Ympyrän neliöiminen tarkoittaa täsmälleen ympyrän pinta-alan omaavan neliön konstruoimista käyttäen vain harppia ja viivoitinta eli ns.

euklidisia työkaluja. Jos ympyrän säde r valitaan pituusyksiköksi eli r=l, ympyrän pinta-ala πr2=π. Tehtävänä on siis konstruoida neliö, jonka pinta-ala on π:n suuruinen.

On melko helppo päätellä, että harpin ja viivoittimen avulla voidaan piirtää vain sellaisia janoja, joiden pituudet saadaan lähtöjanojen pituuksista yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskun sekä neliöjuuren oton avulla.

Harpin ja viivoittimen käyttö voidaan tulkita suorien ja ympyröiden leikkauspisteiden etsimiseksi. Suorien yhtälöt ovat ensimmäisen asteen polynomeja ja ympyröiden yhtälöt toisen asteen polynomeja, ja leikkauspisteiden lausekkeet voidaan aina muodostaa yhtälöiden kertoimista vain edellä lueteltuja operaatioita sisältävien kaavojen avulla.

Saksalainen Ferdinand Lindemann todisti 1882, että luku π kuuluu niin sanottuihin transsendenttilukuihin, joita ei voi muodostaa kokonaisluvuista pelkin algebrallisin operaatioin. Janaa, jonka pituuden mittaluku on transsendenttinen, ei voi konstruioida yksikköjanasta harpin ja viivoittimen avulla.

Lindemannin todistus, joka vaatii kohtuullisen syvällistä matematiikkaa, pani peruuttamattomasti pisteen yli 2000 vuotta jatkuneille ympyrän neliöimisyrityksille. Ne eivät silti olleet turhia: jo antiikin aikana kehitettiin muita keinoja ongelman ratkaisemiseksi. Ympyrän neliöinnin ja sille sukua olevien, ratkeamattomien ongelmien, kuten kuution kahdentamisen ja kulman kolmijaon, pohdinta on tuonut matematiikkaan paljon mielenkiintoista.

Julkaistu Tiede 2000-lehdessä 2/1996

Vastaaja:


Matti Lehtinen


matematiikan dosentti


Helsingin yliopisto

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
syytinki
Seuraa 
Viestejä9418

Hauska matemaatikkojen epäkäytännöllisyysongelma.

Jos otan rautalangasta tehdyn ympyrän, siitä tulee neliö alta aikayksikön.

Hymh? Tuohon taitaa sisältyä jotain syvällistä, mutta en kyllä tajua mitä.

Sisältö jatkuu mainoksen alla