa fysikaalinen maailmankaikkeus on geometriselta rakenteeltaan epäeuklidinen, eli matematiikka oli luonut teorialle pohjan.


Matematiikasta tuli peli

Epäeuklidiset geometriat muuttivat käsityksiä matematiikasta niin radikaalisti, että niiden löytymistä voidaan pitää yhtenä matematiikan historian suurimmista kriiseistä.

Aikaisemmin matematiikkaa oli pidetty fyysiseen todellisuuteen pohjaavana vedenpitävänä järjestelmänä, joka tuotti oikeita tuloksia aukottoman logiikan avulla. Kun geometrian suhteellisuus hyväksyttiin, matematiikka muistutti pikemminkin peliä, jossa lähtökohdat - aksioomat - saatettiin valita vapaasti fyysisestä todellisuudesta piittaamatta.

Aksioomista voitiin loogisella päättelyllä edetä väitteisiin, jotka pitäisivät paikkansa, kunhan valitut aksioomat olisivat tosia. Matematiikassa voitiin näin ollen rakentaa lukemattomia vaihtoehtoisia, erilaisiin aksioomajoukkoihin pohjautuvia maailmoja.

Muitakin ennen tosina pidettyjä uskomuksia alettiin kyseenalaistaa, ja kulttuurirelativismi sai jalansijaa filosofisena suuntauksena. Termiä "epäeuklidinen" alettiin käyttää esimerkiksi politiikassa, etiikassa ja sosiologiassa kuvaamaan perinteitä rikkovaa ja radikaalia ajattelua.


Kaisa Kangas on matematiikan jatko-opiskelija, FM ja humanististen tieteiden kandidaatti.

Sisältö jatkuu mainoksen alla