Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuria pidetään matematiikan merkittävimpänä otaksumana, mutta pitääkö se paikkansa?

Teksti: Kaisa Kangas

Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuria pidetään matematiikan merkittävimpänä otaksumana, mutta pitääkö se paikkansa?

Julkaistu Tiede -lehdessä 6/20111960-luvun alkupuolella kaksi brittiläistä matemaatikkoa, Bryan Birch ja Peter Swinnerton-Dyer, tekivät laskelmia yhdellä sen ajan tehokkaimmista tietokoneista. Tarkoituksena oli tutkia, milloin niin sanotuilla elliptisillä käyrillä on ääretön määrä pisteitä, joiden koordinaatit ovat kokonais- tai murtolukuja. Saamansa aineiston pohjalta he muodostivat otaksuman, jonka mukaan näin on täsmälleen silloin, kun tietyt ehdot toteutuvat. Tämä väite tunnetaan Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuurina. Jos joku onnistuu todistamaan sen oikeaksi, hänelle on luvassa miljoonan dollarin palkinto. Tehtävä ei ole helppo, sillä jo itse väitteen sisäistäminen voi olla hankalaa matemaatikollekin, mikäli tämän erikoisala ei ole kokonaislukujen ominaisuuksia tutkiva lukuteoria.Jotkut pitävät Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuria koko matematiikan merkittävimpänä otaksumana, sillä elliptisillä käyrillä on yhteyksiä useisiin matematiikan eri alueisiin. Ne olivat ratkaisevassa osassa myös aikamme suurimmassa matemaattisessa menestystarinassa, Fermat’n suuren lauseen todistamisessa.

Fermat kirjoitti marginaaliin Fermat’n suuren lauseen tarina alkaa 1600-luvulta, jolloin ranskalainen Pierre de Fermat lueskeli 200-luvulla eläneen Diofantos Aleksandrialaisen kirjoittamaa Arithmetica-teosta, johon on koottu algebrallisia tehtäviä. Kirjassa on kohta, joka käsittelee erästä hyvin tunnettua matemaattista kaavaa, Pythagoraan lausetta. Sen mukaan suorakulmaisen kolmion pisimmän sivun neliö on lyhyempien sivujen neliöiden summa. Toisin sanoen kolme kokonaislukua voivat olla suorakulmaisen kolmion sivuina vain, jos ne toteuttavat yhtälön x potenssiin 2 + y potenssiin 2 = z potenssiin 2. On mahdollista piirtää loputtoman monta erilaista suorakulmaista kolmiota, joten löytyy ääretön määrä lukukolmikoita, jotka toteuttavat yhtälön. Esimerkiksi x = 3, y = 4, z = 5 ja x = 5, y = 12, z = 13 ovat tällaisia Pythagoraan lukuja. Fermat kirjoitti Pythagoraan yhtälöä koskevan sivun marginaaliin väitteen, josta tuli kuuluisa: mikäli eksponenttina esiintyvä luku 2 korvattaisiin jollakin suuremmalla luvulla, yhtälölle ei löytyisi lainkaan kokonaislukuratkaisuja, joissa luvut x, y ja z olisivat nollaa suurempia.Fermat kirjoitti myös keksineensä asialle nerokkaan todistuksen, joka ei ikävä kyllä mahtunut marginaaliin. Muutaman vuosisadan ajan matemaatikot yrittivät tuloksetta keksiä, millainen Fermat’n nerokas todistus olisi voinut olla. Tehtävä oli pitkään Guinnessin ennätysten kirjassa maailman vaikeimpana matemaattisena ongelmana. Se olisi varmasti päässyt Millennium-listalle, ellei sitä olisi ratkaistu vuonna 1994.

Elliptinen käyrä yhdistää1960-luvun alussa, samoihin aikoihin kun Birch ja Swinnerton-Dyer tekivät laskel¬miaan, kymmenvuotias Andrew Wiles selaili lähikirjastonsa kirjoja ja törmäsi Fermat’n suureen lauseeseen. Itse väite oli niin yksinkertainen, että lapsikin kykeni ymmärtämään sen. Silti matemaatikot olivat kolmensadan vuoden ajan yrittäneet osoittaa sitä todeksi – tuloksetta. Andrew päätti ratkaista ongelman. Fermat’n suuri lause pysyi hänen mielessään läpi kouluvuosien ja yliopisto-opintojen. Aina oppiessaan uudenlaista matematiikkaa hän pohti, voisiko sitä soveltaa tähän ongelmaan. Vuonna 1994, keskityttyään yli seitsemän vuotta yhtäjaksoisesti yksinomaan Fermat’n ongelmaan, Wiles lopulta onnistui toteuttamaan lapsuuden haaveensa. Yli 350 vuotta oli kulunut siitä kun Fermat kirjoitti kuuluisat sanansa marginaaliin.Keskeisessä asemassa Wilesin todistuksessa olivat elliptiset käyrät. Jo aiemmin oli käynyt ilmi, että mikäli Fermat’n yhtälöllä vastoin matemaatikkojen odotuksia olisi kokonaislukuratkaisu, voisi tämän ratkaisun avulla muodostaa elliptisen käyrän, jolla olisi varsin kummallisia ominaisuuksia. Wiles onnistui osoittamaan, että tällaista käyrää ei voi olla olemassa. Näin ollen myöskään Fermat’n yhtälöllä ei ole kokonaislukuratkaisuja.  Wilesin todistus oli yli sata sivua pitkä, joten sitä tuskin olisi saanut mahdutettua marginaaliin vaikka olisi käyttänyt kuinka pientä käsialaa. Wiles myös käytti matemaattisia menetelmiä, joita ei tunnettu Fermat’n elinaikana, joten on varsin epätodennäköistä, että Fermat olisi todella ratkaissut ongelman. Jotkut ovatkin sanoneet Fermat’ta kaikkien aikojen suurimmaksi matemaattiseksi huijariksi. Fermat’n suuren lauseen todistusta pidetään aikamme suurimpana matemaattisena menestystarinana. Se toi Wilesille paitsi maailmanmainetta myös kasapäin erilaisia palkintoja. Pyydettiinpä Wiles mukaan myös Millennium-ongelmat valinneeseen asiantuntijaraatiin. Vastoin yleistä odotusta Wiles sai kuitenkin jäädä ilman ”matematiikan Nobelina” tunnettua Fieldsin mitalia. Palkinnon jakamista koskevat säännöt nimittäin kieltävät sen myöntämisen yli 39-vuotiaille. Wiles oli 41-vuotias saadessaan Fermat’n lauseen todistuksen päätökseen.

Juuret antiikissaPythagoraan ja Fermat’n yhtälöt ovat esimerkkejä Diofantoksen ongelmista. Niissä etsitään kokonaislukuratkaisuja polynomimuotoisille yhtälöille, joiden kertoimet ovat kokonaislukuja. Antiikissa Diofantoksen yhtälöitä käsiteltiin toisistaan irrallisina ajatuspähkinöinä, mutta nykymatematiikassa on pyritty kehittämään niitä koskevaa yleispätevää teoriaa. Tehtävä on kuitenkin osoittautunut vaikeaksi.Yksi hedelmällinen lähestymistapa on ollut keskittyä tarkastelemaan sellaisia Diofantoksen yhtälöitä, joille voidaan antaa geometrinen tulkinta. Käytännössä tämä tarkoittaa yleensä sitä, että niiden avulla voidaan piirtää jokin käyrä. Tällöin kysymys kokonaislukuratkaisuista palautuu siihen, että yritetään etsiä kyseiseltä käyrältä rationaalipisteitä eli pisteitä, joiden koordinaatit ovat kokonais- tai murtolukuja. Yksi keskeisistä kysymyksistä on tutkia, milloin käyrällä on ääretön määrä tällaisia pisteitä. Suurelta osin tämä ongelma on jo onnistuttu ratkaisemaan. Useimmissa tapauksissa osataan nimittäin selvittää, onko polynomimuotoisella käyrällä ääretön määrä rationaalipisteitä. Päänvaivaa matemaatikoille aiheuttavat kuitenkin elliptiset käyrät, joiden tapauksessa luokittelu on varsin hankalaa. Mikäli Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuri pitää paikkansa, saadaan tämä viimeinenkin palanen loksahtamaan kohdalleen.

Voisiko soveltaa salaukseenElliptisillä käyrillä tarkoitetaan käyriä, jotka saadaan piirtämällä kuvaajia muotoa y potenssiin 2 = (x potenssiin 3) + ax + b olevista yhtälöistä, joissa a ja b ovat kokonais- tai murtolukuja . Esimerkiksi y potenssiin 2 = (x potenssiin 3) - x ja y potenssiin 2 = (x potenssiin 3) - x + 1 ovat elliptisiä käyriä (ks. kuvat). Nimitys on sikäli hieman harhaanjohtava, että käyrät eivät muistuta ellipsiä. Käsite ”elliptinen käyrä” juontaa juurensa ellipsien kaarenpituuksien laskemiseen. Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuurin mukaan elliptisellä käyrällä on siis äärettömän monta rationaalipistettä täsmälleen silloin kun eräs tietty ehto toteutuu. Tämä kriteeri on yleispätevä ja sitä voi soveltaa mihin tahansa elliptiseen käyrään. Niinpä konjektuurin todistus veisi päätökseen osan antiikissa alkunsa saanutta löytöretkeä. Samalla saataisiin varmasti paljon uutta tietoa elliptisistä käyristä, jotka ovat tärkeässä osassa monilla matematiikan alueilla.Elliptisillä käyrillä on sovelluksia myös puhtaan matematiikan ulkopuolella. Niitä käytetään hyväksi salausjärjestelmiä kehitettäessä, ja elliptisiin käyriin pohjautuvat kryptosysteemit ovat olleet varsin menestyksekkäitä. Yhdysvaltain kansallinen turvallisuusvirasto NSA pitää elliptisiin käyriin perustuvaa ECC-salausjärjestelmää (Elliptic Curve Cryptography) niin luotettavana, että hyväksyy sen käytön suojattaessa huippusalaista materiaalia. Myös Birchin ja Swinnerton-Dye¬rin konjektuurille on odotettavissa sovelluksia tällä saralla.Elliptisten käyrien matemaattisen merkityksen osoittaa jo niiden rooli Fermat’n lauseen todistuksessa. Birchin ja Swinnerton-Dye¬rin konjektuurin todistus syventäisi merkittävästi ymmärrystä näistä olioista. Kuka tietää, mitä uusia menestystarinoita se voisi poikia.

Kaisa Kangas on matematiikan jatko-opiskelija, filosofian maisteri ja humanististen tieteiden kandidaatti.

pöhl
Seuraa 
Viestejä927
Liittynyt19.3.2005

Seikkailua elliptisellä käyrällä

"Elliptisillä käyrillä tarkoitetaan käyriä, jotka saadaan piirtämällä kuvaajia muotoa y potenssiin 2 = (x potenssiin 3) + ax + b olevista yhtälöistä, joissa a ja b ovat kokonais- tai murtolukuja . Esimerkiksi y potenssiin 2 = (x potenssiin 3) - x ja y potenssiin 2 = (x potenssiin 3) - x + 1 ovat elliptisiä käyriä " Tässä on muuten oikaistu rajusti. Elliptisen käyrän määritelmä löytyy kirjasta Qing Liu: Algebraic Geometry and Arithmetic Curves Sitä paitsi kirjan Takeshi Saito: Fermat's Last...
Lue kommentti