Matemaatikkoja on askarruttanut iän kaiken, onko alkulukujen esiintyminen muiden lukujen joukossa säännönmukaista. Siitä saataisiin varmuus, jos joku onnistuisi todistamaan Riemannin hypoteesin.

Teksti: Kaisa Kangas

Matemaatikkoja on askarruttanut iän kaiken, onko alkulukujen esiintyminen muiden lukujen joukossa säännönmukaista. Siitä saataisiin varmuus, jos joku onnistuisi todistamaan Riemannin hypoteesin.

Julkaistu Tiede -lehdessä 4/2011.Kerrotaan, että ennen lähtöään vaaralliselle merimatkalle englantilainen matemaatikko G. H. Hardy lähetti ystävälleen postikortin, jossa hän väitti todistaneensa Riemannin hypoteesin. Tämä oli eräänlainen henkivakuutus – jos Hardy kuolisi, hän saisi maineen maailman kuuluisimman matemaattisen ongelman ratkaisijana. Hardy selvisi hengissä, mutta Riemannin hypoteesia ei ole vieläkään todistettu.Vuonna 1900 David Hilbert, yksi aikansa matemaattisista kärkinimistä, julkisti kuuluisan matemaattisten ongelmien listan. Päämääränä oli luetella matematiikan merkittävimmät haasteet ja siten inspiroida ja ohjata uuden vuosisadan matematiikkaa. Kun Clay-instituutti sata vuotta myöhemmin valitsi samassa hengessä Millennium-ongelmansa, vain yksi Hilbertin alkuperäisistä ongelmista oli mukana listalla: Riemannin hypoteesi. Hilbert itse oli pitänyt sitä niin merkittävänä, että mikäli hän vajoaisi uneen muutamaksi sadaksi vuodeksi, hän haluaisi herättyään heti ensimmäiseksi tietää, oliko Riemannin hypoteesi jo todistettu.Kyseessä on saksalaisen Bernhard Riemannin vuonna 1857 esittämä otaksuma hänen mukaansa nimetyn Riemannin zeta-funktion nollakohdista. Se liittyy yhteen matemaatikkoja askarruttavista ikuisuusongelmista, alkulukujen muodostamaan kuvioon muiden lukujen joukossa. Jos hypoteesi on totta, alkulukujen käytös on niin säännöllistä ja harmonista kuin mahdollista. Useimmat matemaatikot uskovat asian olevan näin, mutta varmasti sitä ei tiedetä.

Alkulukuja kokeilemalla

Alkulukuja ovat ykköstä suuremmat kokonaisluvut, jotka eivät ole jaollisia muilla kuin ykkösellä ja itsellään. Esimerkiksi luvut 2, 3 ja 5 ovat alkulukuja. Jokainen muu luku voidaan hajottaa alkutekijöihin eli esittää alkulukujen tulona, vaikkapa 12 = 2 x 2 x 3 tai 231 = 3 x 7 x 11. Alkulukuja voidaankin pitää palikoina, joista kaikki kokonaisluvut koostuvat.Alkuluvut ovat kiehtoneet ihmisiä antiikin ajoista asti. Jo Eukleides todisti, että niitä on äärettömän monta. Ei kuitenkaan ole mitään yksinkertaista tapaa määrittää, mitkä ovat alkulukuja ja mitkä eivät. Alkulukujen esiintymät muiden lukujen lomassa näyttävät arvaamattomilta. Uusia täytyy etsiä pitkälti kokeilemalla. Matemaatikkoja on kuitenkin kiehtonut ajatus, että alkuluvut muodostaisivat jonkin säännöllisen, joskin monimutkaisen, kuvion kaikkien kokonaislukujen muodostamassa jonossa.Pienten lukujen joukossa alkulukuja on paljon. Lukua 20 pienemmistä luvuista kahdeksan on alkulukuja: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ja 19. Mitä suurempia lukuja tarkastellaan, sitä harvemmassa alkulukuja esiintyy. Lukua 100 pienempien lukujen joukossa on 25 alkulukua, lukua 1 000 pienempien lukujen joukossa vain 168. Vuonna 1896 ranskalainen Jacques Hadamard ja belgialainen Charles de la Vallée Poussin todistivat oikeaksi kaavan, josta voidaan suunnilleen laskea alkulukujen osuus jotakin tiettyä lukua pienemmistä luvuista – mutta vain suunnilleen. Kyse on hieman samanlaisesta tilanteesta kuin kolikkoa heitettäessä. Yksittäisen heiton tulosta ei voi ennustaa, mutta kun kolikkoa heitetään riittävän monta kertaa, saadaan suunnilleen puolella heitoista klaava ja puolella kruuna. Jos Riemannin hypoteesi pitää paikkansa, poikkeamat tästä kaavasta noudattavat samankaltaista lakia kuin kolikkoa heitettäessä poikkeamat jakaumasta, jossa puolet tuloksista on klaavoja – vähän kuin alkulukujen sijoittuminen muiden lukujen joukkoon olisi määritetty heittämällä painotettua kolikkoa.

Salaisuus zeta-funktiossa

Matematiikassa käy usein niin, että jonkin alkulukujen kaltaisen näennäisesti yksinkertaisen asian tarkempaan tutkimiseen tarvitaan monimutkaisia ja syvällisiä menetelmiä. Riemannin hypoteesi itsessään ei koske alkulukuja, vaan Riemannin zeta-funktion nollakohtia. Alkulukujen ja nollakohtien välillä on kuitenkin kiinteä yhteys – jos tietäisimme kaikki nollakohdat, pystyisimme myös sanomaan, mitkä luvut ovat alkulukuja.Funktiolla tarkoitetaan sääntöä, jonka avulla jostakin luvusta saadaan toinen luku. Esimerkiksi luvulla 2 kertominen on funktio, jolla luvusta 3 saadaan luku 6. Ne luvut, jotka funktioon syötettäessä antavat arvon 0, ovat funktion nollakohtia. Riemannin zeta-funktio ottaa syötteekseen ja antaa arvoikseen niin kutsuttuja kompleksilukuja. Näissä luvuissa on tavallisen reaaliluvun lisäksi imaginaariosa. Riemannin zeta-funktio saa arvon nolla aina, kun siihen syötetään parillinen negatiivinen kokonaisluku. Näitä lukuja sanotaan Riemannin zeta-funktion triviaaleiksi nollakohdiksi. Muita nollakohtia sanotaan epätriviaaleiksi, ja juuri niitä Riemannin hypoteesi koskee. Se nimittäin sanoo, että kaikkien epätriviaalien nollakohtien reaaliosa on ½. Jos kompleksilukuja ajatellaan tason pisteinä, tämä tarkoittaa, että kaikki epätriviaalit nollakohdat sijaitsevat niin sanotulla kriittisellä suoralla, joka on koordinaatistossa luvun ½ kohdalle piirretty pystysuora viiva. Jos näin on, alkuluvut ovat jakautuneet mahdollisimman tasaisesti.

Salakirjoituksen avain

Mikäli Riemannin hypoteesi onnistutaan todistamaan, ratkeaa siis alkulukujen salaisuus, jota on yritetty vuosisatojen ajan selvittää. Ongelman ratkaisulla saattaisi olla mullistavia vaikutuksia myös matematiikan ulkopuolella. Alkuluvut ovat nimittäin tärkeitä tiedonsiirtoon liittyvissä salausjärjestelmissä. Tiedonsiirrossa täytyy monesti varmistaa, ettei kukaan ulkopuolinen pääse käsiksi tietoihin. Erityisen tärkeää tämä on sähköisissä pankkisiirroissa tai lähetettäessä arkaluonteista informaatiota. Tällöin viesti muutetaan eräänlaiseksi salakirjoitukseksi, johon vain vastaanottajalla on avain. Salaukseen käytettävät matemaattiset menetelmät pohjautuvat useimmiten alkulukujen ominaisuuksiin ja siihen, että erittäin suuria lukuja on tietokoneellakin käytännössä mahdoton hajottaa alkutekijöihin.On mahdollista, että Riemannin hypoteesin todistus johtaisi uusiin menetelmiin, joilla voisi tehokkaammin hajottaa lukuja alkutekijöihin. Se saattaisi vaarantaa nykyiset salausjärjestelmät. Syynä ei kuitenkaan ole varmuus hypoteesin paikkansapitävyydestä. Suurin osa matemaatikoistahan uskoo hypoteesin olevan totta, ja mahdollisia seurauksia on tutkittu pitkään. Jotkin salausjärjestelmistä jopa pohjautuvat siihen, että hypoteesi oletetaan todeksi. On kuitenkin mahdollista, että itse todistukseen sisältyisi sellaisia radikaaleja oivalluksia, joiden avulla voitaisiin kehittää uusia tapoja jakaa lukuja tekijöihin.

Onko hypoteesi totta?

Zeta-funktion nollakohtia voi laskea tietokoneella, ja tällä tavoin on selvinnyt, että kymmenen biljoonaa ensimmäistä nollakohtaa on kriittisellä suoralla. Se ei kuitenkaan riitä todistamaan mitään, sillä nollakohtia on ääretön määrä. Hypoteesin kumoamiseksi sitä vastoin riittäisi yhdenkin nollakohdan löytyminen kriittisen suoran ulkopuolelta. Väite saattaisi siis periaatteessa olla kokeilemalla todistettavissa vääräksi. Tällaisella ratkaisulla ei kuitenkaan pääsee rikastumaan, sillä Clay-instituutin ongelmanasettelussa sanotaan, että Riemannin hypoteesi on todistettava oikeaksi.Massiivisen empiirisen aineiston lisäksi Riemannin hypoteesia tukee se, että useita samankaltaisia tuloksia on onnistuttu todistamaan. On silti mahdollista, että hypoteesi ei pidäkään paikkaansa. Historiasta tunnetaan useita lukuteoriaan liittyviä otaksumia, joilla on ollut tukenaan paljon kokeellista aineistoa mutta jotka ovat lopulta osoittautuneet vääriksi.Jos hypoteesi paljastuisi vääräksi, se olisi itsessään mullistava tulos, mutta samalla pettymys monille. Kaikki ne lukuteoreetikot, joiden tutkimustulokset alkavat ”Jos Riemannin hypoteesi pitää paikkansa, niin...” voisivat käyttää artikkeleitaan vessapaperina.

Julkaistu Tiede -lehdessä 4/2011

KAISA KANGAS on matematiikan jatko-opiskelija, filosofian maisteri ja humanististen tieteiden kandidaatti.