Totuuskone kertoo ihmisille, mitkä väitteet pitävät paikkansa ja mitkä ovat valhetta. Matemaatikot unelmoivat sellaisesta pitkään.

Teksti: Kaisa Kangas

Totuuskone kertoo ihmisille, mitkä väitteet pitävät paikkansa ja mitkä ovat valhetta. Matemaatikot unelmoivat sellaisesta pitkään.

Julkaistu Tiede -lehdessä 7/2010.Jos käytössäni olisi totuuskone, voisin antaa sen arvioida väitettä ”Mieheni rakastaa minua”. Ehkä syöttäisin koneeseen myös filosofisempia väitteitä: ”Absoluuttinen on ajan ulkopuolella” tai ”Looginen päättelyni tuottaa luotettavia tuloksia”.Onko kaikista väitteistä mahdollista sanoa, ovatko ne totta vai valhetta? Väite ”Mieheni rakastaa minua” on totta tai ei ole, mutta en itse voi koskaan täysin varmasti saada asiaa selville. Voin kysyä mieheltäni, mutta ehkä hän valehtelee.Entäpä väite ”Absoluuttinen on ajan ulkopuolella”? Lause on sisällöltään sen verran hämärä, että ehkä totuuskonekin yskisi tässä.Viime vuosisadan alkupuolella oli vallalla loogiseksi positivismiksi kutsuttu filosofinen suuntaus, johon liittyi vahva usko tieteelliseen metodiin ja loogiseen päättelyyn. Positivisti saattaisi sanoa, että voin varmistua mieheni rakkaudesta analysoimalla tämän aivokemiallisia prosesseja. Sellaiset väitteet, joiden todenmukaisuutta ei edes periaatteessa voi ratkaista (”Absoluuttinen on ajan ulkopuolella”) ääripositivisti kuittaisi hölynpölyksi.

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Kone tarvitsee säännötTietokone pystyy erehtymättä tarkistamaan joidenkin väitteiden todenmukaisuuden. Voidaan esimerkiksi laatia ohjelma, joka osaa kertoa, että väite ”2 + 3 = 6” on epätosi ja väite ”1 + 4 = 5” tosi. Silti jo koulumatematiikan sanalliset tehtävät saattavat olla koneelle liikaa: se ei pysty tehtävissä tarvittavaan loogiseen päättelyyn.Matematiikkaa on kautta aikojen pidetty varman tiedon linnakkeena, ja vielä 1900-luvun alussa ajateltiin, että matematiikassa jokaisen väitteen todenmukaisuus on ainakin teoriassa ratkaistavissa. Totuuskone voitaisiin siis periaatteessa tehdä. Taustalla oli näkemys, että loogisessa ajattelussa on pohjimmiltaan kyse mekaanisesta prosessista, joka on automatisoitavissa.Sekä  matematiikassa että sen ulkopuolella looginen ajattelu toimii siten, että oletuksista edetään päätelmiin tiettyjä päättelysääntöjä käyttäen. Kone ohjelmoitaisiin noudattamaan näitä sääntöjä, sitten siihen syötettäisiin alkuoletukset, ja tämän jälkeen kone kertoisi, pitääkö annettu väite paikkansa.Koneelle opetettaisiin esimerkiksi seuraava sääntö: oletuksista ”Kaikille sellaisille olioille X, joille pätee Y, pätee myös Z” ja ”A:lle pätee Y” seuraa loogisesti väite ”A:lle pätee Z”.Jos koneeseen syötettäisiin oletuksina ”Kaikki ihmiset tarvitsevat ravintoa” ja ”Lewis Carroll oli ihminen”, kone päättelisi, että väite ”Lewis Carroll tarvitsi ravintoa” on totta.Koneen arviot riippuisivat siihen syötetyistä oletuksista. Jos oletuksina olisi ”Kaikki ihmiset ovat murhaajia” ja ”Lewis Carroll oli ihminen”, väite ”Lewis Carroll oli murhaaja” olisi koneen mielestä tosi.

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Pilvilinna, joka romahtiEpäeuklidisten geometrioiden (ks. Kun geometria myllersi maailmaa, Tiede 11/2010, s. 54–56; tiede.fi/arkisto) löytyminen 1800-luvulla muutti käsityksiä matematiikasta. Tämän jälkeen ei enää ajateltu, että matemaattisten lähtöoletusten pitäisi olla yhteydessä fysikaaliseen maailmaan. Matematiikasta tuli pikemmin peliä, jossa saattoi valita oletukset suhteellisen vapaasti ja edetä niistä loogisesti päätellen väitteisiin, jotka pitivät paikkansa, jos oletukset olivat tosia. 1900-luvun alun matemaatikkojen ja loogikkojen suuri unelma oli löytää yleispätevä menetelmä, jonka avulla minkä tahansa matemaattisen väitteen todenmukaisuus voitaisiin ratkaista. Menetelmä ei myöskään saanut  tuottaa ristiriitaista tietoa. Jos sen pohjalta rakennettaisiin totuuskone, kone ei saisi pitää totena sekä väitettä ”Lewis Carroll oli ihminen” että ”Lewis Carroll ei ollut ihminen”.Kuvitellaan, että on olemassa totuuskone, joka ei koskaan sano epätosia väitteitä tosiksi (tai tosia epätosiksi). Mitä tapahtuu, jos koneeseen syötetään väite ”Tätä väitettä ei voi todistaa”? Väitteen on oltava totta.Tässä ”todistaminen” tarkoittaa samaa kuin se, että totuuskone ilmoittaa väitteen olevan tosi. Eli, jos kone sanoo väitettä todeksi, olemme todistaneet väitteen. Mutta tällöin väite ei olekaan tosi! Siispä tiedämme, että kone ei sano väitettä todeksi.Toisaalta kone ei voi sanoa väitettä epätodeksikaan, sillä se tarkoittaisi, että väitteen voisi todistaa, jolloin väite ei pitäisi paikkaansa.On siis löytynyt väite, joka saa totuuskoneen ymmälleen. Tämän tapaisia väitelauseita on missä tahansa riittävän monimutkaisessa matemaattisessa järjestelmässä; järjestelmä ei riitä ratkaisemaan niiden todenmukaisuutta. Vuonna 1931 nuori itävaltalainen matemaatikko Kurt Gödel todisti asian. Gödelin ensimmäisenä epätäydellisyyslauseena tunnettu tulos vei pohjan matemaatikkojen ja loogikkojen uneksimalta yleispätevältä menetelmältä.

Matematiikka koki kriisinMatematiikan väitteitä, joita ei voida osoittaa tosiksi tai epätosiksi, sanotaan ratkeamattomiksi. Aivan kuten väitteestä ”Mieheni rakastaa minua” emme voi tietää, pitävätkö ne paikkansa. Joku voisi sanoa, että minun on järkevä olettaa mieheni rakastavan minua ja lakata pohtimasta asiaa sen enempää. Samalla tavalla voi suhtautua matematiikan ratkeamattomiin väitteisiin ja lisätä ne oletuksiksi käytettyyn matemaattiseen järjestelmään. Tällöin syntyy kuitenkin väistämättä uusia ratkeamattomia väitteitä, joiden todenmukaisuutta paranneltukaan järjestelmä ei pysty määrittämään. Koskaan ei voi siis löytyä parasta, lopullista matematiikan järjestelmää. Ratkeamattomat väitteet mullistivat käsityksiä matematiikasta. Moni ajatteli, että matemaattinen menetelmä itsessään oli osoittautunut puutteelliseksi.Samalla katosi pohja positivistiselta filosofialta, joka nojautui väitteiden todistettavuuteen. Jos matematiikassa oli totuuksia, joita ei voinut todistaa, niitä voisi yhtä hyvin olla muuallakin.Gödel itse kuitenkin ajatteli ratkeamattomien väitteiden olemassaolon tarkoittavan ainoastaan, että matematiikkaa ei voi koneellistaa. Ihmisen intuitio oli edelleenkin tärkeä.

Pureeko omaan logiikkaan?Palataan väitteeseen ”Looginen päättelyni tuottaa luotettavia tuloksia”. Loogiset päätelmäni eivät siis johda ristiriitaisiin tuloksiin. Mutta onko minulla mitään mahdollisuuksia varmistua siitä, että looginen päättelyni on aukotonta? Perustelunihan nojaavat aina loogiseen päättelyyn. Oma logiikkani on siis ainoa väline, jolla voin arvioida omaa logiikkaani!Jos olisi olemassa loogista ajatteluani kuvaava totuuskone, väitteen voisi muotoilla ”Totuuskoneen antamat vastaukset eivät ole koskaan ristiriidassa keskenään”. Vuonna 1931 Gödel julkisti vielä toisen merkittävän tuloksen, joka tunnetaan Gödelin toisena epätäydellisyyslauseena. Sen mukaan minkään tarpeeksi monimutkaisen matemaattisen järjestelmän aukottomuutta ei voi todistaa pelkästään järjestelmän itsensä tarjoamia välineitä käyttäen. Tämä tarkoittaa, että järjestelmää kuvaava totuuskone ei pysty määrittämään, onko väite ”Totuuskoneen antamat vastaukset eivät ole koskaan ristiriidassa keskenään” totta. Jos kone ilmoittaa väitteen olevan tosi, se todellisuudessa tuottaa ristiriitaisia tuloksia ja sen antamat vastaukset ovat mielivaltaisia.Gödelin epätäydellisyyslauseita pidetään matemaattisen logiikan merkittävimpinä saavutuksina. Ne osoittivat, että kaikista matematiikankaan väitteistä ei voi tietää, ovatko ne totta. Samalla ne asettavat rajat sille, mitä loogisella päättelyllä voi saavuttaa. Gödelin menetelmiä on sovellettu myös teoreettisessa tietojenkäsittelytieteessä etsittäessä rajoituksia tietokoneen toiminnalle.Käytännössä epätäydellisyyslauseista seuraa, että totuuskone pysyy Pelle Pelottoman keksintönä.

Kaisa Kangas on matematiikan jatko-opiskelija, filosofian maisteri ja humanististen tieteiden kandidaatti.

Sisältö jatkuu mainoksen alla