Navierin–Stokesin yhtälöistä selviää, miten fluidien liikkeet voisi laskea. Vain ratkaisu puuttuu.

Miljoonan dollarin ongelma -sarja

Teksti: Kaisa Kangas

Vene jättää peräänsä aaltovanan, ja lentokone sotkee ilmamassaa. Näihin ilmiöihin liittyy hyvin monimutkaista matematiikkaa. Kohta tulee kuluneeksi kaksisataa vuotta siitä kun Claude-Louis Navier ja George Gabriel Stokes johtivat yhtälöt, joiden pitäisi kuvata tarkasti nesteiden ja kaasujen virtauksia, mutta yhtälöitä ei ole vieläkään onnistuttu ratkaisemaan. Miljoona dollaria on luvassa sille, joka ratkaisee ne tai todistaa, että tehtävä on mahdoton.

Newton mukana tässäkin

Vesi ja ilma ovat esimerkkejä fluideista. Fluidilla tarkoitetaan karkeasti ottaen sellaista ainetta, joka säiliöön laitettaessa mukautuu säiliön muotoon. Näin käyttäytyvät muun muassa nesteet, kaasut ja plasmat.

Fluideja on tutkittu kautta ihmiskunnan historian, löytyyhän niitä koskevalle tiedolle sovelluksia laivanrakennuksesta ja vesipyöristä lähtien. Renessanssinero Leonardo da Vincin lukuisat keksinnöt kielivät fluidi-ilmiöiden ymmärryksestä. Myös historian ehkä merkittävin fyysikko Isaac Newton oli kiinnostunut fluideista. Hän tutki muun muassa aaltojen muodostumista ja vastuksen vaikutusta veden virtaukseen.

Newton tunnetaan kuitenkin paremmin painovoimateoriastaan, joka mahdollisti taivaankappaleiden paikkojen tarkan laskemisen. Painovoimateoriaa olisi ollut mahdoton muotoilla ilman uutta matemaattista menetelmää, differentiaalilaskentaa. Samaa menetelmää käyttäen sveitsiläinen matemaatikko Daniel Bernoulli rakensi fluidien virtauksia koskevan teorian, jonka pohjalta Navier ja Stokes johtivat yhtälönsä.

Muutoksen matematiikkaa

Alun perin differentiaalilaskenta kehitettiin ratkaisuksi tähtitieteen ongelmiin. Planeettojen liike Auringon ympäri ei ole tasaista, vaan niiden nopeus vaihtelee sen mukaan, missä kohtaa rataansa ne ovat. Tämä muodosti haasteen 1500-luvun ja 1600-luvun alun tähtitieteilijöille. Heidän tuntemansa matemaattiset työvälineet näet soveltuivat lähinnä staattisten tilojen käsittelyyn, eikä niiden avulla voinut analysoida liikettä, jonka nopeus vaihteli.

Vastaus ongelmaan tuli sekä Newtonilta että saksalaiselta Gottfried Wilhelm Leibnizilta. He tekivät 1600-luvun loppupuolella yhden koko historian merkittävimmistä matemaattisista keksinnöistä: kehittivät differentiaalilaskennan.

Tavan, jolla differentiaalilaskennassa käsitellään liikettä – tai ylipäänsä muutosta – voi rinnastaa elokuvan tekemiseen. Filmillä on sarja valokuvia, jotka on otettu tiuhassa tahdissa peräjälkeen. Kun valkokankaalle projisoidaan yli 24 tällaista kuvaa sekunnissa, ihmisaivot tulkitsevat kuvat jatkuvaksi liikkeeksi. Differentiaalilaskennassa liikkeen ajatellaan koostuvan sarjasta pysähtyneitä hetkiä, joita on mahdollista analysoida perinteisemmillä matemaattisilla menetelmillä. Matemaattista tarkkuutta varten 24 kuvaa sekunnissa ei kuitenkaan riitä, vaan hetket ovat äärettömän lyhyitä ja niitä "projisoidaan" äärettömällä nopeudella.

Nykyfysiikkaa on mahdotonta ymmärtää syvällisesti, ellei hallitse differentiaalilaskentaa. Newtonin painovoimateorian lisäksi esimerkiksi Einsteinin yleinen suhteellisuusteoria on kirjoitettu differentiaalilaskennan kielellä. Sitä käytetään muutosten analysoimiseen myös monilla muilla aloilla, kuten tilastotieteessä, demografiassa, taloustieteessä, tietojenkäsittelytieteessä, biologiassa ja lääketieteessä. Se on välttämätön työkalu tutkittaessa talousmalleja tai eliöpopulaatioiden kehitystä.

Fluidimekaniikka kehittyi

Aluksi differentiaalilaskentaa käytettiin vain tarkasteltaessa kiinteiden kappaleiden liikettä. 1700-luvun alkupuolella Bernoulli päätti soveltaa menetelmää fluidivirtausten kuvaamiseen. Tilanne oli uudenlainen, sillä liikkeen lisäksi myös itse materiaali oli nyt jatkuvaa. Bernoulli ajatteli fluidin koostuvan äärettömän pienistä hiukkasista, jotka ovat äärettömän lähellä toisiaan. Tavoitteena oli johtaa yhtälöt, jotka kuvaisivat tällaisen hiukkasen liikettä virtauksessa. Tehtävä ei ollut helppo, ja Bernoulli sai uurastaa sen parissa lähes koko aikuisikänsä. Tuloksena oli teoria, jota sovelletaan esimerkiksi nykyisten lentokoneiden suunnittelussa.

Kaikkien aikojen tuotteliaimpana pidetty matemaatikko, sveitsiläinen Leonhard Euler laati Bernoullin työn pohjalta yhtälöt, jotka kuvaavat täydellisesti fluidin virtausta annettujen voimien alaisena. Yhtälöihin sisältyi kuitenkin kaksi käytännön ongelmaa. Ensinnäkin niissä oli jätetty huomioimatta fluidin sisäiset vastusvoimat, joilla on yleensä ratkaiseva merkitys sovellusten kannalta. Toisekseen niitä ei ole tähän päivään mennessä onnistuttu ratkaisemaan. Niiden ratkaisijalle ei kuitenkaan ole luvattu miljoonapalkintoa.

Väärä logiikka, oikea tulos

Ensimmäisen näistä käytännön ongelmista ratkaisi vuonna 1822 ranskalainen Claude-Louis Navier, joka omana aikanaan tunnettiin pikemminkin insinöörinä ja yhteiskunnallisena vaikuttajana kuin matemaatikkona. Navierin onnistui parannella Eulerin yhtälöitä siten, että vastusvoimien vaikutus tuli huomioitua. Navierin käyttämä matemaattinen päättely oli virheellistä, mutta hänellä oli tuuria – lopputulos oli silti oikea.

Parikymmentä vuotta myöhemmin irlantilainen matemaatikko George Gabriel Stokes johti samat yhtälöt virheetöntä päättelyä käyttäen ja kehitti samalla pidemmälle niihin liittyvää teoriaa. Stokesilla oli varsin kunniakas ura. Elämänsä aikana hän toimi muun muassa Royal Societyn puheenjohtajana ja Cambridgen yliopiston Lucas-professorina. Kuuluisimmat tämän professorinviran haltijoista lienevät Isaac Newton sekä astrofyysikko Stephen Hawking.

1800-luvun lopulla näytti siltä, että pian saavutettaisiin teoria, joka kuvaisi fluidien virtauksia täydellisesti. Tällaiselle teorialle löytyisi huomattavasti sovelluksia. Se auttaisi ymmärtämään merivirtoja, sääilmiöitä, veden kulkua putkistossa ja ilmavirtausta lentokoneen siiven ympärillä. Sen avulla voisi analysoida saasteiden leviämistä ja suunnitella voimaloita. Teorialla saattaisi olla myös merkittäviä lääketieteellisiä sovelluksia, sillä se auttaisi kuvaamaan sydämen toimintaa ja veren kulkua suonistossa. Kenties se lisäisi ymmärrystä jopa Auringon magneettikentästä, joka syntyy tähdessä tapahtuvista plasmavirtauksista.

Valitettavasti Navierin ja Stokesin yhtälöt ovat kuitenkin perineet toisen Eulerin yhtälöihin liittyvistä käytännön ongelmista: niitä on niin vaikea ratkaista, ettei siinä ole vieläkään onnistuttu.

Ratkaise differentiaaliyhtälö

Navierin ja Stokesin yhtälöt ovat esimerkki differentiaaliyhtälöistä. Tällaisiin päädytään lähdettäessä liikkeelle asetelmasta, jossa halutaan selvittää jotakin suuretta kuvaava laskusääntö eli funktio mutta tiedetään vain suureen muutokseen liittyviä tekijöitä. Tällöin voidaan laatia yhtälöitä, joista pitäisi periaatteessa olla mahdollista ratkaista haluttu funktio. Navierin ja Stokesin yhtälöille etsitty ratkaisu ei siis ole joukko yksittäisiä lukuarvoja vaan – hieman yksinkertaistaen – kaava, josta voi laskea fluidivirtauksen nopeuden halutussa paikassa halutulla hetkellä.

Differentiaaliyhtälöt eivät sinänsä ole poikkeuksellisen vaikeita, ja käytännössä kaikki matematiikan tai sitä soveltavien alojen opiskelijat opettelevat ratkaisemaan niitä. Navierin ja Stokesin yhtälöt saattavat ensi vilkaisulta näyttää yliopistokurssin harjoitustehtäviltä, mutta ne ovat vaikeudeltaan aivan toista luokkaa. Opiskelijoiden edellytetään yleensä ratkaisevan kotitehtävät viikossa.

Navierin–Stokesin yhtälöt pystytään nykyään ratkaisemaan tietyissä erityistapauksissa. Jos käsitellään fluidin käyttäytymistä riittävän pienellä aikavälillä, yhtälöille löytyy aina ratkaisu. Monesti kyse on kuitenkin niin lyhyestä ajanjaksosta, ettei siitä ole juuri hyötyä sovellusten kannalta. Palkintoa varten vaaditaan yleinen ratkaisu, joka pätee kaikkiin tapauksiin ja jota voidaan soveltaa mielivaltaisen pitkällä aikavälillä. Lisäksi ratkaisun on täytettävä tietyt ehdot, jotka takaavat, että se kuvastaa fysikaalista maailmaa realistisesti.

Joissakin sovelluksissa yhtälöitä käytetään jo nyt, sillä periaatteessa niitä voi ratkaista numeerisesti tietokoneella. Mikään yleispätevä menetelmä tämä ei kuitenkaan ole, sillä laskenta käy helposti liian aikaavieväksi, etenkin jos tarkasteltavassa virtauksessa on turbulenssia eli virtauksen ominaisuuksien nopeaa ja kaoottista vaihtelua.

Vastaus luo uutta teoriaa

Navierin ja Stokesin yhtälöiden laatimisesta tähän päivään asiassa on tapahtunut harvinaisen vähän. Saattaakin olla, että niitä ei edes voi ratkaista. Mikäli ongelma ei ole mahdoton, sen ratkaiseminen luultavasti edellyttää uutta differentiaaliyhtälöihin liittyvää teoriaa. Sille taas löytyisi luultavasti sovelluksia muuallakin kuin fluidien tutkimuksessa.

Navierin nimi on kaiverrettu yhdessä 71 muun merkittävän ranskalaisen tiedemiehen kanssa Eiffelin torniin. Stokesin mukaan on nimetty kraatteri sekä Kuussa että Marsissa. Jos joku onnistuu ratkaisemaan Navierin ja Stokesin yhtälöt – tai osoittamaan että ratkaisua ei ole olemassa – saanee hänenkin nimensä paikan tieteiden tornissa tai kaukaisen planeetan kraatterissa.

Julkaistu Tiede-lehdessä 10/2011

Kaisa Kangas on matematiikan jatko-opiskelija, filosofian maisteri ja humanististen tieteiden kandidaatti. 

Psykedeelit ayahuasca ja psilosybiini tehoavat tutkimusten mukaan masennukseen.

Amazonin alueen ihmiset ovat ammoisista ajoista nauttineet näkyjä nostattavaa ayahuasca-kasviuutetta.

Aine kiinnostaa myös lääketieteen tutkijoita. Se näyttää tehoavan masennukseen ja riippuvuuksiin, kertoo Helsingin Sanomat jutussaan.

Muilla psykedeeleillä, kuten tietyissä sienissä esiintyvällä psilosybiinillä, on havaittu samanlaisia vaikutuksia.

Ayahuascaa pitkään tutkinut Jordi Riba Sant Paun sairaalasta kertoo, miten vaikeasta masennusta potevat potilaat ovat saaneet apua yksittäisestä kokeilusta.

”Tavalliseen masennuslääkkeeseen verrattuna teho oli todella nopea vain yhdellä annoksella. Hämmästyttävästi tulokset näkyivät heti, ja ne säilyivät monia viikkoja”, Riba sanoo HS:n haastattelussa.

Lontoon Imperial Collegen Robin Carhart-Harris on saanut samanlaisia tuloksia psilosybiinillä.

Ratkaisevia myönteisille vaikutuksille ovat ympäristö ja olot, joissa psykedeelejä käytetään.

”On tärkeää, että ammattiterapeutti valmistelee kokemukseen, on mukana sen aikana ja auttaa sen jälkeen tekemään siitä selkoa”, Carhart-Harris sanoo.

Suomessakin tutkijat etsivät rahoitusta tutkimukseen, jossa testaan psilosybiinin tehoa masennukseen.

Kysely

Kokeilisitko psykedeeliä masennukseen, jos lääkäri määräisi?

Hyvä harrastus – ja helppo. Lukemista löytyy aina. Kuva: Shutterstock

Kieli rikastuu, ajattelu syvenee ja sosiaalinen taju kehittyy.

Tietokirjan järki on selvä: saa tietoa, jolla jäsentää maailmaa ja vaientaa mutuilijat. Riittävästi tietoa hankkimalla tulee asiantuntijaksi, ja sillä on selvä hyötyarvo.

Entä missä on fiktion lukijan tulosvastuu? Mitä itua on kuluttaa aikaansa tuntitolkulla hatusta vedettyjen ihmisten hatusta vedettyihin edesottamuksiin? Paljonkin: romaani tai novelli opettaa toimimaan muiden ihmisten kanssa.

Fiktio simuloi sosiaalista maailmaa, esittää asiaa tutkinut Toronton yliopiston psykologian professori Keith Oatley. Niin kuin lentosimulaattori opettaa lentotaitoja, sosiaalisten tilanteiden simulaattori – romaani – opettaa sosiaalisia taitoja.

Kokeet vahvistavat, että fiktiota lukeneet tajuavat paremmin so­siaalisia kuvioita kuin tietotekstiä lukeneet. 

Suvaitsevaisuus kasvaa

Kuvitteellisesta tarinasta on sekin ilo, että pääsee väliaikaisesti jonkun toisen nahkoihin. Samastuminen tarinan henkilöön voi muuttaa lukijan käyttäytymistä ja pistää asenteet uusiksi, ovat kokeillaan osoittaneet Ohion yliopiston tutkijat.

Samastumisella on vaaransa. Romaanin aiheuttama itsemurha-aalto koettiin 1700-luvun lopulla, kun nuoret onnettomat miehet matkivat Johan Wolfgang von Goethen päähenkilön tekoa Nuoren Wertherin kärsimyksissä.

Ohiolaistutkimuksessa vaikutus oli rakentavampi: kun nuoret aikuiset olivat lukeneet tarinan miehestä, joka meni äänestämään, he menivät hanakammin vaaliuurnille vielä viikon kuluttua lukemisesta. He olivat saaneet kansalaishyvetartunnan.

Valkoihoisten suvaitsevaisuutta taas kasvattivat tarinat, joissa päähenkilö osoittautui homoseksuaaliksi tai afroamerikkalaiseksi. Lukijoilta karisi myös stereotypioita. Tämä kuitenkin edellytti, että päähenkilön ”erilaisuus” paljastui vasta tarinan myöhemmässä vaiheessa ja lukijat olivat ehtineet asettua hänen nahkoihinsa.

Stressi väistyy

Kun uppoutuu lukemaan, maailman meteli jää kauas ja paineet hellittävät. Tuttu tunne, josta on myös tieteelliset näytöt: lukeminen poistaa stressiä.

Terveystieteen opiskelijat saivat Yhdysvalloissa tehdyssä tutkimuksessa lukeakseen netistä ja aikakauslehdestä poimittuja artikkeleita, jotka käsittelivät historiallisia tapauksia ja tulevaisuuden innovaatioita. Aihepiirit olivat siis kaukana tenttikirjojen pakkolukemistosta.

Puolentunnin lukutuokio riitti laskemaan verenpainetta, sykettä ja stressin tuntua. Huojennus on yhtä suuri kuin samanpituisella joogahetkellä tai televisiohuumorin katselulla. Mikä parasta, apu löytyy helposti, lukemista kun on aina saatavilla.

Sanasto karttuu

Kirjoitettu kieli on ylivoimaisesti suurempi uusien sanojen lähde kuin puhuttu. Erot lasten sanavaraston runsaudessa voi johtaa suoraan siihen, miten paljon he altistuvat erilaisille teksteille, vakuuttavat lukemisen tutkijat Anne Cunningham ja Keith Stanovich.

Tiuhimmin uutta sanastoa kohtaa tieteellisten julkaisujen tiivistelmissä: tuhatta sanaa kohti harvinaisia on peräti 128. Sanoma- ja aikakauslehdissä harvinaisten sanojen tiheys nousee yli 65:n ja aikuisten kirjoissa yli 50:n.

Lastenkirjakin voittaa sanaston monipuolisuudessa televisio-ohjelman mennen tullen. Lapsilukija kohtaa kirjassa yli 30 harvinaista sanaa tuhatta kohti, kun aikuisten telkkariviihdettä katsoessa niitä tulee vastaan 23 ja lastenohjelmissa 20.

Juttelukaan ei pahemmin kartuta sanavarastoa. Aikuispuhe sisältää vain 17 epätavallista sanaa tuhatta kohti.

Syntyy omia ajatuksia

Ihmisen aivoja ei ole ohjelmoitu lukemaan. Kun taito kehittyi 5 500 vuotta sitten, näkemiseen, kuulemiseen, puhumiseen ja ajatteluun rakentuneet alueet alkoivat tehdä uudenlaista yhteistyötä.

Nyt olemme jälleen uudenlaisen lukukulttuurin alussa. Verkkolukeminen on tullut jäädäkseen, ja jotkut pelkäävät, että tyhmistymme, kun totutamme aivomme ärsyketulvaan ja pikaselailuun netissä. Tiedonvälitys on lisääntynyt räjähdysmäisesti mutta niin myös häly.

Syventyvän lukemisen kohtalosta kantaa huolta professori Maryanne Wolf Tufts-yliopistosta. Tapaa näet kannattaisi vaalia. Aivokuvaukset paljastavat, että paneutuva lukija käyttää laajasti molempia aivopuoliskojaan. Hän ei vain vastaanota kirjoittajan sanomaa vaan vertaa sitä aiemmin hankkimaansa tietoon, erittelee sitä ja rakentaa omaa ajatteluaan. Pintalukijalla ei tähän ole aikaa.

Mikko Puttonen on Tiede-lehden toimittaja.

Julkaistu Tiede-lehdessä 12/2012